2021年山东各地一模试题分类汇编-数列（含答案）

2021年山东各地一模试题分类汇编

专题四数列

一、单项选择

1.（济宁一模4）随着我国新冠疫情防控形势的逐渐好转，某企业开始复工复产.经统计,2020年7月份到12

月份的月产量（单位：吨）逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量

为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为

A.48吨B.54吨C.60吨D.66吨

w

2.（2021•淄博一模6）若等差数列｛斯｝的前n项和为S”则“S2020>0,S202i<0是“moioaion〈0”的

（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.（蒲泽一模8）在等比数列｛a,,｝中.a\+a2+a3+cu=ln（“I+G+G）.若ai>l,则（）

A.a\<azB.。2<。3C.。3<〃4D.a\<ci4

4.（泰安一模8）设5“为等比数列｛斯｝的前"项和，若a”〉。，a\=,Sn<2,则的公比的取值范围是

（）

0

A.（0,—]B.C.D.

5.（烟台一模8）某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线1上取长度为2的线段AB,并作

等边三角形ABC,第一次画线：以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；第

二次画线：以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延

长线于点E；以此类推，得到的螺线如右图所示，则

A.第二次画线的圆弧长度为如

3

B.前三次画线的圆弧总长度为4兀

C.在螺线与直线1恰有4个交点（不含A点）时停止画线，此时螺线的总长度为30TT

D.在螺线与直线1恰有6个交点（不含A点）时停止画线，此时螺线的总长度为607T

6.（青岛一模8）在抛物线光2=1y第一象限内一点（a,y）处的切线与X轴交点的横坐标记为a,其中

/-）nnn-\

〃€；7*,已知％=32,5”为｛凡｝的前〃项和，若mNS“恒成立，则机的最小值为（）

A.16B.32C.64D.128

7.（德州一模8）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航

天中应用广泛，若数列｛X”｝满足X“+I=X“-,则称数列｛x“｝为牛顿数列.如果函数/（X）=/-

x-2,数列为牛顿数列，设an=ln且“1=1,xn>2,数列｛小｝的前〃项和为S”则S2021=（）

A.2202,-1B.2202,-2

C.（/）2021-D.（）2021-2

二、多项选择

8.（2021•临沂一模10）已知数列｛a”｝的前”项和为％.（）

A.若Sa=〃2-],则｛斯｝是等差数列

B.若S”=2"-l,则｛斯｝是等比数列

C.若｛〃”｝是等差数列，则的9=99。50

D.若｛斯｝是等比数列，且“1>0,g>0,则S2”I・S2”+I>S2”2

9.（滨州一模10）己知S”是数列｛斯｝的前〃项和，且0=42=1,an=a„.x+2an-2（心3）,则下列结论正确

的是（）

A.数列为等比数列B.数列｛斯+1-2痴｝为等比数列

C.D.

10.（潍坊一模11）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所

示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，

第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数

歹！]｛““｝，则

第11题

A.a4=12B.a„+|=a„+n+lC.=5050D.2a„+1=a„-aw2

11.（济南一模11）1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图，取一个边长为1的正三角形，在每

个边上以中间的,为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的1擦掉，得到第2

33

个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形.这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为

科赫曲线。云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线''的

方式来研究，这门学科叫“分形几何学下列说法正确的是

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1

A.第4个图形的边长为

81

B.记第n个图形的边数为an,则an+i=4an

4

C.记第n个图形的周长为氏,则b,>=3.（严

3

D.记第n个图形的面积为S.,则对任意的ndN+,存在正实数M,使得Sn<M

三、填空

12.（济南一模14）设等差数列｛an｝的前n项和为S”,若S7=28,则a2+a3+a7的值为.

13.（日照一模14）为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020年中办、国办联合印发

了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的

考核要求为：1.33米得5分，每增力口0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后每增加0.1米，分值

增加5分，满分为120分，若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分则该女

生经过训练后跳远增加加了米.

14.（2021•淄博一模15）已知等比数列｛〃｝中，首项a=2,公比q>l,a；a是函数=1；-6『+32x

3

的两个极值点，则数列｛斯｝的前9项和是.

