2022年高考艺术生专用数学讲义-第05讲函数及其表示（教师版）

第05讲函数及其表示

1、函数与映射的概念

函数映射

两个集合

设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合

4、B

按照某种确定的对应关系力使对于集按某一个确定的对应关系使对于集合

对应关系合4中的任意一个数x,在集合8中都A中的任意一个元素X,在集合8中都有

有唯一确定的数/(X)和它对应唯一确定的元素y与之对应

称/：A-^B为从集合A到集合B的一称/：A-8为从集合A到集合8的一个

名称

个函数映射

记法y=f(x),xGA/：A-B

注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意

一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.

2、函数的定义域、值域

在函数y=/(x),xGA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y

值叫做函数值，函数值的集合lAx)|xGA｝叫做函数的值域.

3、构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

4、函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

图象法：注意定义域对图象的影响.

5、函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)j=x°的定义域是｛x|x#0｝.

(5)3=炉(。＞0且存1),y=sinx,y=cosx的定义域均为R.

(6)y=logd(a>0且存1)的定义域为(0，+<»).

兀

(7)y=tanx的定义域为｛x|xXE+5,2eZ).

考点一函数的定义域

1.（2021•邵东市第一中学高三月考）函数f（x）=（i_x）1+（2x_l）。的定义域是（)

A.

c.（何唱」

【答案】B

【详解】

解："'）=而故｛m，解得…卜唱吗」｝

故选：B

2.(2021•浙江高三学业考试)函数〃x)=Gib+—二的定义域是()

x+2

A.[-3,+oo)B.(-3,+oo)

C.[-3,-2)U(-2,+oo)D.[—3,2)U(2,+oo)

【答案】C

【详解】

fx+3>0「、一/、

根据题意可得.n，所以xe[-3,-2）U（-2,位）.

故选：C.

3.（2021•陕西高三月考（文））函数=二的定义域是（）

A.卜2收）B.[-2,-l）U（-l,+^）

C.（-1,+<»）D.[-2,-1）

【答案】B

【详解】

x+1wO

由题意可得X+22。'解得一2-1或x,L

因此，函数〃x）=a-^/^5定义域为卜2,-l）U（T,y）.

故选：B.

4.（2021•江西鹰潭市•鹰潭一中高三月考（文））函数〃x）=&+，的定义域是（）

A.{x|x>0}B.{%|x>0}C.{x|x#O}D.R

【答案】A

【详解】

fx>0

要使f（x）有意义，则满足《八，得到x〉0.

故选A.

5.（2021•河南高二期末（文））已知集合A={x|0W2},8=卜上=71=7,X€叫，则AA8=（）

A.{0,1,2}B.[0,1]C.{0,1}D.{1}

【答案】C

【详解】

函数y=有意义，必有1—xNO,即*41,于是得5={x|l—XN0,X€N}={0』},而4={x|04x42},

所以AnB={O,l}.

故选：C

6.（2021•浙江师范大学附属东阳花园外国语学校）函数/。）=若+TT万的定义域是（)

A.[1,+<»)B.[―l,+oo)C.(-00,1)51,+°°)D.(l,+oo)

【答案】D

【详解】

10

由解析式有意义可得{,八，故X>1,

[X-1HO

故函数的定义域为（1,+8）

故选:D.

，,、6

7.（2021•怀化市辰溪博雅实验学校高二月考）函数f⑶=7『_3X+2的定义域为（)

A.[1,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(y),l)U(2,+»)

【答案】D

【详解】

解：要使函数有意义，贝1叱-3》+2>0,即（x—l）（x—2）>0,解得x<l或x>2.

〃/、6

所以函数/（力=了213》+2的定义域为（9,1）52,+O

故选：D

考点二抽象函数定义域

1.(2021•沙坪坝•重庆八中高三开学考试)已知函数“X)定义域为(0,+功，则函数*x)=〃x+2)+7n

定义域为().

A.(-2,3]B.[-2,3]

C.(0,3]1).(0,3)

【答案】A

【详解】

函数F(x)="1+2)+行三需满足解得-2<XV3.

故选：A

2.(2021•巴楚县第一中学高二月考(文))已知函数y=/(x)定义域是[一2,3],则y=〃2x—1)的定义

域是()

A.——,2B.[—1,4]C.[—2,3]D.0,—

【答案】A

【详解】

由题意-242x-143,解得-Q4x42.

故选：A.

3.(2021•河南开封•高一期末)已知函数的定义域为(1,3),则函数/(2x-l)的定义域为()

A.(1,2)B.(1,5)C.(2,5)D.(1,3)

【答案】A

【详解】

解：由题意可知，l<2x—1<3,解得l<x<2,即函数/(2x-l)的定义域为(1,2)；

故选：A

4.(2021•安徽蚌埠•)已知函数“X)的定义域是[0,2],则函数8(无)=/1+£|+/1-J的定义域是

()

"131「15]「13]「”I

_22j122」L22jL1

【答案】A

【详解】

0<x+-<2

因为函数/（X）的定义域是[0,2],所以有:2

22

0<x--<2

2

故选：A

5.（2021•全国）已知函数的定义域为[-3,3],则函数〃x-l）的定义域为（）

A.[-2,3]B.[-2,4]

C.[-4,2]D.[0,2]

【答案】B

【详解】

由于函数『（X）的定义域为[-3,3],对于函数〃x-1）,W-3<x-l<3,解得—2WX44.

