高考数学二轮复习考点解析-不等式的综合考查考点透析

湖北黄冈中学高考数学二轮复习考点解析(08)一不

等式的综合考查考点透析

湖北黄冈中学高考数学二轮复习考点解析(08)

不等式的综合考查考点透析

【考点聚焦】(解、用、证)(两小半大)

考点1：不等式的性质与重要不等运用

考点2：不等式的解法

考点3：不等式的应用问题

考点4：不等式的综合问题

【考题形式】1。小题与集合，函数定义域、值域结合；(1小是肯定

的)

2.不等式组与线性规划。

3.大题形式多样与其他知识结合，不会出现单独的不等式题。

【问题1】不等式的解法

1.已知R为全集，A={x|logl(3-x)2-

(B)22

(A)-2<x<-l(B)-或x=3(C)-2Wx〈-l(D)-2Wx《l

2.设a<0,则关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为：(A)

{0}(D)无解

3.下列不等式中，解集为R的是(B)

.|x-3|>x—3B.

112C.

的解为(D)4.不等式

A.-ICxWl或x22C.x=4或一3<xWl或x22B.x<—3或1<XW2

D.x=4或x<—3或1WxW2

则不等式f(x)>2的解集为

.(山东卷)设f(x)=

(A)(1,2)(3,+8)(B)(,+8)

(0(1,2)(,+8)(D)(1,2)

()解得(解：令()，解得

O令

【精例1】已知，若，

9

求实数a的取值范围.

解：由题意可得，A={—4或}B={x-}则

而C={x|(x—a)(x—}要使则a>0,且

【精例2】解不等式

,+8)选，得

,2]..(12分)

解：•.•原不等式

且6-

或

3或--1-

原不等式的解集为：或

［精例3］P61例1【精例4】P62例2

【问题2】含有参数的不等式问题

含有参数的不等式问题是高考常考题型，求解过程中要利用不等式的性

质将不等式进行变形转化，化为一元二次不等式等问题去解决，注意参数在

转化过程中对问题的影响.

【精例5］已知是参数)

(.1)当t=-1时，解不等式：f(x)Wg(x)；

(2)如果当xC［0,1］时,f(x)Wg(x)恒成立,求参数t的取值范围.

解：(1)t=-1时，f(x)Wg(x),即为，此不

等式等价于

55解得x24,.•.原不等式的解集为{x|x24}

时,f(x)Wg(x)恒成立，［0,1］时,

恒成立,

时，恒成立，即x£[0,1]时,

[0,1])的最大值问题(x£

令，则x=u2—1,由x£[0,1],知u£[l,2].

=-2(u2—1)+恒成立，于是

转化为求

当u=l时，即x=0时，有最大值为L

At的取值范围是tNl.

点评：对于含参数问题，常常用分类讨论的方法；而恒成立问题，除了

运用分类讨论的方法外，还可采用分离参数的方法.

[精例6]解关于x的不等式：______________________且

点拨与提示：用换元法将原不等式化简，注意对a的讨论.

解：设，原不等式化为U+2tI-It|<2

(1)当时，一l—2t+t<2,.-.t>-3,

22

(2)当时，l+2t+t<2,,

,

(3)当tLO时,l+2t-t<2,..t<l)，0WtVl

综上可知：一3<tVl,即一3VlogaxVl

当a>l时，，当0Va<l时，

所以当a>l时，原不等式的解集为{x|l

},当OVaVl时，原不等式的解集为{xl}aa

[精例7]P62例3

【问题3】不等式与函数的综合题(隐含不等式)

[精例8]P64T6

【精例9】已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且

f(1)=1,若m、nW[-1,1],m+n关0时

11

>0(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数；(2)f(x+2)<

；-2-

(3)若f(x)Wt2-2at+l对所有x£[―1,1],—1,1]恒成

立，求实数t的取值范围

【思路分析】(D问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件

不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔

(1)证明任取xlVx2,且xl,x2e[-1,1],

则f(xl)—f(x2)=f(xl)+f(―x2)=•(xl—x2)