15.（聊城一模15）已知数列｛0｝满足m+42=2,m+2—=1+COSM,则数列｛〃”｝的前100项的和等于

四、解答

16.（滨州一模17）已知等差数列｛”“｝和等比数列｛5｝满足功=2,历=4,a„=2\ogibn,nGN*.

（1）求数列｛a”｝,｛d｝的通项公式；

（2）设数列｛斯｝中不在数列｛，"｝中的项按从小到大的顺序构成数列｛Cn｝,记数列｛Cn｝的前〃项和为S”

求Sioo.

4

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17.(潍坊一模18)已知数列｛a｝的前"项和为S,a=6,S=1a+1.

nn2〃2"+1

(1)证明：数列｛$-1｝为等比数列，并求出S.；

18.(德州一模18)已知数歹！］｛“"｝满足ai+2a2+3G+…+(n-1)2,,+l+2.

(1)求数列｛”“｝的通项公式；

(2)设数列｛｝的前〃项和为力”证明：T,,<.

19.(蒲泽一模18)已知等比数列｛为｝的前〃项和为S”且斯+i=2S”+2,数列｛仇｝满足加=2,(n+2)b“=

nbn+i,其中nGN*.

(1)分别求数列｛”“｝和｛d｝的通项公式：

(2)在加与的+1之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为Cn的等差数列，求数列｛历,Cn｝的前〃

项和T,,.

20.(2021•淄博一模18)将)(nGN*)个正数排成n行n歹!

311312Bi3BnHln

3213223233.24a2n

S31332日33334.........................a3n

Hnl&i2Sn3Sn3....................Hnn

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其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且各列的公比都相等,

升3

右1，“33=1，。32+。33+。34=2

（D求卬“；

(2)设S”=见］+%2+。33++凡”,求S,。

21.（聊城一模18）在数列0｝中，a=l,a_a„（c〉0）,且a,a,a成等比数列.

nIn+l-.I25

c4+l

⑴证明数列LL】是等差数列，并求｛aa｝的通项公式；

巴J

⑵设数列｛2｝满足久=（4n2，其前〃项和为S,证明：S,,<n+1.

+1）«,A,+In

22.（烟台一模17）在①a3+as=14,②S&=28,③as是as与a13的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下

面问题中，并给出解答.

问题：已知｛a0｝为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，｛b“｝为等比数列，其前n项和丁后2叶入，入为

常数，ai=bi，.

（1）求数列｛a/,｛、｝的通项公式；

（2）令Cn=[lgan],其中[X]表示不超过X的最大整数,求C1+C2+C3+...+C100的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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23.(泰安一模17)在①“8=2如+1,②4是⑶，b的等比中项，③S5=4GS这三个条件中任选一个，补充

在下面问题中，并作答.

问题：已知各项均为正数的等差数列｛而｝的前八项和为S“S3=O6-G,且_______.

(1)求斯；

(2)设数列(｝的前“项和为T”试比较£与的大小，并说明理由.

24.(青岛一模17)从“①S=〃(〃+")；②S=a,a=aa③a=2,a是a,a的等比中项”，三个条件任

n2234121428

选一个，补充到下面的横线处，并解答。

己知等差数列｛a｝的前n项和为S,公差d不等于0,,

nn

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若瓦=S2n+1-S2n,数列也｝的前n项和为也，求也。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分。

25.(济宁一模18)在①S,=2a,-3；②S“=3・2”-3,③的，=&小+2,0=3,a4=24.这三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，并解决该问题.已知数列｛⑧｝满足(〃€N*),若为=a“・log2,求

数列｛a｝的前"项和Tn.

7

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26.(2021•临沂一模18)在①右=四"②aa=2S,③。2+a=2s这三个条件中任选一个，补充在

nn

下面的问题中，并解答该问题

已知正项数列｛斯｝的前n项和为Sn,ai=l,满足.

