2022年高考数学一轮复习专题9 .6 直线与圆锥曲线

专题9.6直线与圆锥曲线

【考纲解读与核心素养】

1.会解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的问题.

2.了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法.

3.理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用.

4.培养学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理、数学抽象、数据分析等

核心数学素养.

5.高考预测：

（1）考查直线与椭圆的位置关系；

（2）考查直线与抛物线的位置关系；

（3）考查直线与圆、圆锥曲线的综合问题.

（4）命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连

环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，

进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛

物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定

系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围

等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂

直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题

等.

6.备考重点：

（1）掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质；

（2）熟练掌握常见直线与圆锥曲线位置关系题型的解法；

（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.

【知识清单】

知识点1.直线和圆锥曲线的位置关系

判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线/的方程Ar+By+C=O（A,B

不同时为0）代入圆锥曲线C的方程尸（x,y）=0,消去），（也可以消去x）得到一个关

于变量M或变量y）的一元方程.

Ax+By+C=0,

即《消去y,得以2+欧+。=0.

.F（x,y）=0,

(1)当时0时，设一元二次方程以2+公+。=0的判别式为/,则/>00直线与圆

锥曲线C相交；

/=()今直线与圆锥曲线C相切；

/<()=直线与圆锥曲线C相离.

(2)当。=0,厚0时，即得到一个一次方程，则直线/与圆锥曲线C相交，且只

有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线/与双曲线的渐近线的位置关系是平

行；若c为抛物线，则直线/与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.

知识点2.“弦”的问题

1.弦长公式

设斜率为武原0)的直线/与圆锥曲线C相交于A,8两点，A(Xi,yi),Bgg),则

|AB|=、i+k2|xi~xi+x2_2—4xiX2=dl+\・|y—yi\

2

=q1+p-A/yi+y2-4yiy2.

2.处理中点弦问题常用的求解方法

(1).点差法：

即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有为+及，

户+/，无?三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即

可求得斜率.

(2).根与系数的关系：

即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系

求解.

注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易

产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.

【典例剖析】

高频考点一：直线和圆锥曲线的位置关系

【典例1】(2020•浙江高三月考)如图，已知抛物线G：：/=4x和圆

2

C2:(X-1)+/=1,直线/经过G的焦点产，自上而下依次交G和于A,B,

C,。四点，则通•丽的值为

因为抛物线C,:y2=4x的焦点为F(1,O),

又直线/经过G的焦点F，设直线/：y=&(x-D,

y2—

由《得/尤2一(2k+4)次+及2=0,

y=k(x-l)

设4%,%),5(%2，%)，则七元2=1

由题意可得：|AB|=|AF|-忸丹=玉+1-1=%，

同理|C£)|=%,

所以荏.前=|丽,丽|•cosO"=x]x2=1.

故选c

【典例2】(2019•全国高考真题(理))已知抛物线C：V=3x的焦点为F,斜率为

3-

；的直线/与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.

2

(1)若明+|明=4,求/的方程；

(2)若而=3而，求|AB|.

(1)12X-8，-7=0；(2)

3

3

(1)设直线/方程为：y^^x+m,4(%,凶)，8(%,%)

35

由抛物线焦半径公式可知：|A尸|+怛目=玉+/+；=4二%+为=不

,_3

联立"二5"土"得：9x2+(12m-12)x+W=0

y2=3x

则△=(12，〃—12)2-144，/>0.,./«<|

12m-125曰7

..玉+巧=--------=不，解得：=——

928

37

二直线/的方程为：y=gx-,,即：12x—8y—7=0

2o

(2)设P(r,o),则可设直线/方程为：x=(y+f

联立=+'得：/-2y-3r=0

ly=3%

则A=4+12/>0

•,•%+%=2，

■.AP=3PB：.y1=-3^二％=-1，X=3，％%=-3

则IAB|=J1+：-J(>1+%)2-4。>2=平■54+12=

22

【典例3】（2020•全国高考真题（文））已知椭圆G：1+与=1（。>6>0）的右焦点

a2b2

F与抛物线C2的焦点重合，G的中心与C2的顶点重合.过尸且与x轴重直的直线交

4

Ci于A,8两点，父C2于C,O两点，且|CO|=—|A5|.

