弹性力学空间问题的基本理论

第一页，共七十三页，2022年，8月28日§6-1一点的应力状态

空间问题，一点的应力分量有9个可以证明，这9个应力分量作为一个整体是对称的二阶张量，故独立的应力分量有6个。第二页，共七十三页，2022年，8月28日1.斜面上的应力矢量

已知一点P的应力状态求：过该点任意截面上的应力矢量第三页，共七十三页，2022年，8月28日设ΔABC的面积为ΔS

四面体的体积ΔV=1/3×ΔS×Δh

Δh为P点到ΔABC的垂距P第四页，共七十三页，2022年，8月28日第五页，共七十三页，2022年，8月28日在外法向为n的斜面上的正应力为:2.斜面上的正应力与切应力

沿斜面内某切向的切应力为

P第六页，共七十三页，2022年，8月28日将应力矢量沿方向投影,得：3.的张量性（应力转换公式

）

新旧基矢量之间的转换关系为

于是，在以为外法向的斜面上的应力矢量为

设：原坐标面上的应力矢量为第七页，共七十三页，2022年，8月28日主平面上的正应力主应力这种斜面主平面§6-2主应力及应力张量不变量

一般而言，与不共线，若共线，则在作用面内无分量，即只有正应力，而无切应力。相应的外法向主方向第八页，共七十三页，2022年，8月28日1记主应力为σ

则又考虑到不全为0主应力和主方向第九页，共七十三页，2022年，8月28日第十页，共七十三页，2022年，8月28日

将三个主应力分别代入式(*)，利用其中的任意二式，并结合

可以求得相应的三个方向，即为应力张量的主方向。第十一页，共七十三页，2022年，8月28日2应力张量的不变量第十二页，共七十三页，2022年，8月28日第十三页，共七十三页，2022年，8月28日31若干性质第十四页，共七十三页，2022年，8月28日可求出三个根第十五页，共七十三页，2022年，8月28日2三个主方向两两正交第十六页，共七十三页，2022年，8月28日第十七页，共七十三页，2022年，8月28日12表明：在平面内任何方向均可作为应力主方向，可选任意二个正交方向作为应力主方向。第十八页，共七十三页，2022年，8月28日3表明：任何方向均可作为应力主方向，可选任意三个正交方向作为应力主方向。第十九页，共七十三页，2022年，8月28日§6-3最大及最小的应力

1最大和最小的正应力斜面上的正应力

因为三个主向正交，所以可选择xyz使得坐标轴与应力主向重合,则:第二十页，共七十三页，2022年，8月28日记：故：同理第二十一页，共七十三页，2022年，8月28日2最大和最小的切应力仍取前述坐标系，则第二十二页，共七十三页，2022年，8月28日第二十三页，共七十三页，2022年，8月28日小结1一点的应力状态：二阶张量，可以用矩阵表示234应力张量向某斜面“投影”，得某斜面上的应力矢量应力矢量向某方向投影，得某方向的应力分量已知一点的应力张量，可求出主应力，主向，最大和最小应力，可完全决定该点的应力状态第二十四页，共七十三页，2022年，8月28日§6-4平衡微分方程

静力平衡条件具有客观不变性，可直接用张量描述。设想在弹性体内任意划出一个体积V，它的外表面为，外表面的法向为n。该体积在体内受到体力f作用，在表面受到应力矢量t作用。这些力的合力和合力矩要满足平衡条件。即第二十五页，共七十三页，2022年，8月28日利用高斯积分公式，（ａ）式中的曲面积分可以转化为体积分1力的平衡第二十六页，共七十三页，2022年，8月28日第二十七页，共七十三页，2022年，8月28日力矩平衡2第二十八页，共七十三页，2022年，8月28日代入，得由于体积Ｖ是任意取的，并考虑到平衡微分方程得到:由于关于指标i、j是反对称的，因此有第二十九页，共七十三页，2022年，8月28日曲线坐标系的平衡方程3利用不变性记号，可以得曲线坐标下的平衡方程第三十页，共七十三页，2022年，8月28日§6-5应变张量与转动张量几何方程

