2022年高考数学大复习小题课时练01集合及其表示法（解析版）

课时01集合及其表示法

一、单选题

1.（2019•上海市进才中学高三期中）设4={4,5,6},5={1,2,3},则集合c={x|x=/"-〃，机eA,〃e3}

中的所有元素之和为（）

A.15B.14C.27D.-14

【答案】A

【分析】由C={x|x=m-n,mSA,n0B},A={4,5,6},B—[1,2,3},先求出C,然后再求集合C中的所

有元素之和.

【详解】！3C={x|x=m-",mELA,n0B},

A={4,5,6},B={1,2,3},

I3C={1,2,3,4,5},

回集合C中的所有元素之和=1+2+3+4+5=15.

故选：A.

【点睛】本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用.

二、填空题

2.（2020・上海中学高三其他模拟）已知实数集合{1,2,3,x}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则》=

【答案】-3

【分析】根据题意求元素的关系.

【详解】解：因为实数集合{1,2,36}的最大元素等于该集合的所有元素之和，

所以l+2+3+x=x（无解）或者l+2+3+x=3,

解得：x=-3.

故答案为：-3.

【点睛】本题考查集合元素的关系，属于基础题.

3.（2019•上海市行知中学高三月考）若集合A={xeZ|-24x42},B={y|y=/+1/wA},则用列

举法表示集合8=

【答案】{5,2,1）

【分析】根据题意，分析集合A可得A中的元素，将其元素代入y=x2+l中，计算可得y的值，即可得8

的元素，用列举法表示即可得答案.

【详解】根据题意，A={-2,-1,0,1,2},

对于集合8={y|y=x2+l,xHA},

当乂=±2时，y=5,

当乂=±1时，y=2,

当x=0时，y=l；

故答案为{5,2,1}

【点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合8中x所取的值为A中的元素且必须用列举法表示.

4.(2019•上海市七宝中学高三期中)设集合4={x|x2-2x+a=0},若3eA,则集合A可用列举法表

示为________

【答案】{3,7}

【分析】将3代入f—2x+a=()求出参数。，再解出二次方程的根，用列举法表示即可

【详解】•/3GA,将3代入x2—2x+a=0可得：9—6+a—0,a=—3>

原方程为：%2-2X-3=0-解得玉=3,々=一1，故集合A={-1,3}

故答案为{3,-1}

【点睛】本题考查元素与集合的关系，列举法表示集合，属于基础题

5.(2019•上海市高桥中学高三开学考试)已知全集/=R,集合A={x|x2+2x+a=O}*0,

5={x|Vx-2008<0},则AU8中所有元素的和是.

【答案】2006或2007或-2

【分析】首先化简集合5={2008},然后分：①4中有两个相等的实数根，②8={2008}三4,③A中

有两个不相等的实数根，三种情况进行讨论即可求得结果.

【详解】由题意可知8={2008},

(1)若A中有两个相等的实数根，则4={-1},此时AuB={-1,2008},所有元素之和为2007：

(2)若8={2008}qA,则=由韦达定理可知，所有元素之和为-2；

(3)若A中有两个不相等的实数根，且B0A,则由韦达定理可知，所有元素之和为2008+(-2)=2006.

故答案为：2006或2007或-2.

【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用.

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技能专题练

维J

一、单选题

1.（2020•上海高三其他模拟）对于正实数。，记Ma是满足下列条件的函数/（力构成的集合:对于任意的

实数X，%2eR且不＜工2,都有一。（9—%）＜/（%）—/（玉）＜々（马-百）成立.下列结论中正确的是

A.若/(x)e此,,g(x)GMg，则/(x>g(x)€M%.%

f（\M

B.若/（%）€"%，8（%）6知％且8（》）*。,则^x^€才

C.若f(x)eMai,g(x)G,则/(x)+g(x)e此…

D.若g(x)€〃“2且%>。2,则/(x)-g(x)eMq_a2

【答案】C

【分析】由题意知一。＜"＞）-'&）＜一,从而求得.

［详解］解：对于_&（工2_司）＜/（/）_/（%）（。（々一%），

即有—a＜/（：）―/,'）＜a,

（々-xj

令〃))-/')=%

(%2—%)

则一a＜左＜a,

即有一%<kf<a,,-a2<kg<a2,

所以一/-a?<kf+ks<a,+a2,

贝U有/(x)+g(x)eMq+a2,

故选：C.

【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题.

二、填空题

2.(2020・上海高三专题练习)若集合A=｛xeZ*—(a+2)x+2—a<0｝中有且只有一个元素，则正实

数。的取值范围是.

【答田案、】匕(1句2

【分析】因为集合人中的条件是含参数的一元二次不等式，首先想到的是卜字相乘法，但此题行不通;应该把此

不等式等价转化为〃x)<g(x)的形式然后数形结合来解答,需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数.

【详解】解:(a+2)x+2—a<0且a〉o

Hx2—2x+2<tz(x+l)

令/(x)=x2-2x+2;g(x)=a(x+l)

0A=｛x|/(x)<g(x),xeZ)

ay=/(x)是一个二次函数,图象是确定的一条抛物线；

而y=g(x)一次函数，图象是过一定点(—1,0)的动直线・

12

又ElxeZ,a〉0.数形结合，可得:一<。4-

23

....(121

故答案为:

【点睛】此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题.

