电磁学电子教案

电磁学电子教案第一页，共60页。

电磁学电子教案使用教材：赵凯华、陈熙谋编的电磁学第二版主讲人：陈绍英、王启文、石鹏、李艳华呼伦贝尔学院物理系普通物理教研室电磁学课题组

2006年9月制作第二页，共60页。第一章静电场1.1

静电的基本现象和基本规律1.2电场电场强度1.3高斯定理1.4电位及其梯度

第三页，共60页。

1.1.1两种电荷电荷守恒定律

两种电荷

1747年富兰克林发现了电。物体所带的电荷有两种，分别称为正电荷、负电荷。同号电荷相斥，异号电荷相吸。电荷可以由摩擦起电、静电感应产生。历史上约定：用丝绸摩擦的玻璃棒带正电，用毛皮摩擦的塑料棒带负电。

电荷是基本粒子的一个性质，它不能脱离这些基本粒子而存在。物体具有吸引轻小物体的性质叫做电性。带电的物体称为带电体。使物体带电叫做起电，正、负电荷互相完全抵消的状态叫做中和。电荷守恒定律

摩擦起电和静电感应等实验证明：电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，也就是说，在任何物理过程中，电荷的代数和是守恒的。

电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程，是物理学中普遍的基本定律之一。第四页，共60页。1.1.3导体、绝缘体和半导体1.1.3导体、绝缘体和半导体

按照电荷在其中是否容易转移或传导，习惯上把物体分为：⑴电荷能够从产生的地方迅速转移或传导到其它部分的物体，叫做导体；⑵电荷几乎只能停留在产生的地方的物体，叫做绝缘体；⑶导电能力介于导体和绝缘体之间的物体，叫做半导体。1.1.4物质的电结构

物质是由分子、原子组成的；而原子又由带正的原子核和带负电的电子组成；原子核又由不带电的中子和带正电的质子组成。在正常情况下，物体中任何一部分所包含的电子的总数和质子的总数相等，对外不显电性。如果在一定的外因作用下，物体（或其中的一部分）得到或失去一定数量的电子，使得电子的总数和质子的总数不再相等,物体就呈现电性。摩擦起电和静电感应就是施加一定的外部作用，使某一物体(或物体的一部分)得到(或失去)一定数量的电子，使电子总数多于(或少于)质子总数，从而使该物体(或物体的一部分)带负(或正)电。第五页，共60页。1.1.5电荷的量子化1.1.5电荷的量子化

1906～1917年，密立根（R.A.Millikan)用液滴法测定了电子电荷，证明微小粒子带电量的变化是不连续的，它只能是基本电荷e的整数倍，即粒子的电荷是量子化的。迄今所知，电子是自然界中存在的最小负电荷，质子是最小的正电荷。它们的带电量都是基本电荷e：

e=1.60217733×10-19库仑(C)库仑是电量的国际单位。电荷量子化已在相当高的精度下得到了检验。那么基本电荷e是不是最基本的呢？在强子结构的夸克模型（1964年）中，夸克带分数电荷，相应的"反夸克”带等量反号的电荷。上(up)夸克的带电量为2e/3；下(down)夸克的带电量为-

e/3；奇异(strange)夸克的带电量为-

e/3。

在这一模型中，夸克是受到“禁闭”的。迄今为止，尚未在实验中找到自由状态的夸克。

现在，分数电荷仍是一个悬而未决的命题。不过即使分数电荷存在，仍然不会改变电荷量子化的结论，只不过新的基本电荷是原来的1/3而已。第六页，共60页。1.1.7库仑定律

1.1.6电荷的相对论不变性

在不同的参照系内观察，同一个带电粒子的电量不变。电荷的这一性质叫做电荷的相对论不变性。1.1.7库仑定律当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比允许忽略时，可以将带电体看作点电荷

。

1785年库仑(Coulomb)从扭秤实验结果，总结出点电荷之间的相互作用力所满足的规律，这就是库仑定律：

在真空中，两个静止点电荷之间的相互作用力与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。第七页，共60页。1.1.7库仑定律

即:

(1.1)比例系数k由实验确定引入真空电容率或真空介电常量则库仑定律可写作其矢量形式为

（1.2)第八页，共60页。1.1.7库仑定律

当空间有两个以上的点电荷时，作用在某一点电荷上的总静电力，等于其它各点电荷单独存在时对该点电荷所施静电力的矢量和。这是静电力的叠加原理。

库仑定律是直接从实验总结出来的规律，是静电场理论的基础。库仑定律与牛顿万有引力定律类似，也不是超距作用。按照现代物理学的观点，相互作用是由场以有限速度传播的。

库仑定律和万有引力定律都是平方反比规律，从数量级上比较，引力要弱得多，在氢原子内，电子和质子之间的静电力与万有引力的比值为2.26×1039。第九页，共60页。作业：p262、4、6、8第十页，共60页。1.2.1电场电场强度

电场

电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围存在有电场，在电场中的任何带电体，都受到电场的作用力。

电荷周围存在的能对其它带电体施加力的作用的特殊物质，称为电场。

电场的性质：(1)对处于电场中的带电体有力的作用，这表明电场具有力的特性；(2)当带电体在电场中移动时，电场对其作功，这表明电场具有能的特性。第十一页，共60页。1.2.2电场强度矢量1.2.2电场强度矢量为了描述电场力的性质，则在电场中引入检验电场力的性质的试探电荷。对于试探电荷而言，其电量必须很小，以避免由于它的引入而对场源电荷产生影响；其次，其几何尺寸必须很小，成为名副其实的点电荷，以便能细致地反映出电场中各点的性质。置于电场中某点的试验电荷将受到源电荷q作用的电场力，实验证明：该力的大小与试验电荷的电量成正比，而该力与试验电荷电量的比值则与试验电荷无关，是一个仅由场源电荷产生的电场性质决定的物理量。用这个物理量作为描写电场的物理量，称为电场强度（简称场强），用E表示。其定义为：

（1.4）

由此可知，电场中某点的电场强度大小等于置于该点的单位正电荷所受的电场力，方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致。在SI单位制中，场强的单位为N/C或V/m。

第十二页，共60页。1.2.2电场强度矢量一般说来，电场中空间不同点的场强的大小和方向都可以是不同的。如果电场中各点的场强大小和方向都相同，这种电场叫做均匀电场，它是一种特殊情况。【例题1】求点电荷所产生的电场。【解】如右图示，以点电荷所在处为原点，另取一任意点（叫做场点）。设想把一正试探电荷放在点，根据库仑定律，受的力为

p点的场强为

(1.5)

由上式可知

(1)E的方向处处以q为中心的矢径（q﹥0）或其反方向（q﹤0）；(2)E的大小只与距离r有关，所以在以q为中心的每个球面上场强的大小相等。通常说，这样的电场是球对称的。(3)电场在空间是连续分布的，且为矢量，故为矢量场，它是空间坐标的矢量函数。

第十三页，共60页。1.2.3电场强度叠加原理1.2.3电场强度叠加原理电场力是矢量，它服从矢量叠加原理。即，如果以、、……、分别表示点电荷、、……、单独存在时电场施于空间同一点上试探电荷的力，则它们同时存在时，电场施于该点试探电荷的力将为它们的矢量和，即将上式除以，由场强的定义，我们得到由此可见，点电荷组所产生的电场在某点的场强等于各点电荷单独存在时所产生的电场在该点场强的矢量叠加。这叫做电场强度叠加原理（简称场强叠加原理）。

如果电荷分布已知，那么从点电荷的场强公式出发，利用场强叠加原理，就可以求出任意电荷分布所激发的电场的场强。

第十四页，共60页。1.2.3电场强度叠加原理【例题2】如右下图示，一对等量异号点电荷，其间距离为，求两电荷延长线和中垂面上一点的场强。【解】（1）中垂面上一点的场强场点到的距离相等，产生的场强大小相等为：

但它们沿垂线方向分量互相抵消，在平行于连线方向分量相等，故有第十五页，共60页。1.2.3电场强度叠加原理

（2）延长线一点的场强向左，

向右，故总场强大小为一对等量异号的点电荷组成的带电体系，它们之间的距离远比场点到它们的距离小得多，这种带电体系叫做电偶极子。

第十六页，共60页。1.2.3电场强度叠加原理故在上面的关系式中有则有上式表明：（1）电偶极子的场强与距离的三次方成反比；（2）电偶极子的场强与有关。其中它是描述电偶极子属性的物理量，称为电偶极矩。第十七页，共60页。1.2.4电荷连续分布的带电体的场强计算

