东北大学高数试题上

-..一、高等数学试题2007/1/14二、填空题〔将正确答案填在横线上，本大题共6小题,每题4分,共24分〕11.lim(1sin3x)________．2.方程x5–5x–1=0在(1,2)共有______个根.2xx0(x71)sin2xdx_________.3.22arctanxdx________．4.x(1x)5.球体半径的增长率为0.02m/s，当半径为2m时，球体体积的增长率为_________.n!xnR的收敛半径.6.幂级数nnn0三、计算题(6分4=24分)xlntdy2,求.yt3dx1.设2t1112.求lim.xxtanx2x03.求x2dx.4x2n(1)2,uu5,求u4．n12n1nn1n1n1yxxxxy四、(10分)设=e(0<+)，求函数的极大值，函数曲线的拐点，并求曲线与直线=2,=1,=0所围成xx曲边梯形的面积及此平面图形绕轴旋转所成的旋转体体积.1五、(8分)将函数f(x)展开成(-1)的幂级数．并给出收敛域。xx24x3x2,0x1xf()tdt，并求出六、(8分)设f(x)abfx适中选取,值，使()成为可导函数，令(x)axb,x1,0(x)的表达式.fxfafbfafbabf七、(6分)设()具有二阶连导续数，且()=(),()>0,()>0,试证：(,)，使()=0.答案：一、1．(C)2.(A)3.(B)4.(D).5.(A)3二、1.e22.13.24.(arctanx)2C5.0.326.e.三、1.9.2..3.2arcsinx1x4x2C.4.8.1322122,，面积A23，体积ee2e4ee513四、极大值y(1)V。,拐点e242--可修编.-..2x五、y2x21.x3,x1六、=2,=1,3ab(x).xx1,x123二、高等数学试题2021/1/14二、填空题〔此题共4小题，每题4分，共计16分〕1.y3e2xsin(xy)0在x0处的切线方程是．Vh2.一个圆锥形容器，深度为10m，上面的顶圆半径为4m，那么灌入水时水的体积对水面高度的变化率为．3．曲线yx36x212x4的拐点为．4．f(x)1展开成2的幂级数为x1x3x2,0x1;2试研究函数f(x)在[0,2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件.三、〔7分〕设f(x)1,1x2.x四、计算以下各题〔此题共6小题，每题6分，共计36分〕．1.limln(12sinx)1x1xx0.1sinx2.limx0x.xxln1t2dy23.设，计算．dxyarctant24.计算积分ln(x1x2)dx．1x21dx．5.计算积分x212xx35x2n16.求幂级数x在收敛域上的和函数.352n1y0x8五、〔7分〕由曲线，，yx2OABy0x8围成曲边三角形，其中为与的交点，为yx2ABx8OB与的交点．在曲边上求一点，过此点作yx2的切线，使该切线与直线段OA，AB所围成的三角形面积为最大．--可修编.-..六、〔7分〕求心形线ra(1cos)与圆r3acos所围图形公共局部.fx七、〔7分〕设()是(,+)的可微函数，且满足：fxx(1)()>0(,+),fxfxx(2)存在0<<1,使得|()|<(),(,+).(aa)绝对收敛.aafan任取(,+),定义=ln(),(=1,2,),证明n10nnn1n1f(x)dx(ba)f(ab)．f(x)[a,b]八、〔4分〕设在上二阶可导，且f(x)0，证明b2a答案：一、1.B.2.A.3.A.4.C.二、1.y1x1.2.34(1)n(x2)n..3.(2,12).4.3n1h225n0dy1t2211x,4.xln(x1x2)1x2C5.ln四、1.2.2.1,3.(121xdxt23<<1),6.yCcos2xCsin2x1xcosx2sinx.x391216256五.(,).395六.a2。4七。提示：两边求导解微分方程。abf(x)八．提示：在x处的一阶Taylor公式为2三、高等数学试题2021/1/16二、填空题〔此题共５小题，每题３分，共计1５分〕1.f(x)1(cosx)x0x0a在处连续，那么=．x2ax0fxyfx2.设函数()可导，=(sin)，那么2d=．yfx3．函数()=e的３阶麦克劳林公式为．xtt4．质点以速度sin2(米秒)做直线运动，那么从时刻tt(秒)质点所经过的程路等于＿＿＿2(秒)到21(米)．yxyx5．以=cos2,=sin2为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿．121xsinx02三、〔８分〕设函数f(x)xfx，求().xsinxx0--可修编.-..四、计算以下各题〔此题共6小题，每题6分，共计36分〕．1.lim(arctan)xx.2x2.x2dx.4x2d2ydx2yyxyxe3.