2022年高考数学一轮复习专题3-8函数与方程（含答案解析）

专题3.8函数与方程

【考纲解读与核心素养】

L理解函数零点的概念.

2.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析等数学核心素养.

3.高考预测：

（1）分段函数与函数方程结合；

（2）二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.

（3）常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的

个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等.也可与导数结合考查.题目的难度起

伏较大.

4.备考重点：

（1）函数方程的概念

（2）基本初等函数的图象和性质.

【知识清单】

L函数的零点

（1）函数零点的概念

对于函数y=fix）,把使7U）=0的实数x叫做函数y=/U）的零点.

（2）函数零点与方程根的关系

方程/（x）=0有实数根u函数y=/U）的图象与x轴有交点u函数y=/U）有零点.

2.零点存在性定理

如果函数y=«r）满足：①在区间山，加上的图象是连续不断的一条曲线；

则函数丫=/）在（a,Z?）上存在零点，即存在cG（a,b）,使得"）=

0,这个。也就是方程/a）=o的根.

特别提醒两个易错点：

（1）函数的零点不是点，是方程yu）=o的实根.

（2）函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断

函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这

个区间上存在零点的充分不必要条件.

【典例剖析】

高频考点一：求函数的零点

【典例1](2019•四川高考模拟(理))

1.已知函数“X)是定义在R上的奇函数，且当时，/(x)=x(x—4),则方

程〃力=/(2-6的所有解的和为()

A.4+6B.1C.3D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数/(X)的解析式，结合y=/(2-X)的图象与

y=/(x)的图象关于x=l对称，画出函数图象，结合函数的对称性求解即可.

【详解】•••/。)是定义在R上的奇函数，且当x»o时，/(x)=Mx-4)

.•.当x<0时，—x>0

则/(—x)=—武_尤_4)=_/(%)

即/(X)=T(X+4)，x<0

x(x-4),x>0

则f(x)=<

-x(x+4),x<0

作出/(x)的图象如图:

•.•y=/(2-x)的图象与y=/(x)的图象关于x=l对称

•••作出y=/(2-x)的图象，由图象知y=/(2-x)与y=/(x)的图象有三个交点

即/(x)=f(2-x)有三个根，其中一个根为1,另外两个根a,b关于x=l对称

即a+h=2

则所有解的和为。+。+1=2+1=3

故选C.

【点睛】本题考查函数与方程的应用，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式，

利用函数的对称性画出函数图象，并利用数形结合解决问题，综合性较强，属于中

档题.

【思路点拨】

根据函数奇偶性，求出函数rGJ的解析式，结合y=fCl-x)的图象与

y=fGJ的图象关于x=l对称，画出函数图象，结合函数的对称性，求得方程

/。)=〃2-力的所有解的和.

【典例2】(2020•上海高三三模)

[IxLx<1

2.函数〃x)=、2，如果方程=8有四个不同的实数解玉，-

(x-2),x>1

,X4,则Xj+x2+X,+x4=.

【答案】4

【解析】

【分析】作出/(x)的图象，可得y=/(x)和y的图象有四个不同的交点，不妨设

交点横坐标西(工2<工3</，由司，马关于原点对称，W，4关于点(2,0)对称，即可

得到所求的和.

\x\,x<\

【详解】作出/(%)=,、2的图象，

(x-2),x>1

方程/（x）=8有四个不同的实数解，等价为y=/（x）和y=b的图象有四个不同的

交点，不妨设交点横坐标为X|,x2,X3，％且工|＜々＜曰＜%4，

由王，关于原点对称，毛，5关于点（2,0）对称，

可得玉+%2=0,七+工4=4,

则玉+々+%3+%4=4,

故答案为：4

【点睛】本题主要考查了函数方程的转化思想，考查数形结合的思想以及对称性的

运用，属于中档题.

【总结提升】

1.正确理解函数的零点：

（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.

（2）根据函数零点定义可知，函数7U）的零点就是外）=0的根，因此判断一个函

数是否有零点，有几个零点，就是判断方程兀0=0是否有实根，有几个实根.即函

数的零点o方程y（x）=o的实根=函数y=/U）的图象与x轴交点的横坐标.