3

（I）求G的离心率；

（2）若G的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求Ci与C2的标准方程.

1T22

2

（1）-；（2）G：—+2L=1，c2：V=8X.

21612

（1）因为椭圆G的右焦点坐标为：F（c,O）,所以抛物线Cz的方程为丁=3，

其中万•

不妨设wc在第一象限，因为椭圆Ci的方程为:=1，

-22r2flr2

所以当x=c时，有：+4=lny=±匕，因此43的纵坐标分别为上，;

0262aaa

又因为抛物线。2的方程为/=4疣，所以当*=。时，有/=4c.c=>y=±2c，

所以C,ZJ的纵坐标分别为2c,-2c,故|4»|二竺，|C。上船.

a

由|CD|=34B|得4c=艺，即3.£=2—%与2,解得£=一2（舍去），-=

33aaaaa2

所以a的离心率为工.

（2）由（1）知a=2c,b=&，故G：47+3?所以G的四个顶点坐标

分别为g,0),(-2c,0),(Q代)，(0,-<5c).G的准线为t二-^.

由已知得3c+c+c+c=12,即c=2.

22

所以G的标准方程为'+乙=1，。2的标准方程为V=8x.

1612

【规律方法】

直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及关注点

(1)判定方法：直线与圆锥曲线方程联立，消去y(或％)后当得到关于M或y)的一

元二次方程时，设其判别式为/,

①/>O0S线与圆锥曲线相交；

②/=0一直线与圆锥曲线相切；

③/<ou直线与圆锥曲线相离.

(2)关注点：①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否

为零.②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式/起着关键性的作用，第一：可

以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根；第三：若/的表达

式非常复杂，则可以采用列而不求，最后验证的策略.

提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.

【变式探究】

（2019•河南南阳中学高三开学考试（文））

1.已知抛物线>2=16》的焦点为F,过点F作直线/交抛物线于M,N两点，则

\NF\__£

~~9~-\MF的最小值为

22।

A.-B.——cD.-

33-43

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系，将所求的表达式转化成一

个量的函数求最值.

【详解】由题意知I,抛物线V=16x的焦点坐标为（4,0）.设M（4y）,N（x2,y2）,

将/：x=加），+4代入抛物线方程,

可得:/=16（加），+4）,且有乂+>2=16根，乂必=一64

2

所以玉+々=加凶+4+my2+4=+y2）+8=16m+8,又因为

22

x.x=­•—=16.

12-1616

由抛物线的定义可得|加月=玉+4,|NF|=七+4.

1111X,+X+8I,、

必-----1--=---1---=--2=---=—（*）

\MF\|/VF|玉+4X2+4（内+4）（尤2+4）4

111

由（*）可得丽=1网，

4_414\NF\441

从而有一版T丽j丁一丽=丁+同一号—1行

当且仅当|版|=6时取等号.

故选D.

【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于将问题转化为关于一条线段

的长的函数的最值问题，属于中档题.

（202。・四川遂宁♦高二期末（文））

2.已知椭圆T:5+4=l（a>8>0）长半轴为2,且过点M（0,1）.若过点M引两条

ab~

互相垂直的两直线4、4,若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为

4、d2,则的最大值为（）

A.2B,生叵C.5D.—

33

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得a,h的值，进而求出椭圆的方程，分两直线44的斜率存在

和不存在，设直线两直线4,4的方程，设p的坐标，由点到直线的距离公式求出4,4

的表达式，进而求出":+出？的表达式，由p在椭圆上可得其横纵坐标的关系及纵坐

标的取值范围，可得《2+42的最大值，从而得答案.

2

【详解】由题意可得。=2,8=1,则椭圆的方程为:+丁=1,设P（x,y）

（1）若直线4,4中有一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0.

设直线4的方程为x=o,则直线4的方程为y=i

由P（x,y）在椭圆亍+y2=i上，则％2=4-4》2

所以/+寸=x2+（l-y）2=5_3y2_2y=_3（y+；）+5+g,-1<y<1

故当y=-1时、42+42有最大值?，即Jdj+d；的最大值为拽.

