最新2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

1、2022 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案2022 年全国初中数学联合竞赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准 .第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给 分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准 划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：此题总分值 42 分，每题 7 分1 a b 2 ， (1 a)2 (1 b)2 4， 那么 ab 的值为baA1.B1.C 1 .2D 1 .2【答】B.由(1 a)2(1 b)2可得，ba 4a(1 a)2 b(1 b)2 4ab即，(a b) 2(

2、a 2 b 2 ) a 3 b3 4ab 0即2 2(a2 b2 ) 2(a2 ab b2 ) 4ab 0 ，即2 2ab 4ab 0 ，所以ab 12 ABC 的两条高线的长分别为 5 和 20,假设第三条高线的长也是整数，那么第三条高线长的最大值为A5.B6.C7. D8.【答】B.ABC设的面积为 S，所求的第三条高线的长为 h，那么三边长分别为2S2S2S,显然2S 2S ，于是由三边关系，得520h520 2S2S2S 20h5 ,解得20 h ,4 2S2S2S3 205hh所以 的最大整数值为 6,即第三条高线的长的 解 的 个 数 为的最大值为 6.3 方 程| x 2 1 |

3、 (4 23)(x 2)A 1个B 2 个C3 个D4 个【答】C.当 | x | 1时 ， 方 程 为x 2 1 (4 23)(x 2)， 即x 2 (4 23)x 9 4| x | 1 0 ，解得 x 31， x 4 3332，均满足x x当时，方程为|112 (4 23)(x 2) ，即所以，组成边长为 7、8、10、11 的正方形， 各有一种方法；组成边长为 9 的正方形，有 5 种方法。故满足条件的“线段组的组数为 14595如图，菱形 ABCD 中，AB 3 ，DF 1，DAB 60 ，EFG 15 ， FG BC ，那么AE 26A1 .B .33C2 1.D1 .【答】 D.过

4、 F 作 AB 的垂线，垂足为 HDAB 60 ，AF AD FD 2 ，3AFH 30 ， AH 1 ， FH ， 又 EFG 15 ，DCFGAHEBEFH AFG AFH EFG 90 30 15 45 ，从而FHE 是等腰直角三角形，所以 HE3FH ，3 AE AH HE 1 611 1 ，1 1 1 ，1 1 1 ，那么2 3 4 的xy z2yz x3zx y4值为xyzD 5 .2A1.B3 .C2.2【答】C. 由等式得xy zx x y z 2 ，yz xy x y z 3 ，zx yz x y z 4 ，所以xy yz zx 9 x y z2于是，yz 5 ， zx 3

5、， xy 1 所以x y z2x y z2x y z2y 5 ， z 3 ， y 5 ，即。z3y5xx3yx3代入1 1 1 ，得1 1 1 ，解得x 23 xy z2x5 x 5x21032022 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分所以 23423423 2xyzx5 x35x5x二、填空题：此题总分值 28 分，每题 7 分3在中，那1ABCB 2ABC 2, AB 2 2么A 【答】。15延长 AB 到 D，使 BDBC，连线段 CD，C那么D BCD 1 ABC A ，所以 CACD。2CE AB作于点 E，那么 E 为 AD 的 A中点，故EBDAE DE 1 AD 1 (A

6、B BD) 1 (2 2222 2) 2 ，333.BE AB AE (2 23) (2 3) 在RtBCE 中，EB3，所以，故 A 1 ABC 15 2cosEBC BC2EBC 30y 2x bx c二次函数 的图象的顶点为 D，与x轴正方向从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴正方向交于 C 点，假设ABD 和OBC 均为等腰直 角三角形 O 为坐 标原点 ， 那么b 2c 【答】 2由， 得，C(0, c)b b 2 4cA(,0)2， b ，b 2 4cB(,0)2bb 2 4cD(,)24b2 4cDE AB2DE AB过 D作于点 E，那么，即b 2 4cb 2 4c2 4

