2021年工程大学工程管理专业n维向量试题及答案

2021年工程大学工程管理专业n维向量试题

一.选择题

1.设%,&2,013，%隹均为四维列向量，A=(al,a2,a3,/Jl),B=(a3,ai,a2,/32),且

|A|=1,|8|=2,则|A+6|=()

A.9B.6C.3D.1

2.已知必小,即隹,丫都是3维列向量，且行列式

|apPpyHaPP2,y|=||=|a2,P2,y|=3,则|一2丫,四+&2，国+2P21=()

A.-18B.-36C.64D.-96

3.向量组a^a2,…,a,线性无关的充分必要条件是()

A.存在全为零的一组数勺,勺，…,%，使K%+Z2a2+…+&a*=0

B.存在不全为零的一组数K次2,…，&，使人%+%2a2+…70

C.对于任何一组不全为零的数，都有勺%+%2a2+…+户0

D.%,a?,…,a*中任意两个向量线性无关

4.设向量组(I)：a,,a2,---,as；向量组(卬:必解?,…,a,,%+i，…,a.,+,,则正确命题是

()

A.(I)无关=>(II)无关B.(I)无关=>(II)相关

C.(II)相关=>(I)相关D.(II)无关=>(I)无关

5.设向量组四,a2,%线性相关，向量组。2，。3，(14线性无关，则()

A.四必能由012，。3,014线性表示B.0l2必能由四,。3,014线性表示

C.0I3必能由a],a2，a_,线性表示D.必能由四,。2,。：线性表示

二.填空题

1.向量组％=(-1,0,1,3)7,%=(2,0,-1,1)7,%=(-2,3,0,1)7的线性关系为

(填“线性相关”或“线性无关”)

2.向量组a“a2,…,％不能被向量p线性表示的充要条件是

3.向量组％,a2,…,a,能被向量B唯一线性表示的充要条件是

,1210、

4.已知A=12-33，且A的秩为2,贝|/1=

、20-23,

[1]⑼，2、(5、

5.向量组0,1042的秩为

、同S

三.计算题

TT

1.设向量%=(1。-1,2),a2=(2,1,3,—1)T,a3=(l,-l,2,0)

(1)求2dI+04-3«3；

(2)若有x满足3oiI-a?+5。3+2x=0,求x

2.设a”a2，a3均为三维列向量，记矩阵

A=(al,a2,a3),B=(a1+a2+a3,a!+2a2+4a3,a,+3a2+9a3)A|=6,^<|B|

3.把向量p表示为其他向量的线性组合

TTTTT

(l)p=(l,2,3,4),e1=(l,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1)

TTTTT

(2)P=(0,0,0,1),a,=(1,1,0,1),a2=(2,1,3,2),a3=(l,l,0,0),a4=(0,l,-l,-l)

4.判断向量0能否由向量组a,a2，a3线性表示.若能，写出它的一种表达方式.

TTTT

(1)p=(2,-l,3,0),a,=(1,0,0,1),a2=(0,1,0,-1),a3=(0,0,1,-1)

TTT

(2)P=(-l,0,3,6尸,％=(l,-l,0,3),a2=(2,l,l,-l),a3=(0,l,2,l)

5.判断下列向量组线性相关还是线性无关

TTT

(1)a,=(1,0,0),a2=(1,-1,0),a3=(1,-1,2)

TTT

(2)a,=(1,1,3,1),a2=(3,-1,2,4),a3=(2,2,7,-l)

TTTT

(3)a,=(l,0,-l),a2=(0,l,0),a3=(l,-l,0),a4=(-1,1,2)

6.求下列向量组的秩，并求一个极大无关组

(0、T

(1)1，03-o

3

-4、rn’0、

00

⑵,a2=i=

0,OJ

7.求下列矩阵的秩.

12111

(2)A

4

132)(254

010o'0014、

1100001025

(3)A=01100(4)A=00136

001101231432

(0101L、4563277)

2-11

8.设4=32a—1已知R(A)=2,求a与b的值

、5638

9.利用矩阵的初等行变换求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余列向量

用极大无关组线性表示.