333

（2）当直线4,，2的斜率都存在，且不为0,时

设直线4的方程为丁=丘+1,即"-y+l=0

则直线/,的方程为y=-1x+l,即x+妙-4=0

k

所以八常小与黑

（区—y+1）-+（^x+ky—

所以42+42x2+y2-2y+l

\+k2

由（1）可得Jd：+42的最大值为孚.

故选：B

【点睛】本题考查求椭圆的方程及点到直线的距离公式，属于中档题.

（2018•全国高考真题（理））

3.设椭圆C:1+y、l的右焦点为尸，过尸的直线/与C交于A,8两点，点团的坐

标为（2,0）.

（1）当/与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设。为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.

【答案】（1）AM的方程为y=-*x+夜或y=^x-0；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）首先根据/与x轴垂直，且过点F（1,0）,求得直线/的方程为x=l,代

（万、（亚、

入椭圆方程求得点A的坐标为"或1崂,利用两点式求得直线AM的方

程；

（2）分直线/与x轴重合、/与x轴垂直、/与％轴不重合也不垂直三种情况证明，

特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来

体现，从而证得结果.

【详解】（1）由已知得F（LO）,1的方程为x=L

由已知可得，点A的坐标为1,挈或1,-坐.

所以AM的方程为y=-^-x+V2或y=^-x-y/2.

（2）当/与x轴重合时，ZOMA^ZOMB=0°.

当/与x轴垂直时，OM为A8的垂直平分线，所以NOM4=NQM8.

当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=，0）,

A（X|，X）,B（冷％），

则西＜71々＜&,直线M4、M3的斜率之和为勺《+褊=皆^+-

2心冗2-3女（玉+%2）+4攵

由X=履1_%,必二米2一攵得kMA+kMB=---a_2）（工_2）----

2

将y=攵（》一1）代入'+y2=1得（2/+1）%2-4&2》+2/一2=0

4公2k2—2

所以，X1+W

2FTT'X,%2=2F7T-

贝【J2kx.x2-3攵（玉+/）+4Z="二以="；叱+公=0.

从而七八+仁“8=0,故他、MB的倾斜角互补，所以NOM4=NOMS.

综上，ZOMA=ZOMB.

【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点

式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，

第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，

关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲

线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系

来得到角是相等的结论.

【总结提升】

1.研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组

成的方程组解的个数.对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合

的方法求解.

2.直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当

直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.

3.直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也

相交于一点.

4.直线和圆锥曲线的位置关系利用代数方法判断，其中直线和双曲线的位置关系，

还可以通过比较直线的斜率和渐近线斜率来判断.

高频考点二：弦长问题和中点弦问题

【典例4】（2020•岳麓。胡南师大附中高三三模（文））已知椭圆

C=W+E=l（0<6<2），作倾斜角为空的直线交椭圆C于43两点，线段48的

44

中点为MO为坐标原点频与面的夹角为6，且|旬16|=3,则方=（）

A.]C.6D.叵

2

B

vA2

分析：设4（4加/佑，8），放（小,%）,利用“点差法”可得比=—,设直线改

X。4

的倾斜角为Q,则。=a+三或6=之一a,tane=土㈣又tana=&^=2,

441-tanor/4

b2]

—+1

4

由一r=3,从而可得结果.

1-----

4

详解：设4（图0）,3（4%））M（/〃O）,

彳2

万

一+F

4

则,两式作差得其二叼）值+登）+5一9缶+"）=°,

日K

+4P

4

*2

•;0=-L二也T=。，即也"，

4bXf）4

设直线QW的倾斜角为Q,则。=a+土或6=把-a,tan0=土场"1,

441-tana

乂tana=——,由

为14

解得/=2,即办=应，故选区

【典例5】（2019•安徽高三月考（理））已知抛物线C:：/=4x的焦点为过点尸

的直线交抛物线C于A,3两点，。为坐标原点，若AAO3的面积为逑，则线段

2

的长是（)

9

A.98.4C-0.8

2

C

当直线AB垂直于x轴时，5小利=；乂（2+2卜1=2,不符合题设;

当直线43不垂直于x轴时，设AB方程为y=攵（％-1）（攵。0）,即

kx-y-k=0.

