【中考数学冲刺】2026届内蒙古中考模拟数学试卷3 附解析

/【备考2026】内蒙古中考模拟数学试卷3一．选择题（共8小题）1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若收入300元记作+300元，则支出400元应记作（）A．+400元 B．﹣400元 C．+300元 D．﹣300元2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．4．如图，△OAB与△DFE为位似图形，且顶点都在正方形格点上，若△OAB与△DFE的位似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（）A．（2，2）， B．（2，2），2 C．（0，0）， D．（0，0），25．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，甲、乙两名同学分别作了一种辅助线，其中辅助线作法能证明三角形的中位线定理的是（）甲乙如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CD，AF，CF．如图，过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．A．甲、乙的辅助线作法都可以 B．甲、乙的辅助线作法都不可以 C．甲的辅助线作法可以，乙的不可以 D．乙的辅助线作法可以，甲的不可以6．根据语句“直线a与直线b相交，点P在直线a上，直线b不经过点P．”画出的图形是（）A． B． C． D．7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx与y＝3x﹣k的图象大致是（）A． B． C． D．8．已知点C（n，y3），B（n+2，y4）都在反比例函数y的图象上，则下列结论一定正确的是（）A．y3＞y4 B．y3＜y4 C．当n＜0时，y3＜y4 D．当n＜﹣2时，y3＜y4二．填空题（共4小题）9．在单词book（书）中随机选择一个字母，则选中字母“o”的概率是．10．用代数式表示：a与b的3倍的和．11．如图，在一次数学实践活动课中，小阳所在的学习小组计划测量学校教学楼上校训牌的高度AB，小阳先在教学楼前的广场C处测得校训牌下端B的仰角为30°，然后他朝正对教学楼方向前进6m到达D处，又测得该校训牌上端A处的仰角为45°．若教学楼的高AE＝16.5m，小阳的眼睛离地面的距离CM＝DN＝1.5m．已知A，B，E三点共线，AE⊥CE，校训牌的顶端与教学楼顶端平齐，则校训牌的高度AB为m．（结果保留整数．参考数据：）12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB于点E，连接OE，若OE＝3，OB＝4，则菱形ABCD的面积为．三．解答题（共6小题）13．计算：（1）|﹣7|（﹣8）；（2）．14．已知一组数据x，﹣3，﹣2，6，3，1的中位数为1，（1）求x；（2）求这组数据的平均数．15．小明家住房结构如图所示：（1）小明家的居住面积是多少平方米．（x、y单位：米）（2）他打算把卧室和客厅铺上地板，若y＝3.5米时，并且每平方米地板的价格是150元，购买地板的总费用不超过12600元，求x的最大值是多少．16．如图，△ACD中，∠ADC＝90°，以AB为直径的⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE是⊙O的切线．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝4，BD＝2，求CD的长．17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（0，8），C（﹣2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）求二次函数的解析式；（3）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，求PQ的最大值．18．（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，求证：；（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD的延长线上的点，且∠EAF＝50°，∠BAD＝100°，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系．

答案一．选择题（共8小题）1．【考点】正数和负数【分析】本题考查正数和负数的表示．解题的关键在于理解正负数在具有相反意义的量中的表示方法，收入与支出是相反意义的量，已知收入用正数表示，那么支出就用负数表示．解：因为收入300元记作+300元，收入和支出是相反意义的量，所以支出400元应记作﹣400元．逐一分析选项：A选项，+400元表示收入400元，错误；B选项，﹣400元，正确；C选项，+300元表示收入300元，错误；D选项，﹣300元与支出400元的表示不符，错误．故选B．【点评】本题考查正数和负数的基础概念，关键是明确相反意义的量的正负表示．2．【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】观察各个选项中的图形可知，A选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，B选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，C选项中的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以只有C选项符合题意，于是得到问题的答案．解：A选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A不符合题意；B选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B符合题意；C选项中的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意；D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题重点考查轴对称图形及中心对称图形的定义，正确理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键．