2022届创新设计二轮专题配套过关检测概率与统计推理与证明算法复数

过关检测(六)概率与统计、推理与证明、算法、复数(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·湖南)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()．A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1D．a解析∵(a＋i)i＝ai－1＝b＋i，∴a＝1，b＝－1.答案D2．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为eq\f(1,5)、eq\f(1,3)、eq\f(1,4)，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被译出的概率为()．\f(3,5)\f(2,5)\f(1,60)D．不确定解析P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(3,5).答案A3．某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是()．A．高一的中位数大，高二的平均数大B．高一的平均数大，高二的中位数大C．高一的中位数、平均数都大D．高二的中位数、平均数都大解析高一的中位数为：93，平均数为：91；高二的中位数为：89，平均数为：.答案A4．(2022·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．A．80B．40C解析(1＋2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)r＝2rCeq\o\al(r,5)·xr，令r＝2，得22×Ceq\o\al(2,5)＝4×10＝40.答案B5．(2022·辽宁)执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()．A．8B．5C．3解析由k＝1，n＝4知1<4⇒p＝0＋1＝1⇒s＝1，t＝1⇒k＝2⇒2<4⇒p＝1＋1＝2⇒s＝1，t＝2⇒k＝3⇒3<4⇒p＝1＋2＝3⇒s＝2，t＝3⇒k＝4⇒4<4eq\o(→,\s\up7(否))输出p＝3.答案C6．(2022·陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是()．A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))解析x和y的相关系数表示x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，A错；x和y的相关系数在－1到1之间，B错；当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数不一定相同，C错；直线l过样本点中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，D正确，故选D.答案D7．某班星期一要上八节课，科目为语文、数学、英语、物理、化学、历史、政治、体育，但是该班的体育教师不能上第一节课，则不同的上课方案种数为()．A．Ceq\o\al(1,7)Aeq\o\al(7,7)B．Aeq\o\al(7,7)C．Ceq\o\al(7,7)D．Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(7,7)解析在语文、数学、英语、物理、化学、历史、政治七科中选一科安排在第一节课，余下的连同体育作全排列，故有Ceq\o\al(1,7)Aeq\o\al(7,7)种．答案A8．(2022·厦门模拟)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()．\f(3,18)\f(4,18)\f(5,18)\f(6,18)解析正方形中共有6条直线，甲、乙各自取一条有36个基本事件，有5对直线10个基本事件满足要求．故概率为eq\f(5,18).答案C9．观察下列算式，猜测由此表提供的一般法则，用适当的数学式子表示它．则这个式子为()．1＝1，3＋5＝8，7＋9＋11＝27，13＋15＋17＋19＝64，21＋23＋25＋27＋29＝125，……A．(n2－n＋1)＋[(n2－n＋1)＋2]＋[(n2－n＋1)＋4]＋…＋[(n2－n＋1)＋2n]＝n3B．(n2－n＋1)＋[(n2－n＋1)＋1]＋[(n2－n＋1)＋2]＋…＋[(n2－n＋1)＋n]＝n3C．(n2－n)＋[(n2－n)＋2]＋[(n2－n)＋4]＋…＋[(n2－n)＋2n]＝n3D．(n2－n＋1)＋[(n2－n＋1)＋2]＋[(n2－n＋1)＋4]＋…＋[(n2－n＋1)＋2(n－1)]＝n3解析观察各式特征，右式依次为13,23,33,43,53，…，左式依次为连续奇数的和，所以猜想：式子的右式为n3，而左式为从n2－n＋1到n2＋n－1这n个连续奇数的和，从而得到结论．再以n＝2检验其成立．答案D10．新学期开始，某校新招聘了6名教师，要把他们安排到3个宿舍去，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数共有()．A．6B．9C．12解析分三种情况：一、甲到一号宿舍，然后安排乙，若乙到一号宿舍，则丙只能到二号宿舍，余下的三人中有一人到二号宿舍，有Ceq\o\al(1,3)种分法，另两人去三号宿舍，这类分法共有Ceq\o\al(1,3)种；二、甲到一号宿舍，丙到一号宿舍，乙到二号宿舍的分法与第一种情况一样，也有Ceq\o\al(1,3)种分法；三、甲到一号宿舍，乙、丙两人均被分到二号宿舍，则余下的三个人中有一人去一号宿舍，分法仍为Ceq\o\al(1,3)种，综上，总的分法种数为Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)＝9.答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．(2022·江苏)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数为Ceq\o\al(2,4)＝6(种)，其中一个数是另一个数的两倍的数对为1,2和2,4，故符合条件的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)12．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为，则X在(2，＋∞)上取值的概率为________．解析P(X>2)＝eq\f(1,2)[1－2P(0<X<1)]＝eq\f(1,2)(1－＝.答案13．(2022·山东)执行如图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y值是________．解析输入l＝2，m＝3，n＝5，则y＝278，再赋y＝173，最后赋y＝68并输出．答案6814．(2022·聊城模拟)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为eq\f(a2,4).类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析在已知的平面图形中，中心O到两边的距离相等(如右图)，即OM＝ON.四边形OPAR是圆内接四边形，所以Rt△OPN≌Rt△ORM，因此S四边形OPAR＝S正方形OMAN＝eq\f(1,4)a2.同样地，类比到空间，如图．两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为eq\f(1,8)a3.答案eq\f(1,8)a3三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是eq\f(1,2).