(1)

0、0、

\-4r)

(1]

(4)a]=3,%

l-b

2、

—1

(6)=

4

⑺？=

，25、(17、’43、

759453132

(8)«1=，%=,。3=,«=

7594544134

<25;32<48,

10.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把其余列向量

用极大无关组线性表示

11221、'11-214、

0215-12-1-112

(1)A=(2)A=

203-134-62-24

、1104-1,/、36-979,

'1-210''10122、

-24-260—1—2—1—1

(3)A=(4)A=

3-63-921446

,3332、02422,

'-7135-4、

-2-113-2

(5)A=

15-1-71

、一11840一11,

"a1P

11.设三阶矩阵A=lai,试求矩阵A的秩

1a,

参考答案

选择题

1.B2.B3.C4.D5.A

二.填空题

1.线性无关2.…,cts)r厂(四,012,…,％,仅

3.r(al,a2,---,av)=^(al,a2,---,av,p)=54.-25.3

三.计算题

TTTT

1.解:(1)2a,+a2-3a3=2(1,0,-1,2)+(2,1,3,-1)-3(1,-1,2,0)=(1,4-5,3).

(2)由3a]-a2+5。3+2x=(),得

x=g(-3oi]+a2-5a3)

=1[-3(1,0,-1,2)T+(2,1,3,-1)T-5(1,-1,2,0)T]

7

=(—3,3,-2,——)T

2.解：因为|A|=6,A=(a,,a2,a3),贝”四,a2,aj=6.利用行列式的性质可得

18|=|四+a2+。3,01]+2a2+4a3,aj+3a2+9a31

=|a1+a2+a3,a2+3a3,2a2+8a31

=2\ot]+a2+a3,a2-i-3a3,a2-i-4a3|

=2\a,-2a3,a2+3a3,a3|

=2\apa2,a3|=12.

3.解：(1)p=,+2e2+3e3+4e4.

k}=2

k2=-1

k3=3

k、-k9—a=0

解此方程组得唯一解

k、—2,k，2=—1,43=3,

-a2+3a>3.

则有线性方程组

4+2k?——1

—k、+—0

k\+2k3—3

3kr&2+氏3=6

解此方程组得唯一解

k、=1,kZ=—1,k、=2‘

则P能由向量组&],。2,013线性表示，且表达式为0=%-。2+2013.

111

5.解：⑴方法一由于|以必,013|=0-1-1=-2^0,则由定理3.1知，向

002

量组四,012,03线性无关.

方法二设存在一组数匕，出2，自，使得仁%+白为+左⑸二。，即

0

0

则有线性方程组

+&+/=。

—&—攵3=0，

2%=°

解此方程组得唯一解

k、—k,—左3=0，

从而向量组a,,a2,a3线性无关.

方法三以四,。2,％为列向量构造矩阵A,即

T11、

A=(apa2,a3)=0-1-1

、002,

显然R(A)=3,即向量组叫《2，。3的秩为3,从而向量组线性无关.

⑵方法一：设存在一组数勺,42，%3，使得勺%+42&2+&OC3=0,即

2

20

270

40

则有线性方程组

K+3k2+2k3=0

&-k?+2k3~0

3人+2k)+7&=0

k、+4幺—々3=0

解此方程组得唯一解匕=&=%=0，从而向量组％,。2,%线性无关.

方法二：以a「a2，%为列向量构造矩阵A,即

'132、‘132、'132、

1-120-400-40

A=(a(,a,a)=ff

233270-71001

U4-17、01-3;、000,

则R(A)=3,即向量组叫,。2，。3的秩为3,从而向量组线性无关.

(3)方法一：由题易知。4=-2%+2a2+(X3,则由定义3.7知，向量组

四,&2,013,014线性相关.

方法二：设存在一组数々，左2,向人，使得勺%+%2a2+%3a3+%4a4=。.即

1、9、1)(明,0、

0+融1+七-1+%41=0

T,[2)

则有线性方程组

k、+%-&4=0

k]—k+&=0，

—k、+2%=0

解此方程组的一组解占=2,的=-2,3=74=1，于是，有不全为零的数使得

2ot1+(—2)cx.2+(—l)a,+1,ct4—0,

所以向量组a,,a2,a,,a4线性相关.

方法三：由定理3.5的推论2可知4个3维的向量线性相关.

方法四：以a「a2，a3，a4为列向量构造矩阵A,即

，101p01-P

A-(a1,a2,a3,a4)-01-1101-11

、-1002J(0

011,

则/?(A)=3<4,即向量组的秩为3,从而向量组线性相关.

101

6.解：(1)方法一：由于|以42，&3|=-110=—1#0,则向量组线

021

性无关，从而极大无关组为其本身，即a”a2，a3，则口叫,。?,4)=3.

方法二：以a”a2，a3为列向量构造矩阵A,对矩阵A进行初等行变换，变

成行阶梯形矩阵，即

01](10H(\01、

A=(aa,a)--110-»011-011

1,23J100-1,

,021)(02

显然A的秩为3,即向量组四,a2,%的秩为3,则极大无关组为其本身，即

四,。2，(\3，则R(01|,012，。3)=3.

