求数列通项公式及求和的基本方法

公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an Sn Sn1(n 2)，等差数列或等比数列的通项公式。例一 已知无穷数列 an的前n项和为Sn，并且an Sn 1(n N*)，求 an的通项公式？ an

12

n.反思：利用相关数列an与Sn的关系：a1S1,anSnSn1(n2)与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.2.累加法：利用ana1(a2a1)(anan1)求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an1anf(n)的递推数列通项公式的基本方法（f(n)可求前n项和）.已知a111n,an1an(nN*),求数列an通项公式.223.累乘法:利用恒等式ana1a2a3an(an0,n2)求通项公式的方法称为累乘法,a1a2an1累乘法是求型如:an1g(n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g(n)可求前n项积).已知a11,ann(an1an)(nN*),求数列an通项公式.ann.反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为 an1 g(n)an.构造新数列:类型1an1anf(n)解法：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。1，an1an1，求an1131例1:已知数列an满足a1nan12n2n22n解：类型2an1f(n)an解法：把原递推公式转化为an1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例2:已知数列an满足a12，an1nnan，求an。an2313n解：变式:（全国I,）已知数列{an}，满足1=1，ana12a23a3na(n1)an1(n≥2)，则{a}的通项an1n1ann!(n2)___n22解类型3 an1 pan q（其中p，q均为常数，(pq(p 1) 0)）。an1tp(ant)，其中tq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，再利用换元法转化1p为等比数列求解。例4:已知数列an中，a11，an12an3，求an.an2n13.解：类型4ann1)(q1)0)（或an1panrqn1panq（其中p，q均为常数，(pq(p）。,其中p，q,r均为常数）。qn1an1pan1解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：qn1q?n引入辅助数列bn（其qq中bnan），得：bn1pbn1qnqq再待定系数法解决。例5:已知数列an中，a15,an11an1n163()，求an。2解：在an11an(1)n1两边乘以2n1得：2n1?an12(2n?an)1323令bn2n?an，则bn12bn1,解之得：bn32(2)n33所以anbn3(1)n2(1)n2n23类型5递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为常数）。解(特征根法)：对于由递推公式an2pan1qan，a1,a2给出的数列an，方程x2pxq0，叫做数列an的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当1x2时，数列an的通项为anAx1n1Bx2n1，其中A，B由1,a2决定（即把xaa1,a2,x1,x2和n1,2，代入anAx1n1Bx2n1，得到关于A、B的方程组）；当x1x2时，数列an的通项为an(ABn)x1n1，其中A，B由a1,a2决定（即把a1,a2,x1,x2和n1,2，代入an(ABn)x1n1，得到关于A、B的方程组）。例6:数列an：3an25an12an0(n0,nN)，a1a,a2b,求an解（特征根法）：的特征方程是：3x25x20。x11,x22,3anAx1n1Bx2n1AB(2)n1。又由a1a,a2b，于是3aABA3b2ab)(2)n12B故an3b2a3(abAB3(ab)33练习:已知数列an中，a11,a22,an22an11an，求an。73(1)n133key:an。443变式:（福建,文,22）已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).求数列an的通项公式；（I）解： an (an an1) (an1 an2) ... (a2 a1) a12n12n2...212n1(nN*).类型6递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an))解法：利用anS1(n1)f(an)f(an1)消去SnSnSn1(n与anSnSn12)(n2)或与Snf(SnSn1)(n2)消去an进行求解。例7：数列an前n项和Sn4an12.（1）求an1与an的关系；（2）求通项公式an.2n解：（1）由Sn4an14an112n2得：Sn12n1于是Sn1Sn(anan1)(11n22n1)2所以an1anan11an11an1.2n122n（2）应用类型4（an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)））的方法，上式两边同乘以2n1得：2n1an12nan2由a1S14a11a11.于是数列2nan是以2为首项，2为公差的等差数列，所以212n2nan22(n1)2nan2n1数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 .1、等差数列求和公式：Snn(a1an)na1n(n1)d22na1qn)(q1)2、等比数列求和公式：Sna1(1a1anq(q1)1q1qn1n(n1)n1n(n1)(2n1)3、Snk4、Snk2k12k16nk3[1n(n1)]25、Snk12例1（山东文18）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a1 3，3a2，a3 4构成等差数列．（1）求数列{an}的等差数列．（2）令lna3n1，n1，2，L，{bn}nT的前项和．求数列a1a2a37，解：（1）由已知得:(a13)(a34)解得a22．3a2.2设数列{an}的公比为q，由a22，可得a2，a32q．1q又S37，可知222q7，即2q25q20，q1解得q1 2，q2 ．由题意得 q 1，q 2．2a11．故数列{an}的通项为an2n1．（2）由于3nbnlna3n1，n1，2，L，）得a3n12由（1bnln23n3nln2，又bn1bn3ln2n{bn}是等差数列．Tn b1 b2 L bnn(b1 bn)2n(3ln2 3ln2)23n(n1)ln2.2故Tn3n(n1)ln2．2练习：设Sn＝1+2+3+⋯+n，n∈N*,求f(n)Sn的最大值.(n32)Sn1二、错位相减法设数列an的等比数列，数列bn是等差数列，则数列anbn的前n项和Sn求解，均可用错位相减法。例2（高考天津）在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN)，其中0．（Ⅰ）求数列 an的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；（Ⅰ）解：由an1ann1(2)2n(nN)，0，an1n1an2n21，可得n1nannann22an的通所以n为等差数列，其公差为1，首项为0，故n1，所以数列n项公式为an(n1)n2n．2（Ⅱ）解：设 TnTn324

