拉普拉斯变换在自动控制理论中的应用

拉普拉斯变换在自动控制理论中的应用【摘要】：建立数学模型是分析自动控制理论的前提，通过在自动控制理论中建立系统的动态数学模型，得出传递函数，根据拉普拉斯变换和反变换公式，求出系统的动态过程，得到系统输入输出的关系，借助拉普拉斯变换和反变换其计算具有快速、简洁和方便的优点。【关键词】：拉普拉斯变换原函数象函数传递函数1.拉普拉斯变换简介拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换是由复变函数积分引导出的一个非常重要的结论，在数学应用中占有很重要的地位。[]1.1拉普拉斯变换的定义设f(()为复值函数，若积分10°了((泌d在复平面S的某一区域收敛于F(s)''，则称F(s)=件f(t)e-stdt0f(t)为函数J\'的拉普拉斯变换，或称为拉氏变换，记为：Uf((t)]=F(s)如果F(s)为丁(()的拉普拉斯变换，则称f(()为F(s)的拉普拉斯逆变换。记为：5F(s)]=f(()o拉普拉斯变换具有线性、微分、积分和延迟等基本性质，根据拉普拉斯定义和具有的性质，它在工程技术中有许多重要应用，本文主要介绍骑在自动控制领域中的应用。拉普拉斯变换的性质[3]线性性质：L[Af(t)土Bf(t)]=AF(s)土BF(s);J]、/2]、/2微分性质：L[f(t)]=sF(s)-f(0)积分性质：L[ftf(t)dt]=-•L[f(t)]=竺)oss延迟性质：L[f(t-1o)]=e-st0F(s)2.拉普拉斯在自动控制领域的应用

在自动控制理论中，首先建立系统的动态数学模型一一微分方程，然后求解就可以得到系统的动态过程，其常用的方法就是拉普拉斯变换。传递函数是自动控制理论中常用的微分方程，传递函数定义为：零初始条件下线性定常系统输出量拉普拉斯变换与输入量拉普拉斯变换之比。用拉氏变换法求解线性微分方程的步骤：1)考虑初始条件，对微分方程的每一项分别进行拉氏变换微分方程一s的代数方程；2)由s的代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；3)对输出量拉氏变换函数进行拉氏反变换，得出输出量时域表达式，即为所求微分方程的解设线性定常系统的微分方程为：dndnC(t)0dtn1dtn-1竺也++a些+彖(t)

n-idtn(2-1)1dmr(t)1dm-ir(t)1dr(t)1/、=+b1^~~T+h-F+bmr(t)式中c(t)为输入量，r(t)为输出量。(2-1)设初始值为0,对上式左右两边拉普拉斯变换得(ju^sn+席l/t+…+a)C(s)二(如J,广+…+潟A(S),(22)系统的传递函数为Jf(s)系统的传递函数为Jf(s)一时”中…+劣—处)(2-3)传递函数是系统的S域动态数学模型，而且是更具有实际意义的模型。在不需要求解微分方程的情况下，直接利用传递函数就可以对系统的动态过程进行分析和研究。应当指出，传递函数是由拉普拉斯变换导出的，而拉普拉斯变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。传递函数取决于系统内部的结构参数，他表明一个特定的输入输出关系，同一系统，取不同变量做输出，以给定值或不同位置的干扰为输入，传递函数将各不相同。传递函数是在0初始条件下，因此他只是系统的0状态模型，而不能完全反映0输入响应的动态特征。数学模型是对系统进行理论研究得前提，模型一旦建立，便可运用适当的方法对系统的性能作全面的分析和研究。对线性定常系统，常用的方法有时域分析法、根轨迹法和频域分析法。时域分析法根据系统的微分方程，用拉普拉斯变换直接求出动态过程，并依据曲线及表达式，分析系统的性能，方便、快捷、准确。设系统的闭环传递函数为[4](2-4)25(2-4)s2+6s+25从中可以单位阶跃函数作用下的响应和各种动态性能指标，根据二阶系统传递函数的标准形式，有(2-5)2wn=6wn2=25所以有wn=5&=根据有关动态性能的计算公式，可得(2-5)上升时间兀一。兀一0.93'%成4峰值时间兀3.14t=——==0.785spw4d超调量调准时间qp%=e-兀&妃&2?100%=e-0.6?3K.8?100%=9.5%t=/4=1.33ss&wJn3t=——=1ss&wn由上例可知，拉普拉斯变换可以使计算变得简捷、方便，它在数学物理方程求解、线性电路分析及自动控制领域有许多重要应用。事实上，不论是在应用数学领域还是在应用物理学及其他相关工程技术领域，拉普拉斯变换都是一种非常重要的求解方法，有着十分广泛的应用。【参考文献】：[1]欧阳首承，李贤琅。应用数学方法。