因此，函数〃x-l）的定义域为[-2,4].

故选：B.

6.（2021•江苏高一）已知函数〃x）的定义域为[0,2],则函数），=£①D的定义域为（）

x-1

A.[-1,1）B.（1,3]C.[-l,0）U（0,l]D.[O,1）U（1,2]

【答案】A

【详解】

因为函数“X）的定义域为[0,2]且分式的分母不等于零，

解得-L,x<\,

故函数y=/空◊的定义域为-I,I）,

x-1

故选：A.

7.（2021•全国高一）已知函数y=/（x）的定义域为[-6,1],则g（x）=3署的定义域是（）

x+2

■7-

A.（-co,-2）U（-2,3]B.--,-2

C.[-11,3]D.-g,-2）U（-2,0]

【答案】D

【详解】

-6^2X+1<17

由题意可得：x+2/。'解得「齐>40旦…,

故g(x)="2x?)的定义域是二,_215-2,0],

x+2L2)

故选：D

8.(2021•全国高一课时练习)已知函数y=/(x+1)定义域是[-2,3]，则y=/(2x-l)的定义域是()

A.[0,^-]B.[—1,4]C.[—5,5]D.[—3,7]

【答案】A

【详解】

函数尸F(广1)定义域是[-2,3],则一1KX+1W4,

所以-142144,解得O4x4：,

所以函数的定义域为[0,1].

故选：A

9.(2021•全国高一课时练习)已知函数〃x)的定义域为[-1,2),则函数/(x-1)的定义域为()

A.[-1,2)B.L0,2)

C.[0,3)1).[-2,1)

【答案】C

【详解】

•••/(X)的定义域为[—1,2),

.,.-1^X2,

由抽象函数的定义域求法可得：一lWx—1<2,解得0W水3,

••./(》-1)的定义域为[0,3),

故选：C.

10.(2021•全国)已知/(X)的定义域为(-1,0),则函数/(2x+l)的定义域为

A.(—1,1)B.(—1,——)C.(—1,0)D.(―,1)

【答案】B

【详解】

试题分析：因为函数F(x)的定义域为(TO),故函数f(2x+l)有意义只需/<2x+l<0即可，解得

选B.

考点三函数的解析式

1.(2021•新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试)已知f(x)是一次函数，

2/(2)-3/(1)=5,2/(0)-/(-1)=1,则()

A.3x4-2B.3尤一2C.2x+3D.2x-3

【答案】B

【详解】

由题意，设函数〃》)=丘+仇%*0),

(k-b=5

因为2〃2)_3/⑴=5,2/(O)_f(_l)=l,可得八+/,=［，解得q=3,〃=_2,

所以〃x)=3x-2.

故选：B.

2.(2021•全国高一专题练习)己知/5)是一次函数，且/(x-l)=3x-5,则/(x)=()

A.3x-2B.2x+3C.3x+2D.2x-3

【答案】A

【详解】

设一次函数y=6+6(“*0),Ijll]/(x-\)=a{x-V)+b=ax-a+b,由/(x-l)=3x-5得方一a+)=3x-5,即

f(z=3[a=3

L<,解得八°，，/(X)=3X—2-

[b-a=-5=-2

故选：A.

3.(2021•全国)一次函数g(x)g(x)满足g(g(x))=9x+8,则g(x)的解析式是()

A.g(x)=9x+8

B.g(x)=3x-2

C.g(x)=—3x-Mg(x)=3x+2

D.g(x)=3x+8

【答案】C

【详解】

因为g(x)是一次函数，

所以设g(x)=kx+b(kw0),

所以g[gW]-k(kx+b)+b,

々2=9,

又因为g[g(刈=9x+8,所以.0

[kb+b-S,

伙=3,仅=-3,

解得匕。或L上

[b=2[b--4,

所以g(x)=3x+2或g(x)=-3x-4.

故选：C

4.(2021•全国高一课时练习)已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则此一次函数的解析式为()

A./(X)=-XB./(x)=x-l

C./(x)=X+1D.f(X)=-X+\

【答案】D

【详解】

,\a+b=0,

设/(x)=ax+b("0),则有t,

3=1,

所以。=-1,b=l,所以/(x)=-x+l.

故选：D

k

5.(2020•全国高一课时练习)若函数y=上的图象经过点(2,3),则该函数的图象一定经过

x

A.(1,6)B.(-1,6)

C.(2,-3)D.(3,-2)

【答案】A

【详解】

将(2,3)代入函数解析式得3=*=6,故y=g，也即盯=6,经验证知A选项正确，故选A.

