2022年高考艺术生专用数学讲义-第28讲等差数列（教师版）

第28讲等差数列

1、等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列,

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.

2、等差数列的四种判断方法

⑴定义法。川一。“=4(或者%-。“7="〃22))("是常数)=｛4｝是等差数列.

(2)等差中项法：2a“=a,i+a,+|(〃N2)(〃6"")=｛4｝是等差数列.

(3)通项公式：a,=pn+q(P，q为常数)o｛%｝是等差数列.

(4)前〃项和公式：S“=4〃2+3〃(4,3为常数)0伍“｝是等差数列.

3、若等差数列｛4｝的公差为4则d>0时｛。“｝递增；d<0时｛《,｝递减；4=0时｛4｝是常数数列.

4、对于任意数列｛/｝,

｛%｝为递增数列=凡+1-/20；(%+1-%>0时,数列｛%｝严格递增)

｛%｝为递减数列=。,用一4,40；(”,加一/<0时，数列｛q｝严格递减)

5、等差数列前n项和公式：S„=；S"=也|+

6、等差数列｛4｝的前〃项和S,的性质

(1)等差数列中依次加项之和S,“，S2m-Sm,S.m-S2m,S旃-S3nl，…组成公差为加2d的等差数列

(2)在等差数列列“｝,｛么｝中,它们的前〃项和分别记为Sn,Tn则?=”

，2〃一1

7、等差数列前〃项和的最值

在等差数列仅“｝中，

[a>0

(1)若q>0,1<0,5.有最大值,可由不等式组《n八来确定〃；

口+T0

a<0

(2)若％<0,d>0,5〃有最小值,可由不等式组《八来确定〃

U+IN。

(3)求等差数列前”项和的最值也可以把前〃项和化为关于〃的二次函数，通过配方求最值

题型一：等差数列通项公式

1.（2021•宁德市第九中学高二月考）已知等差数列｛叫的前〃项和为S“，若57=14,%=10,则｛4｝的公

差为（）

【答案】A

【详解】

q=-10

由题设,

d=4

故选：A

2.（2021•全国高二单元测试）在数列｛4｝中，4=1,-3=%，若勺=2020,则〃=（）

B.672C.673D.674

【答案】1）

【详解】

*,4=1，。“+1-3=4〃

，数列｛勺｝是以1为首项，3为公差的等差数列，

/.4=4=1+3（/1-1）=2020,解得〃=674.

故选：D.

3.（2021•江西南昌•高三开学考试（理））设S.为数列｛凡｝的前〃项和，若q=1,5。田=54+2,则S$=

（）

A.史B.竺C.10D.史

555

【答案】C

【详解】

解：因为5a,,"=5%+2,所以有%=4+],即数列｛叫是以《为首项，以|为公差的等差数列，所以

5x42

S5=5<z,+—-d=6+10x—=10.

故选：C.

4.（2021•北京牛栏山一中）已知数列｛《,｝中，4=2,an+l=an-2,则如等于（）

A.-12B.12C.-16D.16

【答案】A

【详解】

解：数列｛七｝中，4=2,an+l=a„-2,即.用=-2,

所以数列｛七｝为等差数列，公差为-2,

所以4,=-2〃+4，

所以%=—2x8+4=-12.

故选：A.

5.（2021•庆阳第六中学高一期末）已知等差数列｛。,,｝的前〃项和为"，若y=12,4=10,则｛q｝的公

差为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【详解】

由$3=33；%）=3生=12,得生=4.

-,.b,”（a、-a、10—4

又见=1A0,所以d=+~-=-^—=3.

故选：B

题型二：等差中项

1.（2021•全国高二单元测试）在等差数列｛%｝中，%+%=18-%），则4+4=（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【详解】

由题意，数列｛%｝为等差数列，结合等差数列的性质得，生+4+4。=3a（,=运，

贝|J4=6,所以4+%=2%=12.

故选：B.

2.（2021•北京房山•）8,2的等差中项是（）

A.±5B.±4C.5D.4

【答案】C

【详解】

QI9

8,2的等差中项为姿=5.

故选：C

3.（2021•全国）等差数列1+X,2+2x,l+5x,...的第四项等于（）

A.10B.6C.8D.12

【答案】C

【详解】

解：由题意可得,(l+x)+(5x+l)=2(2x+2)

解得x=l

丁•这个数列为2,4,6,8,...

