复变答案习题

二1.求射wz下圆周的像.解：设

wv则yyyxxxxyxy

)为以uiv所以,

yi4x

v,u所以即表示椭圆

2.在射下，下列平上的图形映为平上的什图形，设或uππ（）r；;4(3)x=a,y=bb为)解：设wx)yi以

,v.(1)记

，则r

π

成平面内轴上从到的一段，即π(2)记

，则

π

π,0映了平面扇形，即.1/13(3)记则直线映成了uy

,即

(

是原点焦点张口向左的抛物线将b映成了ux,即b

(b

)是原点为焦点，张口向右抛物线如图所.求下列极限.(1)

;解：,则t于是);(2)

t

Re(z)x解设=+i，则z

Re(z)zx

11显当取不同的值时f)限不同所以限不存.（）i

z(1)

；：i

z(1

)

=i

zz(iz)(z)

i

1.z(i)2/13zzz（）.zz2)(z解：为z(zzzzz所以.zz.讨论下列函数的连续性：

zz

(1)

f()

y

0,解：为f()

()(0,0)

xyx

令=则()

x

y1因当取不同值时，()的取不同所以()在=0处极限不存在.从而)在=0处连，除外续(2)

f(z)

x

xyy

,

z0,

0,

z0.xy解：为,xyx所以()

xyxy

f(0)所以()在个平.下函数在何求导？并求其数(1)

f()

(n为正数；解：为为正数所以z在整个平面上可导.f

(

(2)

f(z

z(zz

解：为)为理函数，所以)在zz处导从而)除导3/13f

(2)z(z(

zz(z((3)

f(z.7解：f)除=处f5

3(57)z8)561(5zz(4)

f()

xyxyxyx

解：为()

xxyxy)(i)(1i).xyyxzz所以()除=0处且f

i)

试断下列数可导性解性(1)

f(z

x

;解：u(x)xy

,()在面上可微

,

xy,

xy,

以要得

，只当=0时从fz在=0处导，在全平面上不解(2)

f()

y

解：(x,y),(x,y)全平上可

x,

0,

只当=0时即(处有

所以)在=0处导在全平面上解(3)

f()y;解：(xy)

,,y)

在全面上可微.

,

0,

y

,

以只当y时，才满足程4/13：数2：数2从而)在3y处可导，在全面不解(4)f()z

解：设x，则)y))u(x,),vx)

x

i(y

y

,

xy

xy

y

所只有当才满足C-R方.从而)在=0处导处证明区域内满足下列条件之一的解析函数必为常(1)f;明：为，所以,.所以为数，是()为常数(2)f()析证明设()v在D内解则

,

而()为解函，以

所以

,即从而为常数，为常数，即()为数(3)fz)=常数证明fz为常=C

因为)解条件成。即=C从而()为数f)=常.5/13与，f(z)，得2所12u得条件与，f(z)，得2所12u得条件证：似C得因为C-R方程=C所以)为数5.f()|=常数明：为fz)|=，对进论若=0，则vfz)=0为数若，则()但(z)(z)

即2+v2C则两对,y分求有

vuv利用条件，由于()在D解析，有

u以以v即Cv=C,于是)为数.(6)argfz)=数.证明：f)=常，即

(/)于是1/u)

uu()

)

u(u(

)

)

u0u解得，即v为，是)为常数8.设3nxy+ix

lxy2在平上析，求的.解：为)解从足条

nxy

x

,

2lxy

6/13

nl以lm.列数在其数(1)f()=3+3xyi-32-yi证明u(3-3xyvy)=3y3

在全平可微且

x

,

,

xy

x

y

以()在平面上满足C-R方，处处f

x

ix

y

i)

(2)

f(z)

(xcosyy)

(ysiny)：()(y

,y)=e

(yysiny处且

(xcosysiny)(cos)(cosyy)(ycos(cos)

(cossiny)(sin)

(yy)

(cosy(yxy

(cosysiny)所以

所以)处处f

(xyyy)

(y))

yy(eysinyy

y)

e

y

(1)10.设

0.

0.求证f)在=0处．(2)f)在=0满足柯西—黎方程．(3)f不存在．证明∵limfzz

而lim

xx

y

7/13xx11xx11x∵x

x

∴0

xy≤

32

xy∴

lim

xyxy

理lim

xx

∴

lim

f

f

x

∴(z在=0处连续．考极

f()f

当z沿轴趋向于零时，=iy，lim

iy

．i当沿轴趋向于零时，x有lim

f

们分为

,

∴

,

∴足C-R条．当沿x趋于零时，lim

f

i∴lim

不在．即f(z在=0处导域D位于上半平面，D是D关x轴的称区域，f(z)在区域D内析，证

fz域D内解．证明设()=u(x(xy，为f()在域D内解析所u(xy),v(xy在内且足方，即

,

．f

x

xy

x,y

得8/1311xyxyln3i11xyxyln3i故x(x,)在D内微且足C-R条件

从而内析计算下列各值∙ei=e2∙(cos1+isin1)

πi

π

i2eRee

i

Re

ycosisin

y

e

i

i

e

设沿过原点放射线趋于∞点，试讨论()=的极限．解令ri，对于，→，r．故limri

r

i

r

i

r

．r

r以f．z15.计算下各值．ln

=ln13iarg

3lnarctan2ln3ln23

π6

2

π

ii)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i9/13

π

i试讨论函数)=||+ln连续性与导．解：然(z在面上连续，lnz负实轴及点外处连．设z=y，g)|

x2y

x2

,

在复平面内可微．xy2

xx

yxy

故(z)=|复平面上处处不可导．从fxz|+ln在平面上处处不可．fz)复面原及实外处连．17.算列各．(1)

πii

iln2ik44

ππ

iisinln

2

π

2isin2

isin5

isin

(3)

πi

π10/1322i22i(4

π

πi

ππππii

πi

ππ

π4i2.计算列各值cos

iei2

22sin

eii2i2i

eisin12iee22

e

i

sinisini213

2i(4)

12i

sinycos

sin

sin

sin

sin

ii

ln1

arctan

i1iln2

1i5π解列程(1)z．

1iarctan24

11/1311ln232kπi2i11ln232kπi2i.cosisin2解：lni

12

πln3,

k3i：

即

ln2

π3

πi2

13

πiπilnπ解：lni即ln0

i

解：

πlnkiln2

i．若zx+i，求证(1)z+icosx∙eie：sinz2i2i2i

ycos.shy(2)cosz=cos∙ch-isin∙i1：2

i

1e2

12

cosisin

.isinx

2

yx.shyz2

=sin2x

y证明：sinz

i

icosysinz

x.sh

ysin

x

y

y

x

xsh