电荷连续分布的带电体的场强计算

实际中电荷是分布在一定体积内。但根据不同情况可以认为是体、面、线的连续分布，引入电荷的体密度、面密度、线密度等概念。其场强的计算为注意应化矢量运算为标量运算，并考虑场的对称性。

第十八页，共60页。1.2.5带电体在电场中受的力及其运动1.2.5带电体在电场中受的力及其运动

电荷和电场间的相互作用有两个方面，即电荷产生电场和电场对电荷施加作用力。

【例题】计算电偶极子在均匀电场中所受力矩。【解】由于正负电荷在均匀电场中受力大小相等方向相反，故其所受合力为零。但由于二力的作用线不同，形成一个力偶。其力矩的大小为考虑其方向及电偶极矩写成矢量式为

（1.13）第十九页，共60页。作业p422、4、6、8、9第二十页，共60页。1.3.1电力线及其数密度

电力线及其数密度

静电场是矢量场，静电场中各点的场强，不仅方向可以不同，而且大小一般是空间坐标的矢量函数。为了使电场的分布形象化、直观化，表达某一点电场的方向和大小可以采用电力线（E线）的概念。

如果在电场中作出许多曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点场强方向一致，那么，所有这些作出的曲线，叫做电场的电力线。为了使电力线不仅只表示出电场中场强的方向分布情况，而且表示出各点场强的大小分布情况，引入电力线数密度的概念。在电场中任一点取一小面元与该点场强方向垂直，设穿过

的电力线有根，则比值叫做该点电力线数密度，它的意义是通过该点单位垂直截面的电力线根数。规定：在作电力线图时，总使电场中任一点的电力线数密度与该点的场强大小成正比，即第二十一页，共60页。1.3.1电力线及其数密度这样，电力线稀疏的地方表示场强小，电力线稠密的地方表示场强大；也就是说，用电力线的疏密分布把电场中场强大小分布情况反映出来。电力线可以借助一些实验方法显示出来。

从这些电力线图可以看出，除场强为零的点外，电力线有以下一些基本性质：

（1）电力线起自正电荷（或来自无限远），止于负电荷（或伸向无限远），但不会在没有电荷的地方中断；（2）若带电体中正、负电荷一样多，则由正电荷出发的全部电力线都集中到负电荷上去；第二十二页，共60页。

电通量

（3）两条电力线不会相交；（4）静电场中的电力线不形成闭合线。1.3.2电通量定义面元dS

=dSn，dS的大小dS等于面元的面积，方向n取其法线方向。面元dS在垂直于场强方向的投影是

n是面元dS的法线方向，q是场强E的方向与面元dS法向n之间的夹角。

第二十三页，共60页。

电通量通过面元dS的电通量定义为（1.14）

在场强分布为E(r)的电场中，通过任一曲面S（如下图）的电通量定义为：

（1.15）当S是闭合曲面时

第二十四页，共60页。

高斯定理的表述和证明对闭合曲面，通常规定自内向外为面元法线的正方向。所以如果电场线从曲面之内向外穿出，则电通量为正(F

E

>0)，反之，如果电场线从外部穿入曲面，则电通量为负(F

E

<0)。

根据电场线的含义，通过一个曲面的电通量等于通过这一曲面的电场线的条数。德国数学家和物理学家高斯(K.F.Gauss)曾从理论上证明，静电场中任一闭合曲面上所通过的电通量与这一闭合曲面内所包围的电荷电量间存在着确定的量值关系，这一关系被称为高斯定理。1.3.3高斯定理的表述和证明高斯定理表述如下：

通过一个任意闭合曲面S的电通量FE等于该面所包围的所有电荷电量的代数和除以，与面外的电荷无关。

第二十五页，共60页。

高斯定理的表述和证明用公式表达高斯定理，则有

（1.16）上式中的表示沿一个闭合曲面的积分；这闭合曲面习惯叫做高斯面。高斯定理可由库仑定律和场强叠加原理证明。考虑一个点电荷q的电场中，有一闭合曲面S，在S上取一面元dS，设r是该电荷到面元的距离，n是面元的外法线单位矢量，则通过该面元的电通量q