6.(2021•江西省靖安中学高一月考)二次函数“X)满足/(x+l)-/(x)=2x,且f(O)=l,

(1)求的解析式；

2

【答案】(1)/(x)=x-x+l;

【详解】

(1)由题设/(工)=0^+—+C(4H。)

•・・/(0)=1

.・.c=l又/(x+l)T(x)=2x

a(x+1了+b(x+1)+c—(ax2+bx+c)=2x

2ax+a+b=2x

[2"2p=l

[a+b=0[/?=-1

/.f(x)=x2-x+\

7.(2021•江西高安中学高一月考•)已知二次函数〃x)满足〃x+l)-/(x)=4x,且"0)=1,

(1)求二次函数的解析式；

【答案】(1)/(X)=2X2-2X+1；

【详解】

(1)设二次函数〃入"加+陵+4”。).

/(0)=1,C=1.把/(X)的表达式代入/(%+1)—/(x)=4x,有〃(K+1)2+Z?(x+l)+l-(ar2+Z?x+l)=4A.

2ax+a+b=4x...a=2,b=-2./(x)=2x2-2x+l.

(2)g(x)=2"。=的单调增区间为(；，+8),

函数的值域为［四,+<X)j.

8.(2021•全国高一课时练习)已知“X)为二次函数，且/(x+l)+/(x-l)=2x：4x,求〃x)的表达式.

【答案】/(力=丁-2万—1

【详解】

由题意可设/(》)=加+瓜+。(<7/0),

则/(x+1)=a(x+l)-+b(x+l)+c=av2+(2a+b)x+a+b+c,

f(x—1)=a(x—1)-+/?(x—l)+c=cix^—(2a—Z?)x+a—b+c,

于是/(%+1)+/(%-1)=20%2+2hx+2a+2c,又/(x+l)+/(x-l)=2x:-4x,

2a=2,a=1,

所以2。=-4,解得b=-2,

2a+2c=0,C=-1,

所以/(%)=£-2x—l.

考点四抽象函数解析式

7

2

7

2

【答案】C

【详解】

由，(£H"r)=2x?(),

将⑴xx+(2)得：

2

2/(-%)=2%2—=

故选C.

2.(2021・全国高一课时练习)若/")对于任意实数x恒有3/(x)-2/(r)=5x+l,则“r)=

A.x+1B.x—1C.2x+1D.3x+3

【答案】A

【详解】

因为3〃x)-2/(T)=5X+1,所以34—X)-2/(X)=-5X+1,解得〃X)=X+1

选A.

3.(2020•重庆市巫山中学高一月考)若函数/(X)对于任意实数X恒有/(%)-2/(-x)=3x-l,则/(X)

等于()

A.x+1B.x-lc.2x+lD.3x+3

【答案】A

【详解】

f/(x)-2/(-x)=3x-l

因为/(x)-2/(-x)=3x-l,所以/(r)-2/(x)=-3x-l,联立方程组:,解得〃x)=x+l,

U(r)-2/(x)=-3x—l

故选A.

4.(2021•全国高一专题练习)(1)已知2/(x)+/d)=x,求/(x)的解析式.

X

21

【答案】(1)fW=~x~~;

33x

【详解】

(1)由2/(x)+/d)=x,把•!■代替x代入可得2/(L)+/(X)=L,

x尢XX

1?1

联立消去了(一)可得：/(X)=

x33x

5.(2021•上海)(1)己知/。+1)=2/—工+3,求/(x).

(2)已知函数/*)满足2f(x)+/(j=x,求/(x).

21

【答案】(1)/(x)=2x——5x+6；(2)f(x)=-x——.

33x

【详解】

(1)令l=x+l贝！|%=4—L

/./(/)=2(r-l)2-(r-l)+3=2r2-4z+2-/+l+3=2*―5，+6.

/./(x)=2x2-5x+6

(2)；2f(x)+/6)=x①；.2巾)+f(x)=1(2),

联立①式，②式

21

则/(外=,—「

33%

6.(2021•全国高一课时练习)(1)已知外1+2》)=宁，求“X)的解析式;

(2)已知g(x)-3g(J=x+2,求g(x)的解析式.

/\X2—2x+5/x3

【答案】(1)/r(x)=-7)；⑵江”=一三一1一1

(x-1)88x

【详解】

(1)由题意得：〃l+2x)定义域为{去。0}

t2-2t+5

设f=1+2x(，工1),贝(Jx=QI)

—2x+5

・••/(力=(xwl)

(IF

(2)由g(x)-3g(J=x+2...①得：g(g)-3g(x)=：+2…②

①②联立消去g（£|得：g（x）=q《7

考点五分段函数

1.（2021•荆门市龙泉中学高一月考）已知函数,则的值为（）

A.—2B.—1C.3D,0

【答案】D

【详解】

•・・/(-1)=T-1)+1=2

••/(/(-l))=/(2)=22-2x2=0

故选：D.

2.(2021•黑龙江大庆中学高一月考)已知函数/(x)=F八，则“AD)=()

-x-2x,x<0

A.—1B.——C.~D.1

【答案】D

【详解】

由题意，函数/八，可得八1)=2—1=1,

-x-2x,x<0

所以〃/(l))=/(l)=l.

故选:D.

一/、2-x+l,x<0,、

3.(20