点（0,0）到直线AB距离d阳

M+1

y-k(x1)，得后2%2_(2/+4卜+%2=0,

联立

y-=4x,'/

设B(x2),y2),

则由韦达定理得，F+/=0了的,咐===1,

kk

22

所以由弦长公式得，\AB\=yll+k-^+x2)-4Xlx2

4(1+A;2)

因为AAO8的面积为逑,

2

14r+4X下网工=季，所以公=8,

所以]X—p--------口

VFTi2

g

所以|A8|=]

故选c.

【典例6】（2019•全国高三月考（文））已知抛物线y2=2〃x（〃>0）的焦点为凡直

线/:2x+y-12=0与抛物线交于"，N两点，且以线段为直径的圆过点尸，则

p-()

A.lB.2C,4£).6

B

设川（石,凶）川（々,必），

:2p\cZ消去X得y+py-l2P=0,

联立

2x+y—12=0

由韦达定理可得：,必=一12〃，y+%=-〃

4+12'=毁£=等=36,

/.%,+x21

22-4P24P2

以线段MN为直径的圆的方程为（x—%,）（x—w）+（y—x）（y—注）=0,又其过点

F,

P-(p\

XA|不一々+y%=o,

2l，7

+元2)+须/+%%=o.

・上便+12

+36-12p=0,

422

:.P=2,

故选：B

【典例7】（2018♦浙江学军中学高考模拟）F是抛物线。:/=22y5>0）的焦点，

M是抛物线。上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为Q,

点Q到抛物线C的准线的距离为1.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若点M的横坐标为行，直线/：元=机），+；与抛物线C有两个不同的交点

A8,/与圆。有两个不同的交点O,E,求当;4根<2时，|A砰+|。目2的最小值.

(1)x2=2y.(2)—.

2

（1）/抛物线C：x2=2p），（p>0）的焦点40,£|，设叩。合卜x0>0），Q（a，b）

由题意可知b=4,则点Q到抛物线C的准线的距离为=f+4==m

424244

解得夕=1,于是抛物线C的方程为f=2y.

（2）,••M0,⑹.垂直平分线方程为

>2=2x

（15垃】3限

：.Q=’—.由'1得2y2—4my—1=0,设4a,%),3(和力)

4工’,二一8

7x=my+—

2

•；A=16W+8>O,y\+y2=-g

1+6,(4加2+2

又•••Q到I的距离d=5ym<巫

8，1+疗8

（、

,12_2725加2_2725/_25/1

|+|£>£|2=（1+〃/）（4〃5+2）+8（；：2）+：令/=]+加«加〈2,则

re?5

.・.|"『+|。司2=4产一2，+1+；令8（。=4/2-2+||+:"《：5

则

gt）=8-2+^Ng，图=6>0

••"=；时g（fLn=*

【规律方法】

1.处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：

|设点|一校由弓玄自勺而菽E至标；

代入|一代入圆4隹曲理/夜；

\

作差|一湎天加藏；容用¥子建公武亮工云底而

整理|一博花.为鬲军与千：£至标的黄家云:族看隶廨；

2.解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点A,B关于直线

/对称，则/垂直于直线AB且A,8的中点在直线/上”的应用.

3.求解弦长的四种方法

（1）当弦的两端点坐标易求时;可直接利用两点间的距离公式求解.

（2）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离

公式求解.

（3）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与

系数的关系得到（笛一及）2或°［一”）2,代入两点间的距离公式.

（4）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.

提醒：利用弦长公式求弦长要注意斜率出不存在的情形，若上不存在，可直接求交

点坐标再求弦长.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.

