河南省温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期12月月考理科数学试题（解析版）

河南省温县一中2021-2022学年上学期高三12月月考试题理科数学试卷一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上）1.已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合、，再进行交集运算.【详解】，，所以，故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及解一元二次不等式、求函数的定义域，属于基础题.2.设函数，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得函数的导数，由可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】，，则，解得.故选：A.【点睛】本题考查利用导数值求参数，考查计算能力，属于基础题.3.已知条件，条件直线与圆相切，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出直线与圆相切时的值，再由充分必要条件的定义判定，即可得出结论.【详解】设圆心到直线距离为，由直线与圆相切，则，解得，成立则成立，成立不一定成立，所以是充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判定以及直线与圆的位置关系，属于基础题.4.已知函数，其中，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的解析式由内到外可计算得出的值.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查计算能力，属于基础题.5.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】因为曲线，所以切线过点（4，e2）

∴f′（x）|x=4=e2，

∴切线方程为：y-e2=e2（x-4），

令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），

令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2），

∴曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|-e2|=e2.

故选D．6.若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令，则，，，，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．7.若函数（且）在R上为减函数，则函数的图像可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题设可得且函数的定义域为，结合对数复合函数的单调性，应用排除法确定函数图象.【详解】由题设，且，即函数的定义域为，排除A、B；当时，单调递减，当时，单调递增，而在定义域上递减，所以时递增；时递减；排除C.故选：D8.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的有（）A.在上是增函数 B.在上是减函数C.在x=3处取得极小值 D.在处取得极大值【答案】B【解析】【分析】根据导数与函数的单调性、极值之间的关系即可求解.【详解】由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；在上是减函数，故B正确；因为在上单调递减，故在x=3处不能取得极值，故C错误；在上单调递增，故在处不能取得极值，故D错误.故选：B【点睛】本题考查了由函数得导函数图像研究函数得性质，考查了基本知识得掌握情况，属于基础题.9.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】计算，然后等价于在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算即可.【详解】的定义域是（0，+∞），，若函数有两个不同的极值点，则在（0，+∞）由2个不同的实数根，故，解得：，故选：D.【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题.10.设定义在上的偶函数满足：，且当时，，若，，，则，，的大小关系为A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由定义在上的偶函数满足可得函数是周期为4的函数，然后将问题转化到同一单调区间上进行比较大小，从而可得所求结论．【详解】因为为上的偶函数，所以，所以，所以函数是周期为4的函数，所以，，．又当时，，所以，所以当时，单调递减，所以，即．故选B．【点睛】解题时注意两点：一是知道函数的奇偶性、对称性和周期性中的两个性质可推出第三个性质；二是比较函数值的大小时，可将问题转化到同一个单调区间上进行研究，利用单调性得到函数值的大小关系．11.已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造，根据已知条件判断在上单调性，又题设不等式等价于，利用单调性及其定义域范围求解集.【详解】令，则，即在上递增，又，则等价于，即，所以，解得，原不等式解集为.故选：C12.已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】画出函数的图象如下图所示．由题意知，当时，；当时，．设，则原方程化为，∵方程有8个相异实根，∴关于的方程在上有两个不等实根．令，．则，解得．∴实数的取值范围为．选D．点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．二､填空题13.已知实数，满足则的最大值为_______．【答案】5【解析】【分析】本题考查简单的线性规划，属基础题，根据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线经过可行域内的点，观察可得何时目标值取得要求的最值，进而得解.【详解】解：根据方程组画出可行域如图所示，可以求得B(1,1),当直线经过点B时取得最大值为5，故答案为：5.14.已知向量，，，则实数k的值为______．【答案】【解析】【分析】根据两个向量垂直其数量积为，列出等式求解即可.【详解】因为，所以，即，又因为，，所以，，所以，解得故答案为：15.