故选C.

4.(2021•江西省铜鼓中学(文))已知｛4｝是等差数列，且%+1是为和％的等差中项，则｛《,｝的公差为

()

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】B

【详解】

设等差数列｛%｝的公差为d.

由已知条件，得q+/=2(/+1),

即a,+(a,+34)=2(a,+d+1),解得d=2.

故选B.

题型三：等差数列性质

1.(2021•四川省资中县第二中学(理))在等差数列｛4｝中，4=2,/+。5=10,则%=()

A.14B.12C.10D.8

【答案】D

【详解】

由等差数列的性质有4+%=%+%=10,则%=8.

故选：D

2.(2021•西臧昌都市第一高级中学高二月考)在等差数列｛4｝中，若g+4=10，4=9,则4。=()

A.20B.24C.27D.29

【答案】D

【详解】

解：出+4=2。4=1°，所以4=5,又为=9,所以d=%-4=4,

所以a”)=%+5d=9+20=29,

故选：D

3.(2021・全国高二课时练习)设｛。,,｝是等差数歹1」，且4+%+%=1，生+。3+4=2,贝1］氏+%+4=()

A.5B.6C.16D.32

【答案】B

【详解】

设等差数列｛%｝的公差为d,

因为％+。2+%=1吗+。3+。4=2,

解得d=；，

可得3d=(a2+%+4)一(％+/+%)=1，

乂由4+%+%=（4+卬+%）+15d=l+15x—=6.

故选：B.

4.（2021•贵州大学附属中学高一月考）等差数列｛%｝的前加（MWM）项和为30,前2,”项和为100,则前

3机项和为（）

A.130B.170C.210D.260

【答案】C

【详解】

•••｛%｝为等差数列，

sm,s2m-s,„,s3m-s2,„成等差数列，

即30,70,-100成等差数列，

30+53m-100=70x2,

解得%=210.

故选：C.

5.（2021•宁德市第九中学高二月考）已知等差数列｛氏｝满足%=7吗=3,S,,是数列｛q｝的前“项和,

则使S“取最大值的自然数〃是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【详解】

设等差数列｛4｝的公差为4依题意，［：：箕3'解得：巧=9,1=一2,

于是得。“=9+（"-1>（-2）=-2〃+11,由&>0得，n<5,

因此，数列｛%｝是递减等差数列，其前5项均为正，从第6项开始为负，则其前5项和最大，

所以使5“取最大值的自然数〃是5.

故选：B

6.（2021新蔡县第一高级中学高二月考（文））已知等差数列｛4｝,也｝的前〃项和分别为S“，7”若广=了万,

则f=（）

a

,31、34八35r37

A.—B.—C.—D.—

17171616

【答案】A

【详解】

+fl|5

as_2asat+al5）Sl52x15+1_31

五=五=4+九=伍十九）=刀=15+2=行，

故选：A.

7.（2021•江西九江一中高一期末）已知两个等差数到｛为｝和扬〃｝的前〃项和分别为S〃和1，且/=今宁,

唬二（

)

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【详解】

伏翱在出;2as=q+%_5«4+%)_S9_63_3=

依''42bs3|@+妇④9+1-

故选：D

8.（2021•江西省莲花中学高一月考）S,是等差数列｛%｝的前〃项和，且S100Vs98,5m>5.则S,<0时,

〃的最大值为（）

A.197B.198C.199D.200

【答案】B

【详解】

解：因为S|00<S98，SlOO>$99，即S|00—$98="IOO+”99<。，$100〜$99=4（）0>。，所以49<。，所以数列的公差

d=4。。-颊>0,所以几g=叫f产）=i99a1M>0,5198=像"〃）=198呼%）<。，故篦<o时，

〃的最大值为198；

故选：B

9.（2021•青铜峡市高级中学高一期中）若等差数列｛%｝满足%+4+%>。，%+%<。，当则当｛%｝前〃

项和取得最大值时n的值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【详解】

由题意，等差数列｛4｝满足为+%+为>0，a5+a^<0,

根据等差数列的性质，可得《+&+%=3必>0,即4>0,

又由4+4=6+%<0，可得&>°，”7<。，

所以当｛%｝前〃项和取得最大值时«的值是6.

故选:B.