(2)方法一：由于四,04,013,014,015都是三维向量，则由定理3.5的推论2可知,

其极大无关组所含向量的个数最多为3个.

又因为

-410

|apa2,a31=010=-4^0,

001

则可知部分组四,a2,a3线性无关.

综上可知，叫《2,013为向量组&1，012,03，。4，&5的一个极大无关组，则向量

aPa2,a3,a4,a5的秩为3.

方法二：以为列向量构造矩阵A,即

-4I022

A=(a1，a2,a3,a4,a5)0101-1

1

00137

显然矩阵A为行阶梯形矩阵，且秩为3,即向量组a「a2，a3，a4，a5的秩为3,

且%,012，&3为向量组&1,&2，。3，&4,015的一个极大无关组（不唯一）.例如%,012,014，

四,&2«5等等都是向量组四,&2,03，。4，。5的极大无关组.

7.解：用矩阵的初等行变换把矩阵A化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的非零行

的行数即为矩阵A的秩.

12

-1-1

(1)A则A(A)=2.

01

3

11111、

1-20-3-2-3

(2)A=

410000

25000-6

1111\

0-3-2-3

000-6

00007

则A(A)=3.

10100、q0100、q0100、

1100001-10001-100

⑶A011000110000200

001100011000110

01011>、o101b10011

10100、

01-100

00200

00010

0000

则R0)=5.

10014、’10014、10014、

010250102501025

(4)A=001360013600136

12314320231328003918

45632775628610061836

7J

0014、

01025

00136

00000

,00000,

则H(A)=3.

8.解：因为

q2-112-11、12-11

A=32a-10-4a+3-40-4a+3-4

、563b7,0-48b-57005—cib-\7

因为R(4)=2,故

a-5

b=\

9.解：（1）以a「a2，a3，a4为列向量构造矩阵A,对矩阵A进行初等行变换化成行

最简形矩阵，即

'1111、q11i、q11r

A=(a)，a2,a3,a4)=1102T00-11o-1-12

J003>W-1-12,,00-1

<1003、‘1003

->0-101->010-1

No-i1>^001-17

从最后一个矩阵可看出，矩阵A的秩为3,即向量组cq,a2，a3，a4的秩为3,

a”a2，a3为向量组a”a2，a3，a4的一个极大无关组，且=3%-a?-a.：.

(2)以叫《2,013，。4为列向量构造矩阵A,对矩阵A进行初等行变换化成行最

简形矩阵，即

10-12、q0-12、'10-12

-1-1240-1160-1I6

A=(a,a,a,a)

)2340-2530-253003-9

4-78>1-30-26

\<0、07

f\0-12q00-1

0I-1-6010-9

001-3001-3

0007,00007

从最后一个矩阵可看出，矩阵A的秩为3,即向量组a1,a2，a3，ct4的秩为3,

a,,a2,a3为向量组的一个极大无关组，且=-a,-9a2-3a3.

(3)以四,。2，。3，。4为列向量构造矩阵A,对矩阵A进行初等行变换化成行最

简形矩阵，即

1010、'1010、"1010

-21-1-7011-7011-7

A=(a,a,a,a)=

12343-1230-1-13000-4

-41-31；、0111>、00087

1010、

0110

000

0000J

从最后一个矩阵可看出,矩阵A的秩为3,即向量组四,a2，a3，a4的秩为3,

a”a2，a4为向量组a”a2，a3，a4的一个极大无关组，且=%+a2+0a4.

(4)以叫《2，。3，。4为列向量构造矩阵A,对矩阵A进行初等行变换化成行最

简形矩阵，即

、

022、T022U022

A=(al,a2,a3,a4)311201-5-4T01-5-4

-103>,0-1257、00-317

(父、

(\100-

10223

1,7

01-5-4—010——

3

1

001--1

13J001——

13J

从最后一个矩阵可看出,矩阵A的秩为3,即向量组a”a2，a3，a4的秩为3,

a1,Ot2，a3为向量组叫,。2,013,014的一个极大无关组，且=%%-1%0>2-%。3.

(5)以叫,012，。3，。4,015为列向量构造矩阵A,对矩阵A进行初等行变换化成行

最简形矩阵，即

T1214、1214、

2-11120-3-3-1-6

A=(aa,a,a,a)

p23452-111200000

、369797、0334-3

2、

1012q0104

3

o-3-30-9

T0-3-3-1-6

0001-3

0003-9

,00000

00000>

,10104\

0103

0001-3

00007

从最后一个矩阵可看出,矩阵A的秩为3,即向量组四,012，%,014，。5的秩为3,

0.1,0,2,014为向量组0.1,0,2,013,014,015的一个极大无关组，且

a3=a,+a2+0-a4>a5=4a,+3a2-3a4.