7、，得b2 4c 2，b2 4c所以b2 4cb2 4cb 2 4c 2 0 或b2 4c 又， 所以 2b2 4c 0又OC OB ，即c b 2，得b 2c 2 能使2n为 256是完全平方数的正整数 n 的值【答】 11.当n 8时，2n 256 2n (1 28n )，假设它是完全平方数，那么 n 必为偶数n n n 假设，那么；假设，那么2225622654；假设，那么；假设，2n 256 24 17n 62n 256 26 5n 8那么2n 256 28 2。所以，当n 8 时，2n 256都不是完全平方数2当n 8 时， n 256 28 (2n8 1)，假设它是完全平方数，那么2

8、n8 1 为一奇数的平方。设 2n8 1 (2k 1)2 k为 自 然 数 ， 那 么n k k kk k 由于 和 一奇一偶，所以，于是，故2 10(1)112n10 2n 11如图，AB 是O 的直径，弦 CDC2022 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分与 AB 交于点 E，过点 A 作圆的切线AB与 CD的延长线交于点 F ， 如果E ODFDE 3 CE ，4AC 8，D为 EF 的中点，那么 AB5【答】 24.设，那么CE 4x, AE yDF DE 3x, EF 6x连 AD，BC因为 AB 为O 的直径，AF 为O 的切线，所以EAF 90, ACD DAF ，又因为

9、D 为 RtAEF 的斜边 EF 的中点，DA DE DFDAF AFD5，ACD AFDAF AC 8，即在 Rt AEF中 ， 由 勾 股 定 理 得EF 2 AE 2 AF 236x 2 y 2 320设，由相交弦定理得，即，BEzCEDEAEBEyz 4x 3x 12x 2y 2 320 3yz 又， ADDEDAEAED又DAE BCE, AED BEC ， BCE BEC ，从而，BC BE z在RtACB 中，由勾股定理得AB 2 AC 2 BC 2即，( y z)2 320 z 2 y 2 2 yz 320 联立，解得y 8, z 16 所以AB AE BE 24第二试 A足，

10、方程和有一个相同一、此题总分值 20 分三个不同的实数a, b, c 满a b c 3x 2 ax 1 0 x 2 bx c 0 x x a x cx b 的实根，方程和也有一个相同的2020实根求a, b, c 的值解 依次将题设中所给的四个方程编号为，设x是方程和方程的一个相同的实根，1那么 x 2 ax 1 0,两式相减，可解得c 1 11x x 2 bx11 c 0,1a b5 分设x是方程和方程的一个相同的实根，2那么 x 2 x a 0,两式相减，可解得a b 。22x x 2 cx22所 b 0,2c 1以2022 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分 x x 11210 分

11、又方程的两根之积等于 1，于是x 也是方2程的根，那么x 22ax2 1 0 。又x 2 x22 a 0， 两 式 相 减 ， 得(a 1)x2分 a 1 15假设a 1 ，那么方程无实根，所以a 1 ，故x 1 2于 是a 2, b c 1 又 a b c 3， 解 得b c 20 分3,2二此题总分值 25 分如图，在四边形ABCD 中，BAD 60 ，ABC 90 ，BCD 120 ，对角线AC, BD 交于点S ，且DS 2SB ， P 为AC 的中点求证：1PBD 30 ；2AD DC 证明1由得ADC 90 ，从而A, B, C, DDMSPN四点共圆， AC 为直径， P 为该圆

12、的圆心C5 分AB作PM BD 于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM1 BPD 2A 60，从而PBM 30 10 分2作SN BP 于点N ，那么SN 1 SB 2又DS 2SB, DM MB 1 BD ，2MS DS DM 2SB 3 SB 1 SB SN2215 分 RtRt，PMSPNS，MPS NPS 30 ，又PA PB， 所 以PAB 1 NPS 15， 故2DAC 45 DCA ，所以AD DC 25 分 三此题总分值 25 分为正整数，设，O 为坐标原点假m, n, pm nA(m,0)B(n,0)C(0, p)设，且ACB 90OA2 OB 2 OC 2 3(OA O

13、B OC)1证明：；mnp32求图象经过三点的二次函数的解A, B, C析式解 1因为即mnp 2ACB 90，OC AB，所以OA OB OC 2，得由OA2 OB 2 OC 2 3(OA OB OC)5 分m 2n 2p 23(mnp)又，m 2 n 2 p 2 (m n p)2 2(mn np mp) (m n p)2 2( p 2 np mp) (m n p)2 2 p(m n p) (m n p)(m n p)2022 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分从而有，即mnp3m n p 3，10 分2由二次方程mn p 2m n p 3知m, n是关于 x 的一元x 2 ( p 3