10.（2021•安徽（文））在等差数列｛《,｝中，已知%>0,%+6<。，则使数列｛凡｝的前"项和"<0成

立时n的最小值为（）

A.6B.7C.9D.10

【答案】D

【详解】

。5>（）,%+4=%+&<°，「.4<0，。3+4=4+。10<°，2。5=4+〃9>0,

S,>0,耳。<0,使数列｛4｝的前n项和S„<0成立时n的最小值为10,

故选：D.

11.（2021•赛罕•内蒙古师大附中）等差数列｛为｝中，S16>0,S,8<0,则数列｛《,｝各项中取值为正数的

有（）

A.8项或9项B.7项或8项C.17项或18项D.16项或17项

【答案】A

【详解】

若Si7>0,则q+q7>0，得的>0,rfuS18<0,所以4+囚8<0，即a>+a“）<0,所以4（）<0；

若S17<0,得的<0,而S[6>0,所以4+〃16<0，即〃8+%>0，所以4>0；

若S[7=0,则4+。]7=°，得的=。.

所以数列｛%｝各项中取值为正数的有8项或9项，

故选：A.

题型四：等差数列前〃项和

1.（2021•全国高二课时练习）在等差数列｛/｝中，若Eo=12O,则4+4。的值是（）

A.12B.24

C.36D.48

【答案】B

【详解】

由$。=1°（4：4。）,

2

砥5120”

得用+句0—10=—^―=24,

故选：B

2.（2021•全国高二课时练习）已知公差不为0的等差数列｛4｝满足婷=%•%，S〃为数列｛〃“｝的前〃项和，

则合含的值为（）

35->3

A.-2B.-3C.2D.3

【答案】B

【详解】

设公差d不为0的等差数列｛4｝满足痴=4•%,

贝ij（4+2"）2=弓（a,+3d）,整理可得4=-4dh0.

广：Si-S；_4+%_2al+11"__3

S5—S3/+。52。1+7d—d

故选：B.

3.（2021•全国高二专题练习）已知｛可｝为等差数列且q=1,%+%=24,S,,为其前八项的和，贝”附=

（）

A.176B.182C.188D.192

【答案】I)

【详解】

・・•4=1,<+〃13=24,

,,22

*a•4+3cl+q+12d=2+15d=24=r>d-

01I,16x1522sc

S=1X16H---------=192,

1I6215

故选：D.

4.（2021•全国高二课时练习）已知等差数列｛4｝满足：%=7,%+%=26,%的前〃项和为求

4及S„；

【答案】⑴&=2〃+1,£=〃(〃+2)；(2)岛.

【详解】

（1）设等差数列｛a｝的首项为&,公差为M

由于4=7,a+国=26,，国+2d=7,2句+104=26,

解得国=3,42.

.•.a“=2〃+l,S„—n(n+2').

5.(2021•广西南宁•高一月考)记5.为等差数列｛凡｝的前〃项和，已知q=-7,S3=-15.

求公差d及｛%｝的通项公式；

【答案】(1)d=2,4=2〃-9；

【详解】

(1)设｛《,｝的公差为d，由题意得3q+3d=-15.

由6=-7得d=2.

所以｛q｝的通项公式为4=2〃-9.

6.(2021•全国高二课时练习)已知等差数列㈤｝中，4=1,-1.

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(2)求数列｛q｝的前"项和S”.

【答案】(1)a„=n.(2)5^10.

2

【详解】

(1)因为等差数列｛《,卜t1,首项为4=1,公差为d=4-%=l，

所以其通项公式为q,=l+(〃-l)=w；

(2)由(1)可得，数列｛q｝的前,项和S"=〃("；/).

7.(2021•全国高二单元测试)已知｛4｝是等差数列，其中％=31,公差4=-8,

(1)求｛4｝的通项公式.

(2)求数列｛4｝前〃项和.

【答案】(1)a“=39-8〃；(2)S„=35n-4n2.

【详解】

(1)•.•｛4｝是等差数列，且q=31,d=—8,

;.a“=31+(n-l)x(-8)=39-8n；

(2)s"(4+a”)/(31+39-8〃)=35〃_4*

”22

题型五：等差数列前〃项和s“最大(小)问题

1.(2021•全国高二课时练习)设等差数列伍.｝的前«项和为S“，若=3,S”一$8=3,则使4>0

的最小正整数〃的值是()

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【详解】

设等差数列｛&｝的公差为，由S「W=3,得a“+aio+a9=3,即3&o=3,解得左产1,

于是得ai+9户1,而国厂a=3於3,即0tL则有&=-8,

从而得等差数列｛a.｝的通项公式为：&=-9+〃，

由-9+力0得力9,而〃是正整数，则％=10,

所以使a„>0的最小正整数n的值是10.