如图是2021年9月17日13：34神舟十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1200m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上.在A测得点B的仰角∠(DAB＝30°，且BC的视角∠BAC满足sin∠BAC＝，则此时返回舱底端离地面距离CD＝____________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，计算过程中，球半径四舍五入保留整数，长度单位：m).【答案】【解析】【分析】在中，由正弦定理得即可求解．【详解】设半球半径为，则，∴，∴．在中，由正弦定理得，∴，．故答案为：16.已知函数，，若函数有3个不同的零点，，，且，则的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】根据导数可求得的极小值为，由题可得函数的零点即方程和的根，讨论和时可求得结果.【详解】，时，，时，的极小值为.令，即，解得方程两根为和，函数的零点即方程和的根.函数有3个不同的零点需满足：当时，且，；当时，且，，综上：的范围为.【点睛】本题考查利用导数解决函数的零点问题，属于较难题.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）求B的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角关系及和角正弦公式、三角形内角的性质可得，根据等差数列的性质即可证结论.（2）由（1）知，结合余弦定理及基本不等式求的范围(注意等号成立条件)，进而可得B的最大值.【小问1详解】由已知及正弦定理，得：，所以，又，即，由正弦定理，得：，故a，b，c成等差数列.【小问2详解】由可得：，所以，当且仅当时等号成立，所以取最小值为，又，即取最大值为.18.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区名某传染病患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数（1）求这名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表.请将列联表补充完整、并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关.潜伏期天潜伏期天总计岁以上（含岁）岁以下总计附：，其中.【答案】（1）（天）（2）没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用平均数公式可求得结果；（2）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.【小问1详解】解：由表格中的数据可得（天）.【小问2详解】解：名患者中，潜伏期天所占的频率为，所以，所抽取的名患者中潜伏期天的人数为，则列联表如下表所示：潜伏期天潜伏期天总计岁以上（含岁）岁以下总计，因此，没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关.19.如图，四棱锥中，四边形是矩形，，是边长为2的正三角形，的面积为2.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）具体见解析（2）【解析】【分析】（1）分别取AB，DC的中点O，F，进而证明平面ABE，最后证明问题；（2）建立空间直角坐标系，进而空间向量夹角公式求得答案.小问1详解】分别取AB，DC的中点O，F，连接OE，OF，因为四边形ABCD是矩形，所以，则.又△ABE是边长为2的正三角形，所以.根据图形的对称性可知，，所以，由题意：.所以，故，而，所以平面ABE，而，所以平面ABE.【小问2详解】由（1），以O为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，所以.设平面CDE与平面BDE的法向量分别为，所以，令y=1，则，，令b=1，则.所以，，由图可知二面角的余弦值为.20.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）令，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最小值，由此可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：函数的定义域为，.①当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；②当时，，由可得，由可得或，此时函数单调递增区间为、，单调递减区间为；③当时，对任意的，且不恒为零，此时函数的单调递增区间为，无单调递减区间；④当时，，由可得，由可得或，此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.【小问2详解】解：当时，，由可得，，令，则，则函数在上单调递增，当时，则，所以，，可得，令，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.21.设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足.（1）求点M的轨迹方程；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）讨论直线AB斜率的存在性，设、、直线AB为并联立椭圆方程，应用韦达定理、向量垂直的坐标表示可得，再由点线距离公式求得，即可判断M的轨迹，进而写出轨迹方程.（2）由相关线段的几何关系可得，结合，且，，利用坐标表示，结合椭圆的有界性求范围即可.【小问1详解】①若直线AB的斜率不存在，由已知得：点M的坐标为；②若直线AB的斜率存在，设直线AB为，联立椭圆，得：，设，，则，，以线段AB为直径的圆过原点O，即，所以，所以，整理得：，又，故O到AB的距离.综合①②，点M的运动轨迹为O以为圆心，以1为半径的圆，轨迹方程为：.【小问2详解】因为，点M在椭圆内部，所以，由，且，，则，又，整理得：，所以，又，则.22.数学中有许多寓意美好的曲线，如图，曲线被称为“四叶玫瑰线”以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）射线，的极坐标方程分别为，，，分别交曲线于，两点（不同于），求的最小值.【答案】（1）曲线的极坐标方程，（2）的最小值4.【解析】【分析】(1)由，将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，(2)由极径的几何意义求，再求其最值.【小问1详解】∵，又