14、)x p 2 0， 的两个不相等的正整数根，从而( p3)2解得 1 p 3 。 4 p 2 0又为 正 整 数 ， 故或pp1p215 分当时，方程为p1x 2 4x 1 0 ，没有整数解当p 2m 1, n 4综m 1, n 4, p 2时， 方程 为合x 2 5x 4 0知， 两根为：20 分设图象经过三点的二次函数的解析式，A, B, C为，将点的坐标代入得yk (x1)(x4)C(0,2)2 k 1 (4)解得k 1 2所以，图象经过三点的二次函数的解析A, B, C1式为y 1 (x 1)(x 4) x 2 3 x 2 2225 分2第二试 B 一此题总分值 20 分题目和解答与A

15、卷第一题相同.二此题总分值 25 分如图，在四边形 ABCD中，BAD 60 ，ABC 90 ，BCD 120 ，对角线DMSPN交于点 ，且求证：AC, BDSDS2SBADDC证明 由得，从而四CADC90A, B, C, D点共圆， 为直径ABAC设 为 AC 的中点，那么 为四边形 ABCDPP的外接圆的圆心5 分作于点 ，那么 M 为 BD 的中点,所以PMBDMBPM1 BPD2A 60，从而PBM 30 10 分作SN BP 于点N，那么SN 1 SB 2又DS 2SB, DM MB 311 BD ，2，MS DS DM 2SB SB SB SN2215 分 RtRt，PMSPN

16、SMPSNPS30又， 所 以PAPBPAB 1 NPS 152， 所 以DAC 45 DCA ，所以AD DC 2022 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分25 分三此题总分值 25 分为正整数，设，O 为坐标原点假m, n, pm nA(m,0)B(n,0)C(0, p)设， 且 求ACB90OA2OB2OC23(OAOBOC图象经过三点的二次函数的解析式，A, B, C解 因为ACB 90 ，OC AB ，所以即mnp 2OA OB OC 2，得由OA2 OB 2 OC 2 3(OA OB OC)5 分m 2n 2p 23(mnp)又m 2 n 2 p 2 (m n p)2 2(m

17、n np mp) (m n p)2 2( p 2 np mp) (m n p)2 2 p(m n p) (m n p)(m n p) ，有从而m n p 3，即m n p 310 分,又，故 是关于 x 的一元二次方程mnp 2m n，x 2 ( p 3)x p 2 0 的两个不相等的正整数根，从而( p3)2解得 1 p 3 。 4 p 2 0又为 正 整 数 ， 故或pp1p215 分当时，方程为p1x 2 4x 1 0 ，没有整数解当p 2m 1, n 4综m 1, n 4, p 2时， 方程 为合x 2 5x 4 0知， 两根为：20 分设图象经过三点的二次函数的解析式，A, B, C

18、为，将点的坐标代入得yk (x1)(x4)C(0,2)2 k 1 (4)解得k 1 2所以，图象经过三点的二次函数的解析A, B, C式为y 1 (x 1)(x 4) x 2 3 x 2 122225 分第二试 C一此题总分值 20 分题目和解答与A卷第一题相同.二此题总分值 25 分如图，P为锐角ABC内一点，过 分别作的垂线，垂足分别为PBC, AC, AB，D, E, FBM为ABC的平分线，MP的延长线交 于点AB如果，求证： 是的平分线NPDPEPFCNACB2022 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分证明 如图 1，作MM BC 于点M ， MM AB 于112点 ，于点 ，于 点 MNN BCNNN ACN21122APH1N2EMFN2PMMNHDNBMC11NDM11设 NP NM， NN / PD / MM，11N D N M1115 分假设 NN1 MM1，如图 2，作 NH MM ，分别交NMH1MM , PD 于 点1H , H1， 那 么 NPH1 ， ，PHNP1 PH MH ，MHNM1PD PH1H H MH NN11 (MM1NN1) NN1 MM1 (1 )NN 1假设NN1 MM