同样也假定D受A、B和C感染的概率都是eq\f(1,3).在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．解随机变量X的分布列是X123Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)X的均值EX＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(11,6).16．山东省第23届运动会将于2022年在济宁隆重召开，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，调查发现，这30名志愿者的身高如下：(单位：cm)若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，则至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．解(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)，所以选中的“高个子”有12×eq\f(1,6)＝2人，“非高个子”有18×eq\f(1,6)＝3人．用A表示事件“至少有一名‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).因此，至少有一人是“高个子”的概率是eq\f(7,10).(2)依题意，X的取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,12))＝eq\f(14,55)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,8),C\o\al(8,12))＝eq\f(28,55)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,8),C\o\al(3,12))＝eq\f(12,55)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,55).因此，X的分布列如下：X0123Peq\f(14,55)eq\f(28,55)eq\f(12,55)eq\f(1,55)∴E(X)＝0×eq\f(14,55)＋1×eq\f(28,55)＋2×eq\f(12,55)＋3×eq\f(1,55)＝1.17．(2022·辽宁)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．(1)假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；(2)试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差，根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x1，x2，…，xn的样本方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)为样本平均数．解(1)X可能的取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝eq\f(1,C\o\al(4,8))＝eq\f(1,70)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(8,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(18,35)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(8,35)，P(X＝4)＝eq\f(1,C\o\al(4,8))＝eq\f(1,70).即X的分布列为X01234Peq\f(1,70)eq\f(8,35)eq\f(18,35)eq\f(8,35)eq\f(1,70)X的数学期望为E(X)＝0×eq\f(1,70)＋1×eq\f(8,35)＋2×eq\f(18,35)＋3×eq\f(8,35)＋4×eq\f(1,70)＝2.(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56.由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．18．(2022·郑州模拟)日照市区有万平口世帆赛基地、国家森林公园、刘加湾赶海园、灯塔广场4个旅游景点，某位游客浏览这四个景点的概率分别是，，,，且是否游览哪个景点互不影响，设X表示该游客离开日照市区时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．(1)求X＝0对应的事件的概率；(2)求X的分布列及数学期望．解(1)分别记游客“游览万平口世帆赛基地”，“游览国家森林公园”，“游览刘加湾赶海园”，“游览灯塔广场”为事件A1，A2，A3，A4.由已知A1，A2，A3，A4相互独立，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.游客游览景点数的可能取值为0,1,2,3,4.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为4,3,2,1,0，所以X的可能取值为0,2,4.故P(X＝0)＝P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3A4)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(A)3A4)＋P(eq\x\to(A)1A2A3eq\x\to(A)4)＋P(A1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3A4)＋P(A1eq\x\to(A)2A3eq\x\to(A)4)＋P(A1A2eq\x\to(A)3eq\x\to(A)4)＝.(2)P(X＝4)＝P(A1A2A3A4)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3eq\x\to(A)4)＝，P(X＝0)＝，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝4)＝，所以X的分布列为X024P∴E(X)＝.19．(2022·安徽)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟．如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p1，p2，p3.假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．(1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？(2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3.其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列．求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)E(X)．(3)假定1>p1>p2>p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小．解(1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1－p1)(1－p2)(1－p3)，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于1－(1－p1)(1－p