3．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，表示在数轴上即可．解：不等式组，整理得：，解得：x＜2，解集表示在数轴上，如图所示：．故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．4．【考点】位似变换；坐标与图形性质【分析】根据两对对应点的连线的交点即为位似中心，找到任意一对对应边的边长，求出其相比即可求得k．解：连接OD、BE，延长OD交BE的延长线于点O′，如图，点O′就是位似中心，坐标为（2，2），∵OA＝8，DF＝4，∴k＝OA：DF＝8：4＝2．故选：D．【点评】本题考查了位似变换、坐标与图形性质，熟知如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．5．【考点】三角形中位线定理；平行线的判定；全等三角形的判定与性质【分析】根据平行四边形的判定定理，用两种方法都可以证明三角形中位线定理，得到答案．解：甲的作法：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE＝EF，∴四边形ADCF为平行四边形，∴AD＝CF，AD∥CF．∵D是AB的中点，∴AD＝DB，∴DB＝CF，∴四边形DBCF为平行四边形，∴BC＝DF，BC∥DF∵，∴，DE∥BC；乙的作法：∵GE∥AB，AF∥BC，∴四边形ABGF为平行四边形，∴AB＝FG，AF＝BG，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠CGE，在△AEF和△CEG中，，∴△AEF≌△CEG（AAS），∴AF＝GC，，∴BG＝GC，BD＝GE，∴四边形DBGE为平行四边形，∴DE＝BG，DE∥BG，∴，故选：A．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．6．【考点】作图—尺规作图的定义【分析】利用几何语言对各选项进行判断．解：直线a与直线b相交，点P在直线a上，直线b不经过点P，即P点不是两直线的交点，所以图形为．故选：D．【点评】本题考查了尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．7．【考点】正比例函数的图象；一次函数的图象【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据正比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案．解：A、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由y＝3x﹣k的图象，得k＞0，故不符合题意；B、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由y＝3x﹣k的图象，得k＜0，故符合题意；C、由函数y＝kx的图象，得k＞0，由y＝3x﹣k的图象，得k＜0，故不符合题意；D、正比例函数的图象不对，故不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了正比例函数和一次函数图象，要掌握一次函数的图象与系数的关系才能灵活解题．8．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．解题思路是先明确反比例函数的性质，再根据所给点的横坐标关系及自变量取值范围判断纵坐标的大小关系．反比例函数y中，k＝﹣5＜0，函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．解：对于反比例函数y，k＝﹣5＜0，函数图象在二、四象限．当n＜﹣2时，n＜0，n+2＜0，此时点C、B都在第二象限，因为在第二象限内y随x的增大而增大，且n＜n+2，所以y3＜y4．逐一分析选项：A选项，没有明确自变量范围，无法确定y3与y4大小，错误；B选项，同理，没有明确自变量范围，无法确定，错误；C选项，当n＜0时，点C、B可能不在同一象限，无法确定大小，错误；D选项，当n＜﹣2时，点C、B在第二象限，y3＜y4，正确．故选D．【点评】本题考查反比例函数性质，关键是根据自变量取值范围判断点所在象限，进而比较纵坐标大小．二．填空题（共4小题）9．【考点】概率公式【分析】本题考查概率公式的应用．解题的切入点是先确定单词中字母的总数以及目标字母的个数，再根据概率公式计算．概率公式为P（A）（其中n是所有可能的结果数，m是事件A发生的结果数）．解：单词book中共有4个字母，字母“o”有2个．根据概率公式P＝，这里n＝4，m＝2，所以选中字母“o”的概率是＝．故．【点评】本题考查概率公式，关键是准确找出所有字母个数和目标字母个数．10．【考点】列代数式【分析】表示出b的3倍，再表示出a加上b的3倍即可．解：根据题意，得：a+3b．故a+3b．【点评】本题考查列代数式，根据关键词得到相应的运算顺序是解决本题的关键．11．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的应用【分析】延长MN交AE于点F，分别解Rt△AFN和Rt△BFM，求出BF的长，再根据线段的和差关系求出AB的长即可．解：教学楼的高AE＝16.5m，小阳的眼睛离地面的距离CM＝DN＝1.5m．如图，延长MN交AE于点F，则四边形MCEF，MCDN都是矩形，∴EF＝CM＝1.5m，MN＝CD＝6m，∴AF＝AE﹣EF＝16.5﹣1.5＝15（m）．∵∠ANF＝45°，∴NF＝AF＝15m，∴FM＝MN+NF＝21m，∵∠BMF＝30°，∴，∴．故3．【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．12．【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线【分析】菱形的性质得OA＝OC，BD＝2OB＝8，AC⊥BD，进而由直角三角形斜边上的中线性质得AC＝2OE＝6，则OA＝3，再由勾股定理得AB＝5，然后由菱形面积求出结论．