2.函数零点的求法：

（I）代数法：求方程段）=0的实数根.

（2）几何法：与函数y=/U）的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函

数的零点.，

【变式探究】

（2019•贵州省凯里一中高一期中）

3.方程2x2一x—1=0的两个根分别为（）

A.-2,1B.—,1C.2,-1D.—,—1

22

【答案】B

【解析】

【分析】分解因式，即可求得方程根.

【详解】2f—%一1=0,即（2x+l）（x-l）=0,

解得x=或X=1.

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的求解，属简单题.

（2019•安徽高考模拟（文））

4.函数/（X）=f—2x—l—|xT|的所有零点之和等于.

【答案】2

【解析】

【分析】令/（x）=0,利用换元法可解得方程的根，即得函数的零点.

【详解】令/（力=%2一2%-1一上一1|=0,pliJ（x-l）2-|x-l|-2-0.

设,=,一心0,则产—-2=0,解得r=T（舍去）或=2.

所以1=卜—1|=2,解得％=_］或％=3.

所以函数/（x）有两个零点-1,3,它们之和等于-1+3=2.

【点睛】本题考查函数的零点，通过解方程八为=0来求函数/*）的零点.

高频考点二：判断函数零点所在区间

【典例3】（2020•海丰县彭湃中学高一期末）

5.函数/（幻=-丁一gx+io的零点所在的大致区间为

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】D

【解析】

【分析】判断出函数的单调性和7(2)，/(3)的符号，根据零点存在定理可得选项.

【详解】因为函数/(x)=-x3-lx+10在R上单调递减，又

1737

/(0)=10>0,/(l)=y>0/(2)=1>0,/(3)=-y<0,

所以/(2>/(3)<0,所以零点所在的大致区间为(2,3).

故选:D.

【点睛】本题考查根据零点存在定理判断函数的零点所在区间，属于基础题.

【典例4】(2019•浙江省温州十校联考)

6.设〃x)=lnx+x—2,则函数f(x)的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】

【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.

【详解】/(x)=Inx+x-2在(0,+8)单调递增，

K/(l)=-l<0,/(2)=ln2>0,

根据零点存在性定理，

得F(x)存在唯一的零点在区间(1,2)上.

故选：B

【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础

题.

【规律方法】

判断函数零点所在区间有三种方法：

①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，

观察交点所在区间.

特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点

存在性定理，要综合函数性质进行分析判断.

【特别提醒】

二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确

度，计算时及时检验.

【变式探究】

(2019•云南省玉溪第一中学高考模拟(文))

7.函数f(x)=2，+3x的零点所在的一个区间是

A.(-2,-1)B.(-1,0)C,(0,1)D.(1,2)

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：因为函数f(x)=2,+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-l)=

l-3=-1<0,f(0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区

22

间为(-1,0),选B.

考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用.

点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，

得到函数的零点的区间.

而视频门

(2020•郸城县实验高中高一月考)

8.如图是函数兀0的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之

中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是()

C.[1.9,2.3]D.[5,6.1]

【答案】C

【解析】

【分析】能用二分法求出的零点，必须在区间端点函数值异号，结合选项即可得解.

【详解】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法

求出零点，

C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.

故选：C

【点睛】此题考查二分法求零点方法的辨析，关键在于熟练掌握二分法的处理方法

和适用条件.

高频考点三：判断函数零点的个数

【典例5](2015•天津高考真题(文))

9.已知函数=-：—，函数|知X)=3-f(2-x),则函数|y=/(X)-g(x)的

[(x-2),x>2

零点的个数为

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【详解】当龙<()时2—x>2,所以/(力=2-国=2+工J(2—x)=d,此时函数

/(X)-g(x)=/(x)+/(2-x)-3=x2+x_i的小于零的零点为了=一1±当；当

0<x<2时/(x)=2—|乂=2—T，/(2—力=2—|2—乂=x,函数

f(x)-g(x)-2-x+x-3--l无零点；当x>2时，y(x)=(x-2)2,

/(2-工)=2-|2-凡=4一%,函数/(x)-g(x)=(x-2)2+4-x-3=f-5x+5大于

2的零点为无=左延，综上可得函数y=/W-g(x)的零点的个数为2.故选A.