设函数=()由=1+y确定，求．x31f(x)dxx，求f(7)．fx4.设函数()连续，且0(1)n12n5.判断级数的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n100n1五、(8分)设f(x)axf(1)收敛。naan在[1,1]上收敛，试证：当==0时，级数n01n0n1xex,x02，计算六、〔８分〕设函数f(x)f(x1)dx.1x,x00yx2x七、〔８分〕在抛物线=–+1(>0)上求一点,过点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所PP围成的面积最小．(x1)(x1)2(1)n(x)1nn3八、(8分)求幂级数(x1)在其收敛域上的和函数。23九、〔６分〕设函数=在(1,1)具有二阶连续导数且f(x)0，f(x)yxx(1)证明对于(1,1)任一0,存在惟一的()(0,1),使fxfxfxx()=(0)+[()]成立；(2)求lim(x)．x0答案：一、1.B.2.A.3.B.4.C.5.Dxx31212.2.2二、1.aedysin2xf(sin3x)dx.3.f(x)1xo(x3).4..26yy5.+4=0.112xsincos,x0xxxx三、f(x)sinxxcosx,x0四、1.１.2.2arcsin4x2C,220x0d2ye2y(3y),4.f(7)13.yx+3+1.12，5.条件收敛五.=3xdx2(2y)3--可修编.-..3P(3,2)六.2e1。七.233xx八．ln(0<2)四、高等数学试题2021/01/16二、填空题〔此题共6小题，每题4分，共计24分〕1(1x)x0x0a在处连续，那么=．1.假设函数f(x)xax02.函数f(x)xsinx(0,)的极小值为．3在222fx3．函数()在(,)是可导的偶函数，且limf(3x)f(3)1,yfxf那么=()在点(3,(3))处的切线斜率2xx0为．14．假设()xftdtx4，那么(1)=＿＿＿．f20[,]上连续，那么fx[f(x)f(x)]sin2xdx5．假设()在22222,1x0,6．设()是以2为周期的函数，其表达式为f(x)fxfxx那么()的Fourier级数在=1处收敛x2,0x1,于____________。三、计算以下各题〔此题共6小题，每题6分，共计36分〕．xaxdy21.假设ya2x2arcsin(>0),求.a22adx2.求极限lim(x2x3sin1).xx3.计算不定积分(arcsin)x2dx．4.计算定积分5x13x1dx．0x2cos3t,d2ydx25．假设，求y2sin3t,t41x6．如果y=()满足fxyxo(x)ffx，且(1)=1,求()．2xx2--可修编.-..xa(tsin),tatx(>0)的第一拱(02),求(1)该摆线的弧长；(2)该摆线与轴围成的平面四、(8分)摆线ya(1cost),x图形绕轴旋转一周所得立体的体积．1的和。fxxxxfx五、〔８分〕设()=+2,[,),将()展开成Fourier级数,并求级数n2n1fxa六、〔4分〕假设()在[0,]上连续，且af(x)dx0f()f(x)dx0.，证明至少存在一点(0,)，使得a00答案：一、1.A.2.B.3.A.4.C.5.D二、1..2..3..4.2.5.06.3.2e2614三、1.a2x2.2.,3.x(arcsin)x221x2arcsinx2xC,4.6,5.36.2xx262五、6五、高等数学试题2021/01/14二、填空题1.设y=ln,xy(n)(1)=．2.exdx．1e2x1(xcosx2)xdx．3．114．位于轴右侧，轴上方，曲线y1x2yx下方的平面图形的面积为＿＿＿．5．水坝中有一直立矩形闸门，宽为3米，高为4米，闸门的上边平行于水面，顶部与水面相齐，那么闸门所受到的水压力为＿＿＿＿．三、计算以下各题1.求极限lim1xsinxcosx.sinx2x0ln(1x),x0,2.求函数.f(x)sinx,x0,的导数.xln(1t2),d2y3.f(x)求．ytarctan,tdx2t14.确定曲线f(x)x(t1)(t2)2dt的凹凸区间与拐点．0四、求以下积分--可修编.-..1．x2cosxdx1x41x2dx．2．0五、级数1.求幂级数xn在收敛域的和函数。n3nn12．设级数(aa)bn(b0)收敛，证明级数ab绝对收敛。收敛，nn1nnnn1n1n1六、求单位球的接正圆锥体的最大体积以及取得最大体积时椎体的高1f()2f().fx七、设()在[0,1]上可微，且f(1)2ef(x)dx，证明至少存在一点(0,1)，使得1x220答案：一、1.B.2.C.3.A.4.D.5.C+.3..4..5.24g(KN).2二、1.(1)n1(n1)!.2.arcsinexC3213,x0,141124(,),(2,)3813三、1..2.f(x)x1,3.,4.