解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝4，∴OA＝OC，BD＝2OB＝8，AC⊥BD，∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，∴AC＝2OE＝2×3＝6，∴OA＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB5，∵S菱形ABCD＝AB•CEAC•BD6×8＝24，故24．【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．三．解答题（共6小题）13．【考点】分式的乘除法【分析】本题考查绝对值、算术平方根的计算以及分式的乘除法运算．（1）先分别计算绝对值、算术平方根以及乘法，再进行加减运算；（2）先对分子分母进行因式分解，再根据分式乘法法则进行计算．用到的核心知识点有绝对值的性质、算术平方根的定义、分式的基本性质等．解：（1）|﹣7|（﹣8）7+3+（﹣2）＝10﹣2＝8（2）先对分子分母因式分解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），x2+4x+4＝（x+2）2则原式＝约分可得：综上，（1）的结果为8；（2）的结果为．【点评】本题考查分式乘除运算及实数的简单运算，关键是掌握相关运算法则和因式分解方法．14．【考点】中位数；算术平均数【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；（2）根据平均数的定义求解即可．解：（1）将原数据中的已知数从小到大排序为﹣3，﹣2，1，3，6，∵一组数据x，﹣3，﹣2，6，3，1的中位数为1，∴排序后第3、4个数的平均数为1，∴x＝1；（2）由（1）知，，即这组数据的平均数为1．【点评】本题考查中位数，算术平均数，解答本题的关键是明确中位数和算术平均数的求法．15．【考点】一元一次不等式的应用；列代数式【分析】（1）根据长方形的面积减去边长为x，y的长方形的面积，即可求解；（2）根据图形求得卧室和客厅的面积，代入y＝3.5，结合题意，列出不等式，解不等式，即可求解．解：（1）根据长方形的面积减去边长为x，y的长方形的面积可得：4x•4y﹣（4y﹣3y）（4x﹣3x）＝15xy，小明家的居住面积是15xy平方米；（2）根据题意得，卧室和客厅的面积为：2x×4y+2y×2x＝12xy，当y＝3.5时，12x×3.5×150≤12600，解得：x≤2，∴x的最大值是2．【点评】本题考查了列代数式，不等式的应用，熟练掌握以上知识点是关键．16．【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理【分析】（1）连接OE，根据圆的切线得到∠OED＝90°，而∠OEB＝∠OBE＝∠CBD，再由互余关系即可证明∠DCE＝∠DEB，则CD＝DE；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△ODE中，由勾股定理得DE2＝（r+2）2﹣r2；在Rt△ACD中，由勾股定理得，再由CD＝DE，得到方程，即可求解．解：（1）证明：如图，DE是⊙O的切线，连接OE，∴∠OED＝90°，∴∠DEB+∠OEB＝90°．又∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE＝∠CBD．在Rt△CBD中，∠DCB+∠CBD＝90°，即∠DCB+∠OEB＝90°，∴∠DCE＝∠DEB，∴CD＝DE；（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△ODE中，BD＝2，由勾股定理得：DE2＝OD2﹣OE2，∴DE2＝（r+2）2﹣r2．在Rt△ACD中，AC＝4，BD＝2，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，∴．∵CD＝DE，∴，解得：r＝3．在Rt△DOE中，由勾股定理得：，∴CD＝4．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质是解题的关键．17．【考点】二次函数综合题【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）用待定系数法求函数的解析式即可；（3）设P（t，﹣t2+2t+8），则Q（t，﹣2t+8），可求PQ＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，PQ的最大值为4．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+m，将点A（4，0），B（0，8）代入y＝kx+m，∴，解得，∴y＝﹣2x+8；（2）将点A（4，0），B（0，8），C（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+8；（3）设P（t，﹣t2+2t+8），则Q（t，﹣2t+8），∴PQ＝﹣t2+2t+8+2t﹣8＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，PQ的最大值为4．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．18．【考点】四边形综合题【分析】（1）延长CB到点G，使BG＝DF，则∠ABG＝∠ADF＝90°，证明△ABG≌△ADF（SAS），得出AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，证明△AEG≌△AEF（SAS），得出EF＝EG＝BG+BE＝DF+BE；（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF（SAS）．可得AF＝AM，∠2＝∠3．然后根据EF＝BE+DF＝BE+BM＝EM，证明△AME≌△AFE（SSS）．可得∠MAE＝∠EAF．进而可以得到结论；（3）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF（SAS）．可得∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，再证明△AEG≌△AEF（SAS）