2

考点：本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.

,视频「

【典例6】(2020•山东省高三二模)

10.已知图象连续不断的函数f(x)的定义域为R,/(x)是周期为2的奇函数，

y=|/(刈在区间［T，l］上恰有5个零点，则/(%)在区间［0,2020］上的零点个数为

()

A.5050B.4041C.4040D.2020

【答案】B

【解析】

【分析】

本题先根据奇偶性判断函数/(X)在区间［-1,0)和(0,1］内各有2个零点，再根据周期

性判断函数Ax)在区间(0,2］内有4个零点，最后根据周期性解题即可.

【详解】由函数/(x)的定义域为R上的奇函数，可得/(。)=0,

又由y=|/(x)|在区间［T1］上恰有5个零点，

可得函数/(x)在区间［-1,0)和(0,1］内各有2个零点，

因为f(x)是周期为2,所以区间(1,2］内有两个零点，且/(2)=0,

即函数在区间(0,2］内有4个零点,

所以/(X)在区间［0,2020］上的零点个数为晋x4+l=4041个零点.

故选：B.

【分析】本题考查函数的奇偶性、函数的周期性，并借周期性判断零点个数，是中

档题.

【规律方法】

判断函数零点个数的方法：

1.直接法：即直接求零点，令/U)=0,如果能求出解，则有几个不同的解就有几个

零占.

2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间口，加上是连续不断

的曲线，且44)人份＜0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确

定函数有多少个零点

3.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数兀v)的图象，函数式x)的图象与x轴交

点的个数就是函数/U)的零点个数；将函数人处拆成两个函数和g(x)的差，根据

./(x)=OT?(x)=g(x),则函数式x)的零点个数就是函数y=/z(x)和y=g(x)的图象的交

点个数.

4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若

所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.

【变式探究】

(2020•江苏省高三其他)

11.设口表示不超过实数f的最大整数(如［-1.3］=-2,［2.6］=2),则函数

/(x)=|2x—l|一［x］的零点个数为.

【答案】2

【解析】

【分析】问题等价于方程|2x-［=［x］的解的个数，由|2x-l怛0可得出［司20,然后

分0<x<l、l<x<2,工22三种情况解方程|2》-1|=区，由此可得出结论.

【详解】函数〃%)=|2%-1|-国的零点即方程|2x-l方区的根,

二函数y=/(x)的零点个数，即方程以-1|=国的根的个数.

v|2x-l|>0,则［小0.

当0Wx<l时，［司=0,则|2x—l|=0,解得x=；；

当l<x<2时，=则|2x—l|=l,解得x=l或x=0(舍)；

当x»2时，|2x—l|=2x-l>x科司，方程疝-1|=国无解.

综上所述，函数/。)=|2X一1|一［可有2个零点.

故答案为：2.

【点睛】本题考查方程根的个数的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

(2019•四川高考模拟(文))

12.函数f(x)=(x-2)2-］nx的零点个数为.

【答案】2

【解析】

【分析】令〃x)=0,得到(x-2)2=lnx,将等号左右两边看成两个函数，在同一

坐标系下画出图像，找到它们的交点个数，即得到了(X)的零点个数.

【详解】函数"X)=(X—2)2—Inx的定义域为(0,+8),

画出两个函数y=(x-2『，y=lnx的图象，由函数图象的交点可知，函数的零点个

数为2.

高频考点四：函数零点的应用

【典例7】(202。•鸡泽县第一中学高二开学考试)

x?—3x4-2x<m

13.已知函数/(幻=《''一，若/(x)恰好有2个零点，则机的取值范

—x+3,x>m

围是()

A.(2,3]B.[2,3)

C.[l,2)U[3,+a))D.(1,2]U[3,-HX>)

【答案】C

【解析】

【分析】根据X=/-3x+2,%=-x+3与x轴的交点情况，结合/(x)恰好有2个零

点，讨论机在不同区间时Ax)与x轴恰好有2个交点，机的范围即为所求

【详解】令M=x2-3x+2,%=-x+3,而方程12一3%+2=0的两根为阳=1,々=2,

...在同一直角坐标系下，函数y=--3x+2,%=-x+3的图象，如下图示：

当加23时，函数/(x)恰有两个零点，如下图示:

综上可知，所求实数机的取值范围为U,2)U[3,+w).

