微积分二历年期末试卷级数部分考题

函数f(x

13

如果将函

f(x)

.x2(0

p

n

2n-4.求幂级数n=

2n

4∵

(-1)n2n+1(-1)n2n- (-1)n2n+1(-1)n2n- n

=∴R

1，即|x

1

n

2n-又级数n=

2n

在x=

1处收

11].....3

n

2n-设S(x

n=

2n

1<x

1¥ n

2n- S(x)

å(- n=

1+x

n

2n-ån=

2n

=arctanx

1＃x 5vv¥若级数n=

2与unn=un

2都收敛，证明：n¥nå

+ )2 n=ゥ

+ )2 (u2+v2+2u )n=而

n=10?u v2+2u ?2(u v2). vv¥由于n=

u,å2u,ånn=

2n¥n则å2(u

+v2 n=¥于是å + )2收敛 n=

设an

0(n

¥),且åann=¥ån=

骣sinn n

a (A)绝对收 (B)条件收(C)发散 (D)敛散性无法函数y

ln(x2

3x

展成x的幂

(-1,

(-1,

(-2,

(-2,2.设函数f(x)=1

x

f(x)展开为周期为2的级数设1中的级数的和函数为S(x),计算S(2013)解答：1）将f(x)2期延拓得F(x)，则1a0

(1-1

x)dx= an

(1-

x)cosnpxdx=

1(1-

x)sinnpxdx=np

ò0xdcosnpx=

2xnpn

npx 0

2 np 0cosnpxdx n由于F(x)在x=?1 2(-f(x)

1+nk=n

sinnp(-1<x<2）S(2013)=S(1)=F(1

2

F(1+=0+2=2¥

xn+

求幂级数n=

n(n

3收敛半径R

(n

1)(n

2)=n xn+

n

+级数n=

n(n

在x=

设此幂级数的和函数为S(x)(x

xn= xnn=Sⅱ(x)

åxn-1n=

将Sⅱ(x)在区间(0x)(x

ln(1 x

(-1? 将S(x)在区间(0x)上积分，得 xn+S(x)

n=

n(n+ï(1=í

x)ln(1

x)+x,

1? x=(x

xn=xnn== ln(1 x (-1? 将S(x)在区间(0x)上积分，得 xn+S(x)

n=

n(n+ï(1=í

x)ln(1

x)+x,

1? x=3.函数

=xsinx2展开成x的幂级数 ¥若级数åann=

、ån=

¥则级数n=

anbn 若级数åann=

、ån=

¥则级数n=

anbn¥若级数åann=

(-1)nån=

nn¥n若级数åann=

an+n nn= ¥3.求幂级数n=

2n

x1

∵n

骣12n+

x2n+ x1212n+

=x∴当|x|x

¥又级数n=

2n

x1

在x=?1(-11)。....2设此幂级数的和函数为S(x)，则当-1x<1(xS(x))¢=

n0¥

2n

x2n+11=ån=

xx xS(x)= dt

1ln1+ 1 t

1

x= x

=

1+în=02n+î

ï2xln1 x

-1

x<1,x将函数f(x

x

＃x p展开为以2p4f(x)=x为2pa=

òxdx

p 2 npò0

cosnxdx

n

n ï=

n=2k

n=(k=1,2,L

f(x ¥p+¥ n=xÎ[0,

n

n

nx 或

f(x 2 2k=

(2k

2

cos[(2k

x设常数a

0，试判断常数项级数¥ån=

(1

a)(1

aa2)L

(1

的敛散性。ann

un+un

an+

(1

a)(1

a2)L

(1

an n

(1

a)(1

a2)L

(1

an+1) a n

1+an+a<1a>1a=1

nn

un+1unun+1unun+1

a<0<1< un 综上，对任何a>0将函数f(x

x2

2x

3 1骣 x2

2x

4x

x+轾犏=1 犏-4犏3(1 -

1+11

x =

(-1)4犏3n=

n=1 轾 = å +(- 臌4n03n臌设函

f(x

2p为周期,其在[-pp上的表达式为f(x)=2xf(x)展开成周期为2p的级数4.解答所给函数满 x

(2k

p(k

2,L f(p

2

f

p+0)

0，在连续点x(x

p)处收敛于f(x)x?

时，f(x)是以2p

an

0(n

f(x)sinnxdx=p

sinnxdx 4

xcosnx

sinnx n 4n

(n

f(x)

4å¥n=¥

n

sinnx(-

x<ス

p 3p,L)4.函数=ln(12x展开成x的幂级¥设åann=

¥n

nan=0，则级数åann=若存在非零常数 ，使¥n

nan =

，则级数åann=¥

åann=1

n

=n¥n若级数åann=

零常数ln3（1）

nan =x x xy +L +L4 8! (4n)!方程y(4)-

y=（2）x x +

x

L4 8! (4n)! x x x3（

+L3 7 x x x + 2! 6! 10! x x =

+L5! 9(

x x =1 +L4 8!

1+

满足微分方程y(4)-

y=（2（1）微分方程y(4)-

y=0

r4

1=

1,i,

iy(4)-

y=0y=C

ex

x+

cos

+C

sinx23易知，y*=-23

1为y(4

y=1的特解，故微分方程y(4)-

y=1y=C

ex

x+

cos

+C

sinx 23 23y(0)

()

()

ⅱ(0)= = =1, =1,

=0，

1ex

1e-x

1cosx

8 84即为级数4

+ +

x +L

4 8! (4n)!（2）

=y

1y(4)23为23

y=1代换为z(4)-

z=0z=C

ex

x+

cos

+C

sin z(0)

(0)

()

ⅱ(0)= = =1, =1, = y=z 11ex

1e-x

1cosx

1，此