故选：C

2.（2021•贵州贵阳一中高三月考（文））已知等差数列｛。“｝的前”项和为5"，且有生=-8,«6=1,则5.

的最小值为（）

A.-40B.-39C.-38D.-14

【答案】A

【详解】

因为%=-8,4=1，所以d=3,q=-14,所以a“=3〃-17,

由4=3〃—1740得〃4弓，所以前5项和最小，

S5=54+10〃=-70+30=-40.

故选：A

3.（2021•双峰县第一中学高三开学考试）已知等差数列｛4｝的通项公式为4=9-2”，则其前〃项和5“的

最大值为（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

【详解】

当时，可得S」最大，54X（7+1）=6

2

故选：B

4.（2021•河南高二月考（文））在等差数列㈤｝中，%=-7,4+47+“8=3.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）求｛%｝的前“项和S”及S”的最小值.

【答案】（1）2=2〃-13；（2）S„=n2-nn,-36.

【详解】

（1）设｛%｝的公差为d，

%=q+2d=-7,

根据题意得《

4+%+/=3q+18d=3?

a=-\\

d=2

所以4=-ll+2(〃-l)=2〃-13.

(2)根据等差数列的前〃项和公式得S“=-ll+如二DX2=〃2_12〃

2

则当〃=6时，S,取得最小值-36.

5.(2021•全国)设等差数列｛《,｝满足。3=5,«io=-9.

(1)求｛q,｝的通项公式；

(2)求｛%｝的前〃项和5“及使得S,,最大的自然数〃的值.

【答案】(1)a„=l1-2/7,(2)S=-(n-5).25,炉5.

【详解】

解(1)由a〃=ai+(nr1)d及3)—5,ai<)=-9,

Jq+2d=5

何14+9d=-9

q=9

d=-2

所以数列｛a｝的通项公式为为=11-2〃，汜£

(2)由(1)矢口，S=〃ai+"("-1oM0/7~〃2.

2

因为s,=-(77-5)2+25,

所以当厅5时，S取得最大值.

6.(2021•皮山县高级中学高一期中)已知等差数列｛%｝中，4+4=。，求

(1)求｛4｝的通项公式;

(2)｛4｝的前"项和5,.

【答案】(1)=10-2〃或4=2〃-10；(2)S“="(〃-9)或S“=-"("-9).

【详解】

解：⑴设｛4｝的公差为d,

因为。3%=-16,q+4=0=仁+/，

解得〃3=4,%=-4或〃3=-4,%=4.

所以I=4成J4+2U

%+6d=-4'或3+6〃=4

所以g=8_2(〃_1)=10—2〃，或a“=-8+2(l)=2K).

(2)由⑴可得：夕8或夕;8,

[a=-2[a=2

所以S,,=-8〃+若』x2="(〃-9),或S“=8"+g』x(-2)=-"("-9).

题型六：已知S“和4〃关系

1.(2021•广西平果二中高一期中)已知5“是等差数列｛%｝的前〃项和，且S“=-2”2+15〃.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)〃为何值时，S“取得最大值并求其最大值.

【答案】(1)4=17-4〃；(2)n=4时取得最大值28.

【详解】

(1)由题意可知：S„=-2n2+15n,当〃=1时，a,=S,=-2+15=13,

22

当〃22时，an=Sn-S„_,=-2«+15〃一[-2(〃-I)+15(n-l)J=17-4/2,

当〃=1时，显然成立，，数列｛”“｝的通项公式““=17-4”；

15225

(2)S„=-2M2+15«=-2(H——)2+—,

48

由“eN*，则〃=4时，S.取得最大值28,

.•.当"为4时,S,取得最大值,最大值28.

2.(2021•全国高二专题练习)设数列｛”“｝的前〃项和为5“，已知《=4,5„=-w2+-n,〃eN*.求数列

｛a,,｝的通项公式；

【答案】(1)。“=3〃+1；

【详解】

(1)当“22时，a“=S“-5,i=]2+|〃-|(〃-l)2-|(〃—l)=3"+l,

当〃=1时，4=3x1+1=