是场强E的方向与面元dS法向n之间的夹角。第二十六页，共60页。

高斯定理的表述和证明应用立体角dW

（solidangle）的概念（参见下图）则第二十七页，共60页。1.3.4从高斯定理看电力线的性质可以证明因此，对整个闭合曲面，电通量为：上式是对单个点电荷的高斯定理。根据场强的叠加原理，上述结果可推广至任意带电系统的静电场，从而得到高斯定理(1.16)式。1.3.4从高斯定理看电力线的性质

（1）电力线的起点和终点

我们作小闭合面分别将电力线的起点和终点包围起来，则必然有电通量从前者穿出（即F

E

>0，见图a），从后者穿入（即F

E

<0，见图b）。第二十八页，共60页。1.3.4从高斯定理看电力线的性质因而根据高斯定理可知，在前者之内必有正电荷，后者之内必有负电荷。这就是说，电力线不会在没有电荷的地方中断。于是，高斯定理可理解为从每个正电荷发出根电力线，有根电力线终止于负电荷。如果在带电体中有等量的正、负电荷，电力线就从正电荷出发到负电荷终止；若正电荷多于负电荷（或根本没有负电荷），则多余的正电荷发出的电力线只能伸向无限远；反之，若负电荷多于正电荷（或者根本没有正电荷），则终止于多余的负电荷上的电力线只能来自无限远。

（2）电力线的疏密与场强的大小

由一束电力线围成的管状区域，叫做电力管（见右图c）。由于电力线总是平行于电力管的侧壁，因而没有电通量穿过侧壁。第二十九页，共60页。1.3.4从高斯定理看电力线的性质取电力管的任意两个截面和，它们与电力管的侧壁组成一个闭合高斯面。通过此高斯面的电通量为式中和分别是和上场强的数值，和分别是场强与高斯面外法线和之间的夹角（见图c）。设这段电力管内没有电荷，则根据高斯定理，有

或现取和都与它们所在处的场强垂直，则，，，，上式化为第三十页，共60页。1.3.5高斯定理应用举例亦即沿电力管场强的变化反比于它们的垂直截面积。这样，在电力管膨胀的地方（即电力线变得稀疏的地方）场比较弱，在电力管收缩的地方（即电力线变得密集的地方）场比较强。因而由电力线的分布图，我们可以定性地看出沿电力线场强强弱的变化情况。1.3.5高斯定理应用举例

我们应用高斯定理（1.16）式来解决实际问题就是求场的分布。在（1.16）式中注意：E是带电体系中所有电荷（无论在高斯面内或面外）产生的总场强，而只是对高斯面内的电荷求和。应用它求解问题的关键在于如何把E从积分号内提到外面来。要把E从积分号内提到外面来，则要求E在高斯面上成为常量，即E的分布具有高度对称性。即球对称、面对称和柱对称三种。下面通过具体例子加以说明。第三十一页，共60页。1.3.5高斯定理应用举例【例题1】求均匀带正电球壳内外的场强，设球壳带电总量为，半径为。【解】首先分析电场分布的对称性。由于电荷均匀分布在球壳上，这个带电体系具有球对称性，因而电场分布也应具有球对称性。这就是说，在任何与带电球壳同心的球面上各点的场强的大小均相等，方向沿半径向外呈辐射状。为了具体说明场强的方向确是如此，让我们来考虑空间任一场点P（见图）。对于带电球壳上的任何一个面元，在球面上都存在着另一面元，二者对OP联线完全对称（O是球心），和在P点产生的元电场和也对OP联线对称，第三十二页，共60页。1.3.5高斯定理应用举例从而，它们的矢量和必定沿OP联线。整个带电球壳都可以分割成一对对的对称面元，所以在P点的总场强E一定沿OP联线的。根据电场的球对称性特点，取高斯面为通过P点的半径为的同心球面（如图中蓝色的圆），此球面上场强的大小处处都和P点的场强E相同，而

处处等于1，通过此高斯面的电通量为上述对称性的分析对球壳内、外的场点都是适用的，所以上述适用于无论比球壳大或小的高斯面。如果P点在球壳外，则高斯面包围了球壳上的电荷。根据高斯定理，由此得P点的场强为或（为单位矢量）第三十三页，共60页。1.3.5高斯定理应用举例这表明：均匀带电球壳在外部空间产生的电场，与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样。如果P点在球壳内，则高斯面内没有电荷。根据高斯定理，由此得P点的场强为这表明：均匀带电球壳内部空间的场强处处为0。