拐点24cosx,x0,xsinx2xcosx2sinxC.2.32四、1.23x五、1..(3x)2324六、V,h813。max六、高数2021/01/08二、填空题1sinxxsin1x0xx0b在处连续，那么=1．f(x)xbx0yxyx2．曲线=ln在点处的切线平行于=23.Fxx3．()是sin2的一个原函数，那么d(F(x2))=xn的收敛半径为__________。4．幂级数n3nn1xtx5．设f(x)limt，那么f(0)=。xtx三、计算题--可修编.-..lnsinx1．求lim。(2x)2x2xacos3tdy2，求。2．设yasintdx32dydx3．方程xyxedtx2xcostdtyyx确定函数=()，求。t210x0四、计算积分1．求xcos2xdx。1x21dx。2．求x212五、求曲线yx21x的凹凸区间、拐点及渐近线。r六、一密度为2.5103〔单位：kg/m3〕，底半径为(单位：m)，高为h(单位：m)的金属圆柱体放入水中，上底面与水面相切，求将这个圆柱体捞出水面所做的功。n1xn1n的和函数，并求的和。2nn!七、求幂级数n!n0n0fx八、设函数()在[0,1]上非负连续，证明：(1)存在x(0,1)，使在[0,x][x,1]上以()为高的矩形面积等于在上以=()为曲边的曲边梯形面积0fx0Syfx001S。2f(x)2f(x)xfx(2)假设函数()在(0,1)可导，且，那么(1)中的是唯一的。x0答案七、高数2021/01/13一单项选择题〔每题4分，共24分〕1假设函数满足f'(x)ef(x)f(x)，且f(0)1，那么f(n)(0)〔〕.A:(n1)!en,B:n!en,C:(n1)!en1,D:n!en1.I2对于积分I2(2sinx2sinx)dx,那么〔〕.0200A：=B:C：D：.0,x3x13设f(x)，那么f(x)在[0，2]上满足的Lagrange中定值理的=〔〕.,xx1x12--可修编.-..3737A：,B：,C：或,D：37或.242424sinx1()xln(1x)lim4极限〔〕.xx01A：e6111eeeB：6C：3D：3f(x)5假设连续，且01xf(x)dx0xf(x)dx0,那么〔〕.,10A：当x(1,1)时，f(x)0，B：当x(1,1)时，f(x)0，C：f(x)在(1,1)至少有一个零点.D:f(x)在(1,1)必无零点.6假设函数F(x)x(2tx)f(t)dt，其中在f(x)(1,1)二阶可导，0并且f'(x)0，当x(1,1)时,那么〔〕.F(x)x0F(x)x0A:在取极大值;B:在取极小值;C:在不取极值,点也不是曲线yF(x)的拐点；F(x)x0(0,0)F(x)x0(0,0)yF(x)的拐点.D:在不取极值,但是点是曲线二填空题〔每题4分，共24分〕7函数f(x)x36x21在x(1,1)的极大值是〔〕.12dx〔〕.8反常积分xx19曲线yk(x23)2在拐点处的法线经过原点，那么常数k2〔〕.tantdt位于0x10曲线yx4的弧长是〔〕.0011假设f(x),g(x)在(,)连续，且g(x)2f(x)dx10x,--可修编.-..g(x)dx2f(x)dx〔〕.1那么00dex1x展开成关于的幂级数为〔〕.12dxx三解答以下各题，应有必要的步骤或说明〔共52分〕x2113〔8分〕求f(x)的连续点，并指出其类型.sin(x)f(x)x()的值.14〔8分〕假设非负连续，且f(x)f(xt)dtsin4x,求f20xab415〔8分〕确定a,b,的值，使得f(x)x2在x2处xx34322x2〕处使f'()0，但f()不是极值.取极值，在〔[a,b]af(x)b，|f(x)|q1fx16〔8分〕设函数()在上满足，令uf(u)，n1,2,3,,u[a,b]，nn10证明：级数(uu)绝对收敛。n1nn117〔8分〕设f(x)1et2dt,x0x,,x0e1(x1)f(x1)dx.0计算2218〔8分〕求在上半平面由曲线xy，y2x2和yx所围成的平面图形，y〔1〕面积,〔2〕围绕轴旋转一周的立体体积.1f(x)dxf().11x19〔4分〕假设[0，1]时，f"(x)0，证明：对任意正常数，0参考答案一ABABCD;1二7:1,8:,9:,10:ln(21),11:5,232三xkk13连续点是,(是整数)--可修编.-..814f().231115a0,a4.b5b316117618(1)A52………………..6分(2)Vy八、高数2021/01/19一计算题〔每题5分，共50分〕11求极限lim1sinxsinxx0x21x1f(x)x1处连续。x1求，使得在2设f(x)ba、baarccosx1x13设f(x)ln(x1x2)求f(0)x2tt2d2y4求由参数方程y3tt3所确定函数的二阶导数dx2x15求limx1