1应变张量的引入

考察弹性体区域V内的任一点P的微小线段PP*在变形过程中长度和方向的变化情况。第三十一页，共七十三页，2022年，8月28日变形后：第三十二页，共七十三页，2022年，8月28日由:讨论在直角坐标系分量：第三十三页，共七十三页，2022年，8月28日长度改变：定义：由商法则,为一阶张量，进而为

二阶张量,故为二阶对称张量,称为格林应变张量。第三十四页，共七十三页，2022年，8月28日见下页第三十五页，共七十三页，2022年，8月28日小变形：第三十六页，共七十三页，2022年，8月28日简称应变张量第三十七页，共七十三页，2022年，8月28日转动张量2第三十八页，共七十三页，2022年，8月28日反偶矢量3曲线坐标系的几何方程利用不变性记号，可以得曲线坐标下的几何方程。进一步可证明

称为转动张量的原因第三十九页，共七十三页，2022年，8月28日表明：已知一点的位移场，可求出其附近位移场，由位移的梯度来表示。§6-6变形的描述第四十页，共七十三页，2022年，8月28日

位移的梯度由应变张量ε和转动张量Ω组成1进一步分析可知:应变张量描述了微元的相对变形，转动张量描述了微元的刚体转动。第四十一页，共七十三页，2022年，8月28日相对变形转动平动2位移的组成第四十二页，共七十三页，2022年，8月28日§6－7一点的应变状态，主应变及应变张量不变量已知：一点的应变张量求：该点的应变状态即：任一线段的正应变(相对伸缩)任二线段的夹角的改变主应变和应变主向最大和最小应变第四十三页，共七十三页，2022年，8月28日1、任一线段的正应变单位方向矢量:

P

设第四十四页，共七十三页，2022年，8月28日设微段的相对伸长(正应变)为第四十五页，共七十三页，2022年，8月28日小变形由于第四十六页，共七十三页，2022年，8月28日2、任二线段夹角的改变二线段：长度：变形后：单位方向矢量为第四十七页，共七十三页，2022年，8月28日dr′＝dr＋du,δr′＝δr＋δu第四十八页，共七十三页，2022年，8月28日…………第四十九页，共七十三页，2022年，8月28日小变形,保留一阶微量第五十页，共七十三页，2022年，8月28日第五十一页，共七十三页，2022年，8月28日3、主应变与应变主向定义：在变形过程中，除去刚体转动外，微元线段保持某方向不变，则此方向称为应变主方向，该方向微线段的相对伸缩量为主应变。第五十二页，共七十三页，2022年，8月28日第五十三页，共七十三页，2022年，8月28日此时，根据应变主方向的定义第五十四页，共七十三页，2022年，8月28日

说明：1与求主应力类似；2也可由二阶对称张量的性质，从数学上求第五十五页，共七十三页，2022年，8月28日有三个实根，表明过一点有三个主应变第五十六页，共七十三页，2022年，8月28日4.应变张量不变量展开后与（*）比较系数：第五十七页，共七十三页，2022年，8月28日考虑一微元体，变形前：变形后：单位体积的改变：体积应变第五十八页，共七十三页，2022年，8月28日§6－8应变协调方程

数学上：1第五十九页，共七十三页，2022年，8月28日2这些条件称为变形协调条件或应变协调方程或相容方程第六十页，共七十三页，2022年，8月28日物理上：微元体变形后应保持连续，要求不能任意，应保持连续，不然则会产生错开、嵌入等现象，不是单值。因为位移完全可以描述物体的运动和变形12第六十一页，共七十三页，2022年，8月28日直角坐标系中分量形式的相容方程

第六十二页，共七十三页，2022年，8月28日

进一步可以证明，应变分量满足应变协调方程是存在单值连续位移场的必要条件。对于单连体，也是充分条件；对于多连体，加上位移单值条件，才是充分的。第六十三页，共七十三页，2022年，8月28日§6－9各向同性弹性体的应力应变关系

线弹性体最一般应力应变关系：相当于：其中：E为四阶张量（由商法则），称为弹性张量，共有81个分量。（*）式称物理方程，或本构方程（关系）第六十四页，共七十三页，2022年，8月28日对于各向同性材料：坐标任意变换时，（*）形式不变，所以E为四阶各向同性张量。又有：而：第六十五页，共七十三页，2022年，8月28日第六十六页，共七十三页，2022年，8月28日第六十七页，