【例题2】求均匀带正电球体内外的电场分布，设球体带电总量为，半径为。【解】由于电荷的分布为球对称，则其电场的分布也是球对称的。可把均匀带电球体分割成一层层的同心球壳，这样可利用上题的结果。如右图示，如果P点在球壳外，则高斯面包围了球壳上的电荷。根据高斯定理，第三十四页，共60页。1.3.5高斯定理应用举例由此得P点的场强为或

如果P点在球壳内，则高斯面内只有半径小于的电荷对电通量有贡献。由于是均匀带电，则有，，所以带电球体内部的场强为

或第三十五页，共60页。1.3.5高斯定理应用举例【例题3】求均匀带正电的无限长细棒的场强，设棒上线电荷密度为。【解】该带电体系的场具有柱对称性，即在任何垂直于棒的平面内的同心圆周上场强的大小相等。场强的方向如何？前面曾分析过，有限长带电细棒中垂面上场强是垂直于带电细棒的辐射状。对无限长带电细棒来说，在棒中部的有限长范围内，棒上每一点均可认为是棒的中点，则在距棒为长为的圆柱面上各点的场强大小相等，方向均垂直于表面向外，即为柱对称。取如右图所示的以棒为轴，半径为长为的圆柱面为高斯面，则通过它的电通量为在上、下底面上，所以上式中后两项为0，侧面上，故第三十六页，共60页。1.3.5高斯定理应用举例另一方面，高斯面包长度为的一段细棒，其中电荷为，根据高斯定理，则P点的场强为

由此可见，当条件允许时，利用高斯定理计算场强的分布要简捷得多。【例题4】求均匀带电的无限大平面薄板的场强分布，设电荷的面密度为。【解】由均匀带电圆环的场沿对称轴线方向，故可将无限大平面分割成无数多个同心圆环，则可知其电场的分布是关于带电平面对称，即，其电场的分布是面对称的。取如右图所示关于带电平面对称的柱面及两端面为闭合的高斯面，采用与上题相同的计算，可求出场强的大小为第三十七页，共60页。1.3.5高斯定理应用举例上式表明，场强Ｅ与平板到场点的距离无关。上述公式对于均匀带负电的无限平面薄板也适用，只是场强的方向相反。从以上几个例题可以看出，利用高斯定理求场强的分布关键在于对称性的分析。只有当带电体系具有一定的对称性，才有可能利用高斯定理求场强。虽然这样的带电体系并不多，但在几个特例中得到的结果都是很重要的。这些结果的实际意义往往不限于这些特例本身，很多实际场合都可利用它们来作近似的估算。

应当指出，利用高斯定理可以求场强，只体现了高斯定理重要性的一个方面。高斯定理更重要的意义在于它是静电场两个基本定理之一。静电场的另一基本定理正是下节要讲的内容。两个定理各自反映静电场性质的一个侧面，只有把它们结合起来，才能完整地描绘静电场。(没有一定的对称性就不能单靠高斯定理来求场强分布，这一事实正好说明，高斯定理对静电场的描述是不完备的。)第三十八页，共60页。作业：p703、6、8、10、11、13第三十九页，共60页。1.4.1静电场力所做的功与路径无关

前两节从电荷在电场中受到电场力的角度引入了电场强度E，并以E描述静电场的性质,而高斯定理揭示了静电场是一个有源场。本节将从电场力对电场中的运动电荷做功的特性出发，导出静电场的环路定理，引入描述静电场的另一个物理量——电势。

静电场力所做的功与路径无关

我们首先从库仑定律和场强叠加原理出发，证明静电场力所做的功与路径无关，先证明在单个点电荷的场中的情况，后证明任意电场情况。（1）单个点电荷产生的电场如右图示，点电荷q的电场中移动点电荷q0，从r处移动dl，电场做的功点电荷q0从P到Q点，电场所做的功为：第四十页，共60页。1.4.1静电场力所做的功与路径无关即上式表明，只和路径的起点、终点到的距离、有关。由此可见，单个点电荷的电场力对试探电荷所做的功与路径无关，只和试探电荷的起点、终点位置有关，此外它还与试探电荷的大小成正比。