3.(2019•上海市建平中学高三开学考试)已知集合｛幻(％-1乂%2一%+。)=0,%6/?｝中的所有元素之和为

1，则实数。的取值范围为.

【答案】G，+8）U{0}

【分析】首先确定集合中包含兀素1；分别在X一x+a=o无实根、有两个相等实根和有两个不等实根三

种情况下，讨论元素之和是否为1，综合可求得结果.

【详解】令x—1=0,解得：x=l

①若/一%+“=0无实根，即△=1一4。<0,解得：a>-

4

此时集合只有一个元素1，满足题意

②若必一%+。=0有两个相等实根，即A=l-4a=0,解得：a=-

4

/.x2-x+-=0,解得：x=1集合为不满足元素之和为1

42I2]

③若f一%+口二。有两个不等实根，即△=1一4。>0,解得：a<-

4

设此时方程x2-x+a=0的两根为士,当，则玉+々=1

若玉工1,x21,此时集合为{口,々}，不满足元素之和为1

若玉=1,则々=0，此时集合为{L。}，满足元素之和为1a=x,x2=0

综上所述：ae（“+8）U{0}

故答案为：,+°°^U{o}

【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求解参数范围的问题，易错点是忽略集合中元素的互异性，在

f—x+a=0有两个不等实根的情况下，忽略其中一个根为1的情况，造成求解错误.

三、解答题

4.（202。上海高三专题练习）设非空集合4={幻/+（。+2）犬+匕+1=0/€/?},求集合A中所有元素

的和.

【分析】分一元二次方程有相等实根与两个不相等实根讨论，当有相等实根时，直接求解，当有不相等实

根时由根与系数关系求解.

【详解】当8=0时，解得斗=々=-1，A={-1},所以A中所有元素之和为一1，

当。刈时，A=S+2>—4仍+1）=〃>0,

方程f+S+2）x+b+l=0有两个不等的实根，

由根与系数的关系知办+巧=-0+2）,

即A中所有元素之和为一匕一2,

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，分类讨论的思想，集合的描述法，属于中档题.

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核心素养练

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一、填空题

1.（2021・上海高三一模）己知集合A=｛x,x2｝（xeR）,若kA,则工=.

【答案】—1

【分析】根据元素与集合之间的关系以及集合的特征即可求解.

【详解】4=｛x,x2｝（xeR）,leA,

则x=1或x?=1,

解得x=l或％=-1,

当x=l时，集合A中有两个相同元素，（舍去），

所以x=—1.

故答案为：—1

2.（2020•上海市崇明中学高三期中）集合｛'|0忘》忘3"€2｝用列举法可以表示为.

【答案】｛0』,2,3｝

【分析】直接利用列举法求解

【详解】集合｛x|0WxW3,xeZ｝=[0,l,2,3｝,

故答案为：｛0,1,2,3｝

3.（2020•上海格致中学高三月考）已知集合4=｛/,。｝,若leA,则实数。的值为

【答案】-1

【分析】先由集合元素的互异性得。力。2,求。的范围，然后由leA得/=1，结合这两点求解本题.

【详解】因为A={6,a},

所以由集合元素的互异性得GH/,即a。。且“Hi,

又lwA,则“2=1，解之得a=1（舍去），或a=—1.

故答案为：一L

【点睛】本题考查元素与集合间的关系，容易忽略集合元素的互异性的验证，属于基础题.

二、解答题

4.（2020•全国高三专题练习）已知集合人={。+2,2/+。},若3eA,求实数。的值.

3

【答案】一二

2

【分析】根据题意，可得“+2=3或2a2+4=3,然后根据结果进行验证即可.

【详解】由题可知：集合A={a+2,2/+a},3eA

3

所以。+2=3或2々2+々=3，则〃=1或。=—

2

当。=1时，a+2=2〃2+a，不符合集合元素的互异性，

当”=—|时，A={g,3},符合题意

3

所以a=——

2

【点睛】本题考查元素与集合的关系求参数，考查计算能力，属基础题.

5.（2021•全国高三专题练习）己知数列{4}中，an>\,a,=log23,且数列中任意相邻两项具有2倍关

系.记an所有可能取值的集合为A”，其元素和为S,,（“eTV*）.

（1）证明&为单元素集，并用列举法写出4,4：

（2）由（1）的结果，设keN*，归纳出&i+i，A2k+2（只要求写出结果），并求邑什1，指出其*+2与S2Hl

的倍数关系.

【答案】⑴证明见解析，A={q,4q,16q},&={24,8q,32aJ；（2）答案见解析.

【分析】（1）ill«„>l，^=10§23€（1,2）,且数列中任意相邻两项具有2倍关系，可得&为单元素集,

进而可列举出4,4；

(2)由(1)的结果，归纳得人印，4—，并利用等比数列求和公式计算出S2E，进而得出邑*+2与邑

的倍数关系.

【详解】(1)证明:回q=log23G(1,2),

数列中任意相邻两项具有2倍关系，回4=gq或2。「

回gai<l,而。“>1,团4=24.

回4={24}为单元素集.

由此，得4={q,4q},A={24,84},

则A={q,4q,16aj,&={24,84,324}.

(2)由(1)的结果，归纳得4"+|={6,4q,164,…,40J,

4扛2={24,84,32%,…,2x4%]}.

,4A+I-14A+1-1

S2A1=4+44+16q+…+4a]=---4=---log23.

因为&K+I中的每一个元素的两倍构成的集合等于劣*+2