>0,又xl—x2<0,

.•.f(xl)-f(x2)<0,即f(x)在[—1,1

•.•-1WX1VX2WL，xl+(—x2)WO,由已知

(2)解\丫&)在［—1,1］上为增函数，解得{x—WxV—1,

xeR}1

(3)解由(1)可知f(x)在[—1,1]上为增函数，且f(l)=l,故对x£

[-1,1]，恒有f(x)Wl,所以要使f(x)Wt2—2at+l对所有xw[-

1,1],ae[-1,□恒成立，即要t2—2at+121成立，故t2一

2at20,记g(a)=t2—2at,对a£[―1,1],有晨a)20,只需g(a)在

[-1,1]上的最小值大于等于0,g(—l)三0,g(l)三0,解得，tW—2

或t=0或t，2

的取值范围是{t|tW—2或t=0或t22}

点评它主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求

问题分解转化，是函数中的热点问题；问题(2)、(3)要求的都是变量的

取值范围，不等式的思想起到了关键作用

【问题4】线性规划

【精例10】不等式表示的平面区域包含点(0,0)和点

则m的取值范围是(A)

A.【精例11】已

知点(3,1)和点(一4,6)在直线3x-2yy的两侧，贝U(B)

.m<—7或m>24B.-7<m<24

C.m=-7或m=24D.-7WmW24

[精例12]在约束条件下，当时，

目标函数的最大值的变化范围是

A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]【精例13】已知

当a为何值时，直线

与及坐标+m=0

平面区域的面积最小？(12分)解：

轴围成的

a4

恒过A(2,2),交xy轴分别为B(

■惬过A(2,2),交x,y轴分别为D

(,aa

,由题意知11与12及坐标轴围成的平面

区域为ACOD,a

当时，.24

【问题5】不等式的实际应用问题

对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联

系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结

构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题【精例

13](天津卷)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为

4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用

之和最小，则吨.

400次，运费为4万元/次，一年的x

万元，，当总存储费用为4x万元，一年

的总运费与总存储费用之和为XX

即吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。X

解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买

【精例13】某人在一山坡POC,塔高米)，山高米),

米)，图中所示的山坡可视为直线1且点P在直线1上，1与水平

地面的夹角为，的视角最大(不计此人的身高)？

,0),B(0,220),解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A(200

C(0,300).

直线1的方程为，即

设点P的坐标为(x,y),则P(x,

由经过两点的直线的斜率公式

由直线PC到直线PB的角的公式得

PC

要使tanBPC达到最大，只须

由均值不等式达到最

小..当且仅当

-4-

时tanBPC最大.这时，点P的纵坐标y为

由此实际问题知,

2

2

，所以tanBPC最大时,最大.故当此人距水平地面60米高

时，观看铁塔的视角最大.

【问题6】不等式与数列问题

【精例14］（湖北卷）22.（本小题满分14分）

已知不等式

1111

其中n为大于2的整数，［log2n］表示不超过

log2n的最大23n2

整数.

设数列

n｝的各项为正，且满足

（I）证明

2b

2n］

（II）试确定一个正整数N,使得当时，对任意b>0,都有

5

.解：（I）证法1：••・当时

即111

于是有

m所有不等式两边相加可得

由已知不等式知，当n三3时有,

(II)V2b221

令

2n][log2n][log2n则有loglO

故取N=1024,可使当n>N时，都有al

【课后训练】一、选择题：

1、不等式解集是()

A(0,2)B(2,+8)—8,o)u(2,+8)2.函数

logx2

的定义域为()

A.(1,2)U(2,3)B..(1,3)

D.[1,3]

3、(06上海)若关于x的不等式

)xWk4

+4的解集是M,则对任意实常数k,总有(A.2WM,OeM；

；C.2£M,；,0GM.

4.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且

0,则使得的x的取值范围是()A.