【变式探究】

（2019•河北高考模拟（文））

V2y2

4.已知椭圆二+l（6Z>Z?>0），点厂为左焦点，点尸为下顶点，平行于小的

aF

直线/交椭圆于A6两点，且A8的中点为则椭圆的离心率为

B.-

22D-T

【答案】A

【解析】

【分析】设A（王，弘），8（为2,当），因为A、8在椭圆上将两式相减可得直线A8

的斜率与直线OM的斜率的关系，建立关于a,b,c的方程，从而求出所求；

【详解】设A（西，%），8（々，必），又A3的中点为知［1，；］，则

V/）

玉+九2=2,X+%=L

又因为A、8在椭圆上

22£

所以与+与=i

a2b2b2

两式相减，得:江&.叱&=一4

%一W%+/a

••k-y'~y'2-k---k_必+%_1

•KAB-_KFP_，KOM__C,

%C玉+尤22

.b_2/?2?=2bc,平方可得/=4（42一°2卜2,.・.4=!—=立,

••一=-Z-,9*

''a22a2

故选A.

【点睛】本题主要考查了点差法求斜率，以及椭圆的几何性质,同时考查了运算求

解的能力，属于中档题.

（2019・广西高二期末）

21

5.己知椭圆M:三r+丁=1,直线/与椭圆”相交于A8两点，点0（1,彳）是弦AB

4-2

的中点，则直线/的方程为.

【答案】x+2y-2=0

【解析】

【分析】先设出A6两点的坐标，代入椭圆方程，再两式作差，结合弦的中点坐标

即可求出直线的方程，再由直线的点斜式方程即可求解.

【详解】设4（石,乂）,8（孙必），因为直线/与椭圆M相交于A5两点,

X：2_1

LX=22

所以有：,两式作差得：二—工整理得

2,44

才+为=1

.X一为1%+X,

玉一々4x+%

因为点是弦的中点，所以为+工2=2，%+为=1，所以k"=-；,

所以直线/的方程为=整理得x+2y-2=0

故答案为x+2y-2=0

【点睛】本题主要考查椭圆的中点弦所在直线方程的问题，通常需要设出两交点坐

标，代入椭圆方程，两式作差，结合中点坐标即可求出直线斜率，再由直线的点斜

式即可求出结果，属于常考题型.

2

6.给定双曲线/一三=1.过A（2,l）的直线与双曲线交于两点4及4，求线段

丹鸟的中点P的轨迹方程.

【答案】2x2-y2-4x+y=0

【解析】

【分析】设6（%,）1），6（9,必），代入双曲线方程后相减，再根据中点坐标公式代入

即可求得中点P的轨迹方程.再讨论斜率不存在时是否满足方程即可.

【详解】设耳（不，乂），鸟（孙％），代入方程得片-八=1,考-g=l

两式相减得：（玉+/）（玉一工2）-+%）（必一%）=0

又设中点P（X,y）

将玉+工2=2n，y+%=2y代入，当西工工2时得

2尤一生31=（）

2Xj-x2

又k比2=三

x,-x2x-2

代入得2x2-J-4x+y=0

当弦RP2斜率不存在时，其中点K2,0）的坐标也满足上述方程

因此所求轨迹方程是2f—y2—4x+y=0

【点睛】本题考查了直线与曲线相交的中点弦问题，点差法解决中点问题的用法，

属于基础题.

（2018年文北京卷）

7.已知椭圆加：，+，=1（。>8>0）的离心率为半，焦距为2万斜率为％的直

线/与椭圆”有两个不同的交点4,B.

（1）求椭圆M的方程；

（2）若左=1,求|A8|的最大值;

（3）设P（-2,0）,直线用与椭圆M的另一个交点为C,直线P8与椭圆〃的另

71

一个交点为。.若C,。和点Q（-二二）共线，求出.

42

2

【答案】（1）—+/=1；（2）V6;（3）2.

3

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆的离心率公式即可求得。的值，即可求得。的值，由此能求出椭圆方

te.

（2）当攵=1时，设直线的方程.代入椭圆方程，根据弦长公式即可求得|A5|

的最大值.

（3）求得直线的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求出。点坐

标，同理求得。点坐标，即可求得玄与诙，根据向量的共线定理，即可求得直

线AB的斜率.

【详解】解：⑴•.•椭圆〃：二+£=