(1)求斯；

(2)若瓦=(an+1)2颂•，求数列｛%｝的前n项和7\

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

27.(日照一模18)在①已知数列｛4｝满足：an+1-2a„=0,%=8②等比数列｛4｝中，公比q=2,前5项

和为62,这两个条件中任选一个，并解答下列问题，(若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分).

⑴求数列｛&｝的通项公式；

⑵设b=数列2｝的前n项和为T,若2T>m-2022对鹿wN*恒成立，求正整数m的最大值.

28.(济南一模22)已知正项数列{〃n},0=l,an+i=ln(67n+l),neN+.

证明：(l)<7n+l<6Zn；(2)an-2an+i<an-an+i;(3)2“

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答案解析

一、单项选择

1.【答案】c

【解析】设7月份产量为小，8月份产量为出.....则12月份产量为小，由题%=10,4=20,

火+/+%+%=2(%+6)=60故选C

2.【答案】B

【解析】因为S2020>0,S2021<0,等差数列｛斯｝的前〃项和为S”,

c£fll±fl2020)x20201al+a?o2i.)x2021

见以>0,cVO,

22

即m+〃2O2O=moio+moii>O,^1+^2021=2^ion<O,

所以aioio>O,moii<0,且〃ioio>|aiou|，

所以aioioaiouVO,

当aioi(K“ouVO时，得〃ioio>O，c“oii〈O，或soioVO,«ion>O；

故“S2020>0,S2021V0”可以推出"moioaioiiVO”,

但“moioaionVO"不能推出"S2020X),S2021V0”，

所以“S2020>0,S2021V0"是"moiomoiiVO”的充分不必要条

件.故选：B.

3.【答案】B

【解析】当9>0时，。1+〃2+。3+。4>。1+。2+〃3>/〃(。1+。2+。3),不符合题意；

当qV-1时，〃1+。2+〃3+〃4<0,〃1+〃2+〃3>〃1,所以In(m+〃2+〃3)>lna[>0,不符合题意;

故-IVqVO,所以〃2<〃3.

故选：B.

4.【答案】A

【解析】设等比数列他〃｝的公比为q，则q#l.

，SV2,

>0,<2,

Al>^>0.

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.,.lW4-4g,解得

综上可得：｛。“｝的公比的取值范围是：

故选:A.

5.【答案】D

22

【解析】第二次画线时，半径为CB+BD=4,圆心角为，，圆弧长度为4X2£=8”；

333

第三次画线时，以A为圆心，AE为半径，AE=6,圆心角为22•.圆弧长度为6x勿=4兀

33

所以前三次画线的圆弧总长度为871,

螺线与直线/恰有四个交点时，一共画了6段圆弧，这6段圆弧组成了一个首项是钮，公差d=”的等差数

33

列，所以S6=生"=2m，当恰有6个交点时:一共画了9段圆弧，S9=空皂=60n，故选D

22

6.【答案】D-

【解析】由N=：y,得y'=4x所以施物枷点(即，w)处得切线为y-yn=4an(x-an),即y=4an-x-2肃，

则其与x轴交点横坐标为a1,因此｛a｝是以1为公比得等比数列，由a=32,得a超=64口-(加=

-n+1=ann221nl-1

22

128-128(^<128,所以m2128,故选D。

7.【答案】A

【解析】V/(x)—X1-x-2,

・"(x)=2x7,

又・Xn+\=Xn~Xn~，

••Xn+1+1-+1——f

功+攵-2三2-2-=r

xn+l+1

:.==()2,

•Cln=In且41=1,Xn>2,

10

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••cin+i=InIn()~=2I〃=2。”

数列｛飙｝是首项为1,公比为2的等比数列，

.*•52021==22021-1,

故选：A.

二、多项选择

8.【答案】BC

【解析】若S"=〃2-1,则有田=51=0,ai=Si-Si-21-I2—3,。3=$3-$2=3?-2?=5,2a2#0+。3,

此时数列｛斯｝不是等差数列，...选项A错误；

nZ,1H1n

若Sn=2-1,则当”=1时，有m=S1=1,当心2时，有an=Sn-Sn-i=2-2"-=2-,故an=2'

=2,此时数列｛a“｝是等比数列，.•.选项B正确;

即

又由等差数列的性质可得：S99=99(即产)=99纺0,故选项C正确；

丁当〃1>0,夕=1时，有斯=〃1，S2〃-iS2〃+i=(2n-1)(2n+l)a?=(4n2-1)a\2,Sz/=C2na\)2=

4Mm2,

此时S2〃-1S2〃+1〈S2〃2,故选项D错误,

故选：BC.

