第一方案一轮复习模拟试题函数模型及其应用

第2章第九节函数模型及其应用一、选择题(6×5分＝30分)1．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是()A．x>22%B．x<22%C．x＝22%D．x的大小由第一年的产量确定解析：(1＋x)2＝1＋44%，解得x＝<.故选B.答案：B2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A． B．C． D．解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，∴总利润S＝－＋2(15－x)＝－＋＋30(x≥0)．∴当x＝10时，Smax＝(万元)．答案：B3．(2022·安徽合肥)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如右图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14解析：由三角形相似得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)(24－y)，∴S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.答案：A4．某市2022年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：＝,＝,＝,＝()A．2022年 B．2022年C．2022年 D．2022年解析：设第n年新建住房面积为an＝100(1＋5%)n，经济适用房面积为bn＝25＋10n，由2bn>an得：2(25＋10n)>100(1＋5%)n，利用已知条件解得n>3，所以在2022年时满足题意．故选C.答案：C5．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：x－－0y1则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a，b为待定系数)()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bxC．y＝ax2＋b D．y＝a＋eq\f(b,x)解析：法一：作散点图，由散点图可知，应选B.法二：从表中发现0在函数的定义域内而否定D，函数不具奇偶性，从而否定C，自变量的改变量相同而函数值的改变量不同而否定A.故选B.答案：B6．(2022·长沙模拟)如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的是()A．①② B．①②③④C．②③④⑤ D．①②⑤解析：由图象过(1,2)，可知2＝a1，∴a＝2，故①正确；当t＝5时，y＝25＝32>30，②正确；12＝2t，∴t＝log212，t－2＝log212－2＝log23≠，∴③不正确；由图象观察④显然错误；t1＝log22＝1，t2＝log23，t3＝log26，log26＝log22＋log23，∴t1＋t2＝t3，⑤正确．故①②⑤正确．答案：D二、填空题(3×5分＝15分)7．(2022·苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米元收费；超过8km时，超过部分按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费元，则此次出租车行驶了________km.解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，由题意可得：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋1，x∈0，3],9＋x－3×，x∈3，8],9＋5×＋x－8×，x∈8，＋∞))，令f(x)＝，解得x＝9.答案：98．(2022·威海质检)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？解析：设x小时后，血液中的酒精含量不超过mg/mL，则有·(eq\f(3,4))x≤，即(eq\f(3,4))x≤，估算或取对数计算得5小时后，可以开车．答案：59．如图所示是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法：①这几年人民生活水平逐年得到提高；②人民生活费收入增长最快的一年是2022年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2022年；④虽然2022年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数略有降低，因而人民生活有较大的改善．其中说法正确的是________(填写标号即可)．解析：由题意，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2022年～2022年最陡，故②正确；“生活价格指数”在2022年～2022年最平缓，故③不正确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确．答案：①②④三、解答题(共37分)10．(12分)(2022·淄博模拟)甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图．甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条．乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数．(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了？说明理由．(3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由．解析：由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y甲＝＋.图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y乙＝－4x＋34.(1)当x＝2时，y甲＝×2＋＝，y乙＝－4×2＋34＝26，y甲×y乙＝×26＝.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为万条．(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．(3)设当第m年时的规模，即总产量为n，那么n＝y甲·y乙＝＋(－4m＋34)＝－＋＋＝－(m2－－34)＝－(m－2＋.因此，当m＝2时，n最大值为.即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为万条．11．(12分)(2022·银川模拟)某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－eq\f(k,m＋1)(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解析：(1)由题意可知当m＝0时，x＝1(万件)，∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－eq\f(2,m＋1)，每件产品的销售价格为×eq\f(8＋16x,x)(元)，∴2022年的利润y＝×eq\f(8＋16x,x))x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8(3－eq\f(2,m＋1))－m＝－[eq\f(16,m＋1)＋(m＋1)]＋29(m≥0)．(2)∵m≥0时，eq\f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq\r(16)＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当eq\f(16,m＋1)＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．∴(1)y＝－[eq\f(16,m＋1)＋(m＋1)]＋29(m≥0)．(2)该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．12．(13分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示．(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/百千克，时间单位：天)解析：(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系为f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－t，0≤t≤200，,2t－300，200<t≤300；))由图2可得种植成本与时间的函数关系为g(t)＝eq\f(1,200)(t－150)2＋100,0≤t≤300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)－g(t)，即h(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,200)t2＋\f(1,2)t＋\f(175,2)，0≤t≤200，,－\f(1,200)t2＋\f(7,2)t－\f(1025,2)，200<t≤300.))当0≤t≤200时，配方整