（2）任意带电体系产生的电场

在一般情况下，电场并非由单个点电荷产生，但是我们总可以把产生电场的带电体划分为许多带电元每一带电元可以看作是一个点电荷，这样就可以把任何带电体系视为点电荷组。总场强Ｅ是各点电荷、、…、单独产生的场强、、…、的矢量和：从而当试探电荷由点沿任意路径到达点时，电场力所做的功为由于上式右方的每一项都与路径无关，所以总电场力的功也与路径无关。第四十一页，共60页。1.4.1静电场力所做的功与路径无关这样，我们得出结论：试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功，只与这试探电荷电量的大小及起点、终点的位置有关，与路径无关。

（3）静电场的环路定理

静电场力作功与路径无关这一结论，还可以表述成另一种等价的形式，如右图示。在静电场中取一任意闭合环路，考虑场强Ｅ沿此环路的线积分。先在上取任意两点、，它们把分成和两段。因此，由于作功与路径无关，或故

（1.20)上式表明，静电场中场强沿任意闭合路径的线积分等于0

。这定理没有通用的名称，我们姑且把它叫做静电场的环路定理，它与“静电场力作功与路径无关”的说法完全等价。利用它用反证法可以证明“电力线是不闭合的的性质”。第四十二页，共60页。1.4.2电位差与电位任何作功与路径无关的力场，叫做保守力场，或位场，在其中可引入位能的概念。因静电场是保守力场，故可引入电位能的概念。设想在电场中把一个试探电荷从点移至点，它的电位能的减少定义为在此过程中静电力对它作的功，即（1.21）根据上面的定理,只由、两点的位置所决定，与移动的路径无关。也可定义为把从点移到点的过程中抵抗静电力的功。在物理学中，所谓抵抗某力作功，就是指一个与大小相等、方向相反的力所做的功。因电场力，故，按照定义，不难看出，上式与式完全等价：第四十三页，共60页。1.4.2电位差与电位式(1.21)表明，与试探电荷的电量成正比。换言之，比值与试探电荷无关，它反映了电场本身在、两点的性质。这个量定义为电场中、两点间的电位差，或称电位降落、电压。用表示，则有（1.22）用文字来表述，就是、两点间的电位差定义为从到移动单位正电荷时电场力所作的功，或者说，单位正电荷的电位能差。上面介绍的是两点之间的电位差，如果要求空间某一点的电位数值为多少，则需要确定参考点。令参考点的电位为0，则其它各点与此参考点之间的电位差定义为该点的电位值。在理论计算中，如果带电体局限在有限大小的空间里，通常选择无穷远点为电位的参考位置。这样一来，空间任一点的电位就等于电位差，即（1.23）由于电场力作功与路径无关,对于空间任意两点和,我们有

第四十四页，共60页。1.4.2电位差与电位即时(1.24)亦即、两点间的电位差等于的电位减的电位。

在实际工作中常常以大地或电器外壳的电位为0。改变参考点，各点电位的数值将随之改变，但两点之间的电位差与参考点的选取无关。电位差和电位的单位应是焦耳/库仑，即伏特，简称伏，用V表示。【例题1】求单个点电荷q产生的电场中各点的电位。【解】利用公式（1.22）进行计算。因为电场力作功与路径无关，故可选取一条便于计算的路径，即沿矢径的直线（见右图），于是有：其中表示点到点电荷q的距离。由于点是任意的，故的下标可略去。于是，我们得到点电荷q产生的电场中电位的分布公式：

（1.25）第四十五页，共60页。1.4.2电位差与电位

【例题2】求均匀带电球壳产生的电场中电位的分布,设球壳带电总量为q,半径为。

【解】在§3例题1中我们已求得均匀带电球壳的场强分布为：方向沿矢径。因此计算电位时我们仍和点电荷的情形一样，沿着矢径积分。在球壳外，结果和点电荷一样，在球壳内，要分两段，即第四十六页，共60页。1.4.2电位差与电位