9.【答案】ABD

【解析】an=an-\+2an-2tan+an-1=2an-1+2an-2=2(a〃-i+a〃-2)523),

因为m=。2=1,所以〃3=〃I+2S=3,

。3+。2=4=2(42+0),

所以数列｛雨+41｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以如+a〃+i=2・2〃r=2〃，故选项A正确；cin=an-

1+2。-2,an-2an-]=2an-2-an-\=-(an-1-2an-2),

az-2。2=3-2=1fai-2a\=1-2=-1,

所以｛斯+i-2m｝是首项为-1,公比为-1的等比数列，

rt-,

〃“+1-2an=-1•(-1)=(-1)",故选项B正确；

11

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,所以斯=,故选项C错误;

S20=G+。2+…

+•••+

X[I

(22°-1)=(410-1),故选项D正

确.故选:ABD.

10.【答案】BC

fl(fl+1)

【解析】由题意知“=1+2+3++n=，，所以a=10,A错误；a_(〃+1)(〃+2)_a=„+b

n24n+l-2'人""+1"

故B正确；a==5050,C正确；a=3,a=6,a=10>即2a=a-a,D错误.综上

1002234324

选BC.

11.【答案】BCD

【解析】易知，各个图形的边长成等比数列，且q=1，因此可设边长为1f则.1,A

3Cn=0)心=(3)=/

错误；易知，各个图形的边数也成等比数列且q=4,所以an=3-4nr,B正确；周长为以=而以=

4九一1

3X(?,C正确；由极限思想易知，当n-8时，图形无限接近于圆，故S..<S好M,D正确；故选

BCD»

三、填空

12.【答案】12

【解析】因为S7=3产)=7a4=28,所以ai+3d=4,

a2+a3+a7=(ai+d)+(ai+2d)+(ai+6d)=3(ai+3d)=3X4=12.

13.【答案】0.42

【解析】设等差数列{&“}:q=5,4=5,则4,=5机由题知。“=70,.”=14,

此时，该女生的跳远为1.33+(14-1)x003=1.72米.

12

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设等差数列｛〃,｝:仇=90,1=5”则4=5加+85.由题爆=105,则m=4.

此时，该女生的跳远为L84+(4—l)x0.1=2.14米，

所以，该女生在训练过程中跳远增加了2.14—1.72=0.42米.

14.【答案】1022

1

【解答】函数/(X)=X3-6?+32r,则/(x)=?-12r+32,

3

因为,，4是函数/(X)=1/-6/+3公的两个极值点，

3

所以"2，"3是方程/-12%+32=0的两个根，

则产+。3=12,解得严=4或严=8,

Q2a3=32国=8。3=4

又等比数列｛而｝中，公比q>l,

所以产=4,所以行出=2,

a3=8

又首项41=2,

2(1-29)

所以§9=1=1022.

1-9Z

故答案为：1022.

15.【答案】2550

四、解答

16.【解析】(1)设等差数列｛为,｝的公差为比等比数列仍“｝的公比为q,

由0=2,岳=4,a“=21og2力”可得加=2,672=4,

则d=2,q=2,%=2",从=2","6N*；

(2)由题意可得｛Cn｝的前几项为6,10,12,14,18,20,22,24,26,28,30,…,

即在2"与2"+】之间有2"-'-1项，可得｛c“的第100项在27与28之间，

所以Sioo=(2+4+6+8+10+-+2X107)-(2+4+8+-+128)=X107X(2+214)+

=11810.