B..(-2,2)

)

5、(06年江苏)设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成

立的是()..・.(A)(B)(C)

la2

1

a

1

(D)

6.(重庆卷)不等式组

2

(A)(0,)；(B)(,2)；

的解集为(C)

(C)(,4)；(D)(2,4)。

7、若不等式IxTYa成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是

()A、、、、.集合A={x

<0=,B={xx-b<a},若"a=l”是的充分条

件，则b的取

B.0VbW2

()

C.-3<b<-lD.—lWbV2

值范围是

A.—2WbV0

9.设实数x,y满足，当时，c的取值范

围是().A.,.,,

D.,

x2y2

上变化，则的最大值为()10.若动点(x,y)

在曲线

4b

.2bA.

二、填空题：

11.(上海卷)三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+x3-

5x2|2ax在［1,12］上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思

路.

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.

乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数

的最值”.丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”.

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值

范围是.

且仅当时成立；且，等号当且仅当

时成立；所以，，等号当且仅当

时成立；故；

12.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为

13、已知点(xO,yO)在直线ax+by=0,(a,b为常数)上，则

的最小值为十

10,等号当解：由x2+25+|x3一

5x,而

14、设a,,且a+b=1,则的最大值是

三、解答题：

15、已知函数的图象与x,y轴分别相交于点A、B,

(，分别是与x,y轴正半轴同方向的单位向量)，函数

(1)求k,b的值；(2)当x满足时，求函数

16、已知正项数列｛an｝满足al=P(O〈P〈l),且求证：

2

的最小值.f(x)

an

(D求数列的通项an；

aala2a3

17.设f(x)是定义在上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关

于直线x=l对称，而当时，

.(1)求f(x)的解析式；(2)对于任意的

且求证：(3)对于任意的

且求证：(14分)

18.已知，点P是函数y=f(x)图象上任意一点，点

P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象.

(1)当0<a〈l时，解不等式:2f(x)+g(x)20；

(2)当a>L时，总有2f(x)+g(x)Nm恒成立，求m的范

围.

点拨与提示：利用对称性求出晨利的解析式，2f(x)+g(x)2m恒成立,

即mW[2f(x)+g(x)]min.利用重要不等式求出F(x)=2f(x)+g(x)的最小值即

可.

2a2

解关于x的不等式：

分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的

关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到

两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。

解：

当时，不等式可转化为即

3+g

当时不等式可化为即

或故不等式的解集为。

参考答案：

1.C提示：原不等式转化为，解此不等式组可得X的范围.

2

.A提示：由题意可知,

3、A.方法1：代入判断法，将分别代入不等式中，判断

关于k的不等式解集是否为R；

方

4

法2：求出不等式的解集：

k4

+

后

min

4.D提示：•.•函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函

数，且一2)=0,在

得x的取值范围为(-上的x的取值范围是

又由对称性在R上f(x)<0,

5.C提示：因为，所

以(A)恒成立；在(B)两侧同时乘以a,得

2

所以（B）恒

2

成立；（C）中，当a>b时，恒成立，a〈b时，不成立；（D

Ja+3+Ja+1

Ja+2+yfu

恒成立，故选（C）.

6.C

7.B提示：t=x—1|在x@[0,4]的最大值为3,故a73.

8.D提示：由题意得：A：—-a〈x〈a+b由"a=l"是

0”的充分条件.则A：-l<x〈l与B:b—kxG+b交集不为空.所

以一2<b<2,检验知能使9.8C解：（三角换元）

设，，

4

,故选C.

10.A提示：设x=2cosa,y=bsina,则x2+2y=4cos2a+2bsina=-

4sin2a+2bsina+4

b2b2

=—2(sina—bsina-2)=-2(sina-)+4+,

22

的最大值为

2

二、填空题：

2525

，等

号当且仅当时成立；且等号当且仅当

时成立；所以，,等号当且仅当

时成立；故；

2

12若

0且所

奇

以，

3

11

44

6

,贝U)

22,

13.提示：最小值为

11.解：由x2+25+x3-

14.22提示：

22