23

35

34L(n2)n1(n1)n，①L(n2)n(n1)n1②当1时，①式减去②式，得(1)Tn23L

2n1n(n1)n1(n1)n1，1Tn2n1(n1)n1(n1)n2nn12(1)21(1)2．这时数列an的前n项和Sn(n1)n2n2n122n12．(1)当1时，Tnn(n1)．这时数列an的前n项和Snn(n1)2n12．22例3（高考全国Ⅱ文21）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；an（Ⅱ）求数列 的前n项和Sn．bnan的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q12dq421，解：（Ⅰ）设0且4dq213，1解得d2，q2．所以an1(n1)d2n1，bnqn12n1．（Ⅱ）an2n1．bn2n1Sn135L2n32n1，①21222n22n12Sn235L2n32n122n32n2，②②－①得Sn2222L22n1，2222n22n122111L12n12222n22n1112n1222n1112n1262n3．2n1三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例4设函数f(x)2x的图象上有两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，若OP1(OP1OP2),且点P2x22的横坐标为1.2（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II）若Snf(1)f(2)f(3)f(n),nN*,求Sn;nnnn（I）∵OP1(OP1OP2),且点P的横坐标为1.22∴P是P1P2的中点，且x1 x212x12x22x2x222x22x211y1y22x122x222x22422x22x11422x22x1yp1由（I）知，x1x21fx1fx21,且f122又Sf1f2Lfn1fn1nnnnn，（1）+（2）得：nn121SnfLf2fnnfnn2Snf1f1fn1f2fn2Lfnf1f1nnnnnn2f111L1n322Snn3222四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 . 通项分解（裂项）如：111（1）an1)nn1n(n（2）an(2n)21)11(111)(2n1)(2n22n2n1（3）an11[11)(n1]等。n(n1)(n2)2n(n1)(n2)例51,1,1,的前n项和.求数列,n1223n11n1n解：设an（裂项）nn1111则Sn23n（裂项求和）12n1＝( 2

1) (

3

2)

( n

1

n)＝ n 1

1例6（高考湖北）已知二次函数

y

f(x)

的图像经过坐标原点， 其导函数为

f'(x)

6x

2，数列

{an}的前

n项和为

Sn，点

(n,Sn

)(n

N)

均在函数

y

f(x)的图像上。（Ⅰ）求数列

{an}

的通项公式；（Ⅱ）设bn1TnmN都成立的最小正整，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得对所有nanan120数m；解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上，所以2－2n.Sn＝3n当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－31)22(n1)＝－（n6n5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（n N）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn3＝31)5＝1(11)，anan1(6n5)6(n26n56n1n＝11)(11)...11＝1（1－1故Tn＝bi(1()）.i1277136n56n126n1因此，要使1（1－1）<m（nN）成立的m,必须且仅须满足1≤m，即m≥10，所以满26n120220足要求的最小正整数m为10.n1评析：一般地，若数列an为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：首先考i1aiai1n1n111)则n1=1(11)n虑(i1aiai1。下列求和：i1aiai1i1daiai1da1an1a1an1n1也可用裂项求和法。i1 ai ai1五、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这