17.【解析】(1)由己知，

整理得，

所以

13

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..S.=+1=4LL…

令”=I,得2,所以

所以是以3为首项，3为公比的等比数列,

所以，

所以；

(2)由(1)知，，

当时，

当时，，

所以，

所以

所以

18.【解析】(1)由4|+2。2+3的+…+(n-1)2""+2可得:勾+2a2+3的+…+(n-1)an-i=(n-2)2"+2

(心2),

两式相减得：na,尸(n-1)2n+,-(n-2)2"=〃X2",即%=2","22,

又当〃=1时，有0=2也适合上式，

n

：.an=2；

(2)证明：由(1)可得：==(-),

7.Tn=(1-+-+~+-•+~+)=(1+-)<(1+-^-)

=3_

19.【解析】(1)•.Z"+i=2S"+2,

••Cln+22S”+1+2,

两式相减整理得：m+2=3。用,

14

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.•.等比数列｛。,｝的公比g==3,

又当刀=1时,有1=251+2,即3aI=2G+2,解得：ai=2,

，a“=2X3"r,

•bi2y("+2)bn~-nhn+\»

•L+ln+2

**bn-n'

%

：.h=--------XXX…XXXb\=XXX-XXX2=n(n+1),n

nbn-l

22,

又当n=1时，，h\=2也适合上式，

:.bn=ti(n+1)；

(2)由(1)可得：Cn===,

.,.6“Cn=4"X3"-i,

l2nl

：.Tn=4(lX30+2X3+3X3+—+nX3),

又3/=4(1X3'+2X32+—+MX3"),

两式相减得：-2刀,=4(l+3+32+-+3,rl-nX3rt)=4(-nX3"),

整理得：T„=(2〃-1)・3"+l.

20.【解析】(1)设第一行数的公差为d,各列的公比为q,

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21.证明：（1）由Q=，付二+C,即一=c,

计।ca+1aaaa

n〃+1nzi+1n

fll

所以数列是等差数列，其公差为C,首项为1,…....................2分

因此，1二

,…..........................3分

an1+（/1-lie

(1Y1

由成等比数列，得即=lx,

125215(c+lj4c+1

解得c=2或c=0（舍去），故=1.•

,•.................................6分

2/1-1

4层+1211

15

⑵因为4=病―11+Z、/X—1+...........................8分

(2〃-1)(2〃+1)2n-12〃+1

L11I+--+11

所以S=b+b+…+。〃="+|1-+

“123552»-1~2»+1

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=n+l--?—，….............................................11分

I2〃+1

因为^-->0,所以S+1.…...............................12分

22.

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23.【解析】(1)设等差数列｛〃”｝的公差为d(d>0),

由$3=46-a”可得3ai+3d=5",即3al=24,

选①制=2。4+1,即有ai+7d=2m+6d+l,即1=0+1,

3a1=2d

由，解得ai=2,d—3,

d=ai+l

则如=2+3(72-1)=3n-1；

选②4是ai,的等比中项，即有043=16,即m(m+2d)=16,

由,解得m=2,d=3,

则1=2+3(??-1)=3n-1；

选③S5=4m〃2,即有50+l(W=4ai(ai+J),

由，解得ai=2,d=3t

贝lja〃=2+3(H-1)=3〃-1；

(2)Sn=2n+n(H-1)*3=w2+小

Sn+〃=n(n+1)，

=•=(-),

Tn=(1-+-+…+-)=(1~)=

由-=<0,

可得Tn<

24.【解析】选①，

(1)，令

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2021年山东各地一模试题分类汇编

，Sa=〃~+〃①，当〃22时，S“_|=(〃T)-+〃-1②

当〃22时，，而

(2)

25•【解析】当选条件①时：

Sn=2an-3,

.*.Sn.i=2a„-i-3(心2),

两式相减得：an=2an-2a„.i,BPan=2a„.\,心2,

又当”=1时，有5i=2ai-3,解得：ai=3,

...数列｛斯｝是首项为3,公比为2的等比数列，

n1

：.an^3X2',

：./>„=«„•Iog2=3X2"rXlog22rt=3nX2nl,

21

：.Tn=3(1X20+2X2'+3X2+—+nX2"-),

又233(lX2'+2X22+-+«X2n),

两式相减得：-T”=3(l+2