微积分计算方法

学号09毕业论文对概率积分解法的研究和讨论院（系）名称：书信学院专业名称：数学教育学生姓名：李建鹏指导教师：杜争光二O一五年摘要：文章给出了计算概率积分'Xexdx的几种简便的计算方法；对以—8后概率积分的研究和应用具有较好的帮助。关键词：格林公式；奥高公式；重积分；含参变量j8e—x2dx概率积分s是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经——8常用到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。方法一：二重积分法错误!未定义书签。方法二：三重积分法错误!未定义书签。方法三：线积分法错误!未定义书签。方法三借助线积分，格林公式及参变量积分等基本知识，简捷明了，富有新意错误!未定义书签。方法四:面积分法错误!未定义书签。S:z=e-（x2+y2）S:xoyS+S假定曲面i与2平面相交于无限远处，设闭曲面12围成闭体V。由奥高公式，闭体的体积错误！未定义书签。方法五:含参变量的无穷积分法错误!未定义书签。方法六：二重积分证明法错误!未定义书签。参考文献：错误!未定义书签。"］致谢:错误!未定义书签。I2R2同时又因：I1<I<12，故有limI2R2同时又因：I1<I<12，故有limI<limI<limIas1asas2，有lim(j--ae-t2dt)2=兀asa概率积分』"er2dx是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经常用到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。方法一：二重积分法现有连续函数f(x,y)=e-(x2+y2)在正方形区域D:(-a<x<a；-a<y<a)；圆域R1:(x2+y2<a2)；圆域：R2:(x2+y2<2a2)上的二重积分分别为Wz，即：I=ffe-(x2+y2)dxdy=fadxfae-(x2+y2)dy=(fae-x2dx)—a—a—aD=ffe-(x2+y2)dxdy=f2兀d0fare-r2dr=兀(1-e-a2)00Ri(用极坐标)=ffe-(x2+y2)dxdy=j软doj2ar.e-r2dr=k(1-e-2a2)方法二：三重积分法(用极坐标)首先我们把旋转体的体积概念推广到积分限无穷的情况。再设XOZ平面上的曲线z=e-x2绕Z轴旋转一周得到的曲面Z=e-(x2+y2)与平面XOY围成的体V。显然，一方面，该体的体积

TOC\o"1-5"\h\zV=fffdxdydz=f"dxfOTdyfe一("+"dz=(f“e-x2dx)-8-80一8V另一方面，根据旋转体的体积公式有：V=f1s(X)dz=kJ1x2dz=一兀J1lndz=一兀000，limf1lnzdz=兀lim(z-zlnz)li=kcc—0cc一0故有f8e-x2dx=V兀。方法三借用直观的几何意义获释，体现了数学方法的多样性。方法三：线积分法假定曲线£：y=e-x2与C2:x轴相交于无限远处，设由闭曲线C1+C2围成的闭区域，由格林公式有：区域G的面积2c1+c2xdy-ydx+fc1s=Jjdxdy=2Jxdy-ydx又面积s=f8e-x2dx所以有2c1+c2xdy-ydx+fc1xdy-ydx)=2ydx-8(J82x2e-x2dx+e-x2dx)2-8(c1:y=e-x2从(+8,0)到(-8,0))从而有：J_f8e-x2dx=f8x2e-x2dx=2f8x2e-x2dx=2f\fue-udu(换2-8-800-311\1,一一，1、:—兀x=u)=「(-)(参变量积分)=2r(2)=2炉(利用七)*)即有:[3]方法三借助线积分，格林公式及参变量积分等基本知识，简捷明了，富有新意方法四:面积分法S:z=e-（x2+y2）S:xoyS+S假定曲面1与2'平面相交于无限远处，设闭曲面12围成闭体V。由奥高公式，闭体的体积V=JJJdxdydz=3jjxdydz+ydxdz+zdxdyS1+SV=(j3e-x2dx)2TOC\o"1-5"\h\z由方法二知从而有：*7-3(j3e-x2dx)2=！jjxdydz+ydxdz+zdxdy+jjxdydz+ydxdz+zdxdy-33S1S21………_jjxdydz+ydxdz+zdxdyS12jj、：-Inz-x2dxdz+2jj<-Inz-y2dydz+jje-(x2+y2)dxdyD1D2D设曲面s1在xy,xz,2jj、：-Inz-x2dxdz+2jj<-Inz-y2dydz+jje-(x2+y2)dxdyD1D2Djj顼一Inz一x2dxdz=jjJ-lnz一y2dydzDD12jje-(x2+y2)dxdy=(j3e-x2dx)2-3故有j3e一x2dx)2=2jj/-Inz-x2dxdz-3D1=2j1dyj、-lnz\/-lnz一x2dx=40—"-lnzj1dz』BM一x2dx00，3T7；一i次：-.-lnz,xin\：一lnz一x2dx=(—寸一lnz一x2+arcsin一)I、-inz-2J-H!0故有(j8e-x2dx)2=4j«三Inz)dz=k-804即:j8e-x2dx=•』兀-8方法五:含参变量的无穷积分法J=广e-x2dx已知x2、e-x2=lim(1+—)-n、nn—8讲欲求的积分写成J=j+8e-x2dx=j+8llm(1+x2)-ndx