由此可见，在球壳外的电位分布与点电荷情形一样，在球壳内电位到处与球壳表面的值一样，是个常数。由图可见，U和E不同，它的数值没有跃变。上面两个例题都是由已知的场强分布求电位的分布，我们也可以由已知的电位分布来计算电场力的功。将式（1.22）改写为

（1.26）

在任何情况下,电荷在电场力的推动下运动时,其电位能总是趋于减少。上式表明，若且，或且，我们有即从到电场力作正功，电位能减少。由此可见，在电场力有推动下，正电荷从电位高的地方奔向电位低的地方，而负电荷从电位低的地方奔向电位高的地方。能量的单位还有电子伏特，它表示一个电子经过1伏特的区域，电场力所作的功。即，1电子伏特=1.60×10-19焦耳。电子伏特记为eV。还有千电子伏特，兆电子伏特，吉电子伏特等单位。第四十七页，共60页。

电位叠加原理

电位叠加原理

（1）点电荷组的电位由公式（1.23），并利用场强叠加原理得：（1.27）式（1.27）表明：点电荷组的电场中某点的电位，是各个点电荷单独存在时的电场在该点电位的代数和，这就是电位叠加原理。

（2）带电体系的电位由于任意带电体系可以视为点电荷组，则由上述电位叠加原理可得出：

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电位叠加原理【例题4】求距电偶极子相当远的地方任一点的电位。【解】由右图可知，±q单独存在时点的电位分别为根据电位叠加原理有当时有：则有：第四十九页，共60页。

电位叠加原理忽略的平方项，即得或

（1.28）

以上例题分别用场强积分法求电位,由电位叠加法求电位。当场强分布已知，或因带电体系具有一定的对称性，因而场强分布易用高斯定理求出时，可以用场强积分的方法求电位。当带电体系的电荷分布已知，且带电体系对称性不强时，宜用电位叠加法计算电位。由于电位是个标量，因此电位叠加法比场强叠加的计算简单得多。

第五十页，共60页。1.4.4等位面

电场中场强的分布可借助电力线图来形象地描绘，电位的分布是否也可形象地描绘出来呢？同样可以，这就是等位面。一般说来，静电场中电位是逐点变化的，但总有一些点的电位值是彼此相同。我们把电位相同的点组成的曲面叫做等位面。

第五十一页，共60页。1.4.4等位面由以上等位面图可以看出，等位面有如下性质：

（1）等位面与电力线处处正交。论证如下：首先，当电荷沿等位于面移动时，电场力不作功，这是因为，而在等位面上任意两点间的电位差，所以。如右图示，设一试探电荷沿等到位面作一任意位移元，于是电场力作功，但、、都不为零，所以必然有，即。这就是说场强与垂直。要使得场强与等位面上的任意线元垂直，那么电场强度（或电力线）与等位面就必须处处正交。

（2）等位面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。如右图示，取一对电位分别为和的邻近等位面，作一条电力线与两等位面分别交于、，因为两个面十分靠近，可看成是两面三刀等位面间的垂直距离。由于很小，根据式（1.22），则有第五十二页，共60页。1.4.4等位面

或

取的极限，得(1.29)式(1.29)表明,在同一对邻近的等位面间，小的地方大，大的地方小。如果我们在作等位面图时，取所有各等位面间的电位间隔都一样，则上述结论还可用于其它各对等位面之间。由此可见，通过等位面的疏密，可以反映出场强的大小来。根据等位面和电力线处处正交这一性质，我们便可以从电力线图大致估计出电位的分布情况，反之我们也可以从等位面图大致估计出场强的分布情况。而等位面常由外部条件控制，且可由实验的方法精确地描绘出来。控制等位面的形状和电位值的方法是当我们把任何形状的导体放入电场并达到静电平衡状态后，导体内部的电位处处相等，而导体表面则形成一个等位面（见第二章§1）。等位面的概念在实际中有着重要的意义。第五十三页，共60页。1.4.5电位的梯度任何空间坐标的标量函数,叫做标量场.电位是个标量,它在空间每一点都有一定的数值,所以电位是个标量场。“梯度”一词，通常指一个物理量的空间变化率。用数学语言来说，就是物理量对空间坐标的微商。在三维空间里，一个标量场沿不同方向的变化率不同。我们在一对彼此很靠近的等位面之间取一任意方向的线段，设其长度为（如右图示），则沿此方向的微商为