(6)以四,a2，(X3，a4，a5为列向量构造矩阵A,对矩阵A进行初等行变换化成行

最简形矩阵，即

'17252、q7252、

30-11-10-21-7-14-7

A=(aa,a,a,a)=f

p234521406400-4-40

、。3121?312

/17252、(17252、

0-21-7-14-703121

->-»

00-4-4000110

0000、00000,

r_p

/17032、100-

3-3

03011

->f03011

00110

00110

00000

\/<00000,

/

100-

33

2

->010-

33

00110

00000，

从最后一个矩阵可看出，矩阵A的秩为3,即向量组（^，（^，（^，（^，（^的秩为3,

a”。2,013为向量组a1,012,013,（X4,（X5的一个极大无关组，且

2111

9

6Z4=§%+二3=一+

（7）以必,。2，。3,014为列向量构造矩阵A对矩阵A进行初等行变换化成行最

简形矩阵，即

"1031、‘1031、‘1031

-130-103300110

A=(aa,a,a)=—>T

p234217201100000

(42140；1022-4；、000—4

030、

0110

-)

0001

、0000,

从最后一个矩阵可看出，矩阵A的秩为3,即向量组叫《2，。3,014的秩为3,

a”a2，a4为向量组四,012,013,014的一个极大无关组，且a?=3al+a2+0-a4.

(8)以a],a2，a3,ot4为列向量构造矩阵A,对矩阵A进行初等行变换化成行最

简形矩阵，即

'25311743(25311743、

7594531320123

A=(aa,a,a)=

p2347594541340135

、25322048、0135,

(00-'

‘25311743、’253109、250040、1

□

0123010-1010-1

-»->010-1

001200120012

00\j1?.

、0000,、0000,0000,

、0000,

从最后一个矩阵可看出，矩阵A的秩为3,即向量组a1,a2，a3,ot4的秩为3,

%,012,013为向量组ai&gg的一个极大无关组，-0.a4=8/5a1-a2+2a4.

10.解：(1)用以,(12，。3《4，。5表示矩阵A的列向量组,对矩阵A进行初等行变换

化成行最简形矩阵，即

Q1221q12211

0215-10215-1

A=(aa,a,a,a)=T

p2345203-130-2-1-51

J104-17W0-22-2,

1221T104—

0215-10206)

T—

001-11001-11

0000><00000y

1104-八10010、

0103-10103-1

■->

001-11001-11

I00000;<00000;

从最后一个矩阵可看出，矩阵A的秩为3,即R(a|,a,2，a3，a4，a5)=3,取

为列向量组四,(12，(/3，(/4,015的一个极大无关组，且

a4=0C]+3a2-a3,a5=Oat-a2+a3.

(2)用a”a2，a3，a4，a5表示矩阵A的列向量组，对矩阵A进行初等行变换化成

行最简形矩阵，即

’11-214)'11-214

2-1-1120-33--6

A=(a.,a,,aa,a,)=->

v44-62-240-1010-(5-12

、36-979J、03-34-3

11-214

’11-214、

0-33-1t5

0-33-1-6

TR->

000--80001-3

3

000007

I0003-J1

11-207、q0-104、

0-330-9c1-103

->T

0001-30001-3

00000,0000?

从最后一个矩阵可看出，矩阵A的秩为3,即/?(四,04,013,(X4,015)=3,取

叫,《_2,014为列向量组必.必陋出的一个极大无关组.，且

a3=-a,-a2+()-a4,a5=4a,+3a2-3a4

(3)用叫,a2,4,a’表示矩阵A的列向量组，对矩阵A进行初等行变换化成行最

简形矩阵，即

，1-210’1-210-210

-24-2600060902

A=(aa,a,a)

p2343-63-9000-9000—9

、3332、09027、0006

1-210、1010\

09000100

.

0000001

0000J00007

从最后一个矩阵可看出，矩阵A的秩为3,即R(d,a2，a3，a4)=3,取四,&2，(14为

列向量组四,0.2，。3,014的一个极大无关组.，且=a(+0a2+0-a4,.

(4)用a1,a2，a3，a4，a5表示矩阵A的列向量组，对矩阵A进行初等行变换化成行

最简形矩阵，即

'10122'10122、

0-1-2-1-10-1-2-1-1

A=(a］，a,a,a,a)=->

23452144601202

、02422、02422,

/10122、10122、

0-1-2-1-101211

告

0