00n—8n(1+X-)-n[0,a]n在'上连续，当n增加时，函数(1+X!nX2lim(1+一)-n=e-x2单调减少，且n"8n是连续函数。1x2S(=[0a]0<(1+一)-nVj+8e-x2dxE[0，A」,有n1+x2,而。收敛。所以X2~nr°°(i+_)dxon关于n一致收敛，于是积分号与极限可以交换次序，即Y2

+°°lim(l+—)"17「r+oodx=limjns0/1,尤2\(1+——)nn、兀x=^Jnt,dx-^ndt有z//J=limyfni+8nsV0(1+2idyt=coty,dt=—再设局2八有.l匹.J=limJHj2sin2n-2ydy

ns0由牛顿-莱布尼茨公式和定积分还原公式，有J=lim而(2"-3)!!.二L(2〃-2)!!2已知沃利斯公式lim[(2n-2)!!〕21[(2〃-3)!!〕22n+1将此式分子、分母上下调换位置，再在等式两端开平方,(2n-3)!!咤rlimJ2n+1=…(2〃-2)!!7于是r「+89r[•(2/1—3)!!f—兀J=』e-^dx-limJn•—limo…(2〃-2)U2[.(2/1—3)!!.An兀=hm、/77TFT•■.-…(2〃-2)U伊TT2_x/T1n_JiF即J=\+^e-^dx=^L-。2L][00z?-x2z/v方法五是利用重积分的方法，结合图形对概率积分°匕进行了较为详细的证明。方法六：二重积分证明法IGGe-x2dx=正

oT证明：已知无穷积分°收敛，有I"e-x^dxlimi+CQe^dx0=a—>000TOC\o"1-5"\h\z.dt%了、1曾』^e-x2dx辞们晋出、+°°—甲头为了计算°，我们首先计算〃—/0(1+龙)〃。因为(JCQe-x^dx)2①ooo=He-(x^+y^)dxdy其中Z)=(0<x<a,0<y<a)是正方形区域。设■，？分别是以。和J赤为半径，圆心在原点位于第一象限那部分圆域，如图:因为寸(2),有。-5>0,有\\e-^+y^dxdy<\\e-^+y^dxdy<\\e-^+y^dxdyD\x=rcos(D,y=rsincp根据二重积分坐标变换：'。则71D=1(r,p)10<r<q,0<(p<_L71D=1(r,<p)10<r<J2a,0<<p<_I22于是\\e-^+y^dxdy=L(J71Kae-r2rdr)d(p=_(l-e-a2)04\\e-^+y^dxdy=%n_00l7C^2«e-r2rdr)d(p=_(l—e-2/)4兀,一(1一e-a2)<(jae-x2dx)2~4当aT+3时，则有lim(jae-x2dx)2as0即有概率积分h]s以上几种方法既给了我们计算概率积分的具体方法，同时也从另一角