2020初二年级奥数练习题

□□□□2020初二年级奥数练习题地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?不能1、9、15、31的平均数是14因为每操作一次改变一次奇偶性即：第奇次操作后每堆数量是偶数第偶次操作后每堆数量是奇数所以,需要奇数次操作又因为,它们除以3的余数分别是1,0,0,1,结果都是2而每一次操作后有奇数堆（3堆）改变余数结果所以,要有偶数堆改变余数结果需要偶数次操作在本题中,4堆都要改变,所以需偶数次操作矛盾,所以结果是不可能的下面是几何I四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,E、F分别是AB、CD的中点，连结EF交BD、AC于M、N,若AC=BD,求证：OM=ONaII四边形ABCD中，E、F、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点，M、N分别是PB、QC的中点，求证EF平分MN。口in四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是AD、BC的中点，BA延长线交FE延长线于点G,CD延长线交FE延长线于点H。求证：，NBGF二NCHF。口W在AABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC到M,N是BM的中点，H是EN的中点，连结DH交BM于F。求证：CF二FM口▽△ABC中，NB=2NC,AD，BC,E是BC中点，求证：AB=2DEW梯形ABCD中，AB平行DC,ND+NC=90。，E、F分别是AB、DC的中点，求证：EF=1/2(DC-AB)口皿已知AH是4ABC中NBAC的角平分线，在AB、AC上分别截取BD=CE,M是DE的中点，N是BC的中点，求证：MN平行AHIX已知，AABC中，AB=AC,BD，AC于D,CE，AB于E,CM，BC交BD延长线于M,MF，AB于F。求证：BE=EF以下主要用到平行四边形的基本性质和角平分线定理(若AD平分角BAC,交BC于D,则AB/AC=BD/BC。证明也是用中位线的。)I过D作AC的平行线，过C作AD的平行线，二者相交于G,延长EF交DG于H。则ACGD是平行四边形，从而对角线AG与CD互相平分，于是A、F、G三点共线且£尸是三角形ABG的中位线。这样，EF平行于BG,角DMH二角DBG,角DHM二角DGB。但是DG二AC二BD,所以三角形DBG是等腰三角形，于是角DBG二角DGB，得到角DMH二角DHM。又因为DG平行于AC,角DHM二角ONM,而角DMH与角OMN是对顶角，从而角ONM二角OMN,得到OM=ON。口II由中位线性质可知，EPFQ是平行四边形，从而EF平分PQ。设EF交PQ于。，则ON是三角形QPC的中位线，于是ON平行于CP且ON=1/2(CP)。另外，FM是三角形BPC的中位线，于是FM平行于CP且FM=1/2(CP)。这样，FMON是平行四边形，对角线互相平分，于是FO平分MN,也即EF平分MN。口III将三角形DEH旋转180度，使得D与A重合。设C、H、F分别变成I，J，K。则角IKE二角CFE,从而IK平行于BF。但是BF=FC=IK,于是BF与IK平行且相等，即：BFKI是平行四边形，于是BI平行于JG。于是角AIB二角AJG，角ABI二角AGJ。此时因为AI二CD二AB，角AIB二角ABI，于是角AJG二角AGJ。但是角AJG二角DHE，于是角DHE二角AGJ，也即角BGF二角CHF。口方法二：连结BD,找BD中点O,,连结EO、OF。通过中位线能够得出OE平行且等于1/2AB，OF平行且等于1/2CD，所以EO=OF，通过平行加上OE=OF，可一很简单的得出角角BGF二角CHFIV由EH=HN知NF=DE=1/2(BC)，于是CF=