故选：c

【点睛】本题考查了根据分段函数零点的个数求参数范围，结合一次函数、二次函

数的图象，并应用分类讨论的方式研究分段函数有确定零点个数的情况下参数的范

围

【典例8】（2019♦新疆高考模拟（文））

14.关于x的方程优一且有两个解，则。的取值范围是

A.（L+oo）B.（0,1）C.（0,+oo）D.（P

【答案】A

【解析】

【分析】由优-x-a=0得：/=x+a,对。的范围分类，作出函数y="及

的图象，由图象即可得解.

【详解】由a*-x-a=0得：ax=x+a>

当0<。<1时，分别作出函数y=优及丁=》+。的图象如下：

显然，两个函数图象只交于一点，故优-x-a=0只有一解.

当时，分别作出函数>="及y=的图象如下：

显然，两个函数图象交于两点，故优-x-a=0有两个解.

所以实数a的取值范围是

故选A

【点睛】本题主要考查了指数函数的图象，考查了分类思想及转化思想，属于基础

题.

【典例9】

15.已知e是自然对数的底数，函数/(x)=e*+x-2的零点为a,函数

g(x)=/〃x+x-2的零点为"则的大小关系为.

【答案】〃。)<"1)</他)

【解析】

【分析】首先判断两个函数的单调性，再由定义知/")=0,/(I)=e+l-2>0,

g(b)=0,g(1)=0+1-2<0,从而可判断OVaVlVb；从而再利用单调性判断

大小关系.

【详解】由题意，知/'(%)=升+1>0恒成立,

所以函数於)在R上是单调递增的，

而/⑼=e°+0-2=7<0,

/(l)=』+l-2=e-l>0,

所以函数人加的零点ae(O,l);

由题意，知g'㈤=-+1>0,

x

所以函数g(x)在(0,+8)上是单调递增的，

又g(l)=/〃1+1-2=-l<0,g(2)=/〃2+2-2-ln2>0,

所以函数g(x)的零点。G(l,2).

综上，可得0<a<\<b<2.

因为外)在R上是单调递增的，

所以

故答案为

【点睛】本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属

于基础题.

【规律方法】

已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参

数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图

象，然后数形结合求解.

【变式探究】

(2019•江西高考模拟(文))

_z.—|乂+2,1<1

16.已知函数/(x)=<：右函数g(x)=f(x)-mx-m的图像与x轴的父点个数

X,x>1

恰有3个，则实数机的取值范围为

A.((),+。)B.C.(1,2)D.(1,也)

【答案】B

【解析】

【分析】

由题，将题目要求转化为函数产f(x)的图像与函数丁=如+加的图像的交点3个,

然后利用函数的图像性质即可求得答案.

【详解】由题可知函数g(x)=f(x)-mx-m的图像与x轴的交点恰有3个，即为函数

y=f(x)的图像与函数丁=如+加的图像的交点恰有3个，

函数y=如+加的图像过定点P(-l,0),且斜率阳，当动直线过点A(l,l)时有2个

交点，

此时直线的斜率m=工〃1增大即有3个交点，故机〉工

22

当动直线与直线y=x+2平行时有2个交点，故机<1,综上：-<m<\

2

【点睛】本题考查了函数零点问题，熟悉函数与方程和图像以及直线的变化是解题

的关键，综合性较强，属于中档题目.

(2019•河北保定一模)

17.定义在R上的偶函数/(x)满足/(x+l)=—/(x),当时，

/(x)=-2x+l,设函数g(x)=(；J"(T«xW3),则函数/(x)与g(x)的图像所有

交点的横坐标之和为

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根据/(x)的周期和对称性得出函数图象，根据图象和对称轴得出交点个

数.

【详解】*.*/(x+1)=-f(X),

.*./(x+2)=-f(x+