基于排队论的机场安检排队问题的研究

基于排队论的机场安检排队问题的研究摘要随着航空客运业的快速发展，机场客运流量增长迅速，随之便带来了一系列问题，其中机场安检过于拥堵问题是其中之一，加深了顾客对航空服务业的不满，如何改善机场安检系统便显得尤为重要了。当前对于机场安检排队系统的研究运用管理学上理论提出的一些改善的方法，没有定量描述问题实质。本文运用排队论的有关理论，从机场安检排队系统模型的分析开始着手，利用案例进一步阐述排队论在机场安检排队系统解决实际问题，为机场安检拥堵问题提出了一种定量的分析方法。关键字：机场安检排队论系统模型BasedonqueuingtheoryqueuingproblemofairportsecurityAbstract：Withtherapiddevelopmentofthepassengerairlineindustry,airportpassengertraffichasgrownrapidly,withtheattendantwouldbringarangeofissues,includairportsecurityisoneofover-congestionproblems,enhancethecustomerdissatisfactionwithairservices,howtoimproveairportsecuritySystem,itbecomveryimportant.Thecurrentlineupforairportsecuritymanagementsystemfortheuseofsomeimprovementonthetheoryofthemethod,noquantitativedescriptionoftherealproblem.Inthispaper,thetheoryofqueuingtheory,queuingsystemmodelfromtheairportsecurityanalysisbegan,theusecasefurtherelaboratedonintheairportsecuritylinequeuingsystemtosolvepracticalproblems,congestionproblemfortheairportsecuritypresentsaquantitativeanalysis.KeyWords：AirportsecurityQueuingtheorySystemModel目录1.排队论知识介绍.......................................41.1定义........................................................................................41.2排队系统的组成.............................................................................41.2.1输入过程.............................................................................51.2.2排队规则.............................................................................51.2.3服务机构............................................................................61.3符号表示..................................................................................61.4数量指标..................................................................................71.5排队论研究的基本问题.......................................................................81.6排队轮中的几种重要的分布函数..............................................................81.6.1Poisson过程..........................................................................81.6.2负指数分布...........................................................................91.6.3爱尔朗分布...........................................................................101.7生灭过程及其稳态分布.......................................................................112..机场安检的排队系统模型分析...........................132.1乘客到达过程...............................................................................132.2排队规则...................................................................................132.3办理安检手续的排队过程.....................................................................133.案例分析.............................................133.1案例说明...................................................................................133.2案例分析..................................................................................133.3案例的解答.................................................................................174.结语.................................................20致谢...................................................21参考文献...............................................21前言航空运输业的发展不仅给航空运输业的从业者带来了机遇也给他们带来了极大的挑战，例如机场客运量的增加，给机场安检系统带来的就是一种挑战，这需要运用科学的分析方法，解决安检排队系统的拥堵问题，提升机场的服务质量。本文就是本着这个目的，运用排队论的相关理论，排队系统模型的分析，运用定量的公式，给安检排队系统做一次定量的分析，使得管理部门对该问题有一个直观的数量上的认识，进而使他们在作出决策时更加科学合理1.排队论知识介绍1.1定义排队论又称为随机服务理论或随机服务系统，是一门研究拥挤现象的学说。主要揭示各种出现拥挤现象的排队系统的概率的规律性，并借助相应过程的统计推断方法来解决有关排队系统的最优化问题。排队是人们日常生活中经常遇到的现象（这种现象亦称为拥挤现象或拥挤问题）顾客到商店购买物品、病人到医院看病、读者到图书馆借书、乘客到车站乘公共汽车，都要排队、要等待。饭馆的服务员与顾客、图书馆的管理员与借阅者、售票员与乘客都分别构成一个排队系统或称服务系统。顾客和买票者，称为要求服务的对象，他们总希望得到某种服务。如果在某些时刻，要求服务的对象的数目超过了服务机构所能够提供服务的数量时，也就是说，如果有些要求服务的对象到达之后不能立刻得到服务，就必须等候，因而出现了排队现象。此时，人们总希望减少排队现象，通常做法是要增加服务设施，比如增加服务台的数量，但是服务台越多，人力、物力的支出也就越大，甚至未出现浪费的现象。如果服务台设施太少，顾客排队等待时间就会太长，给顾客和社会带来不方便和不良影响。因此，就产生顾客的等待与服务机构的数量（或服务速率）之间的冲突的问题。为此，便要经常检查目前的服务设施是否得当，研究今后改进的对策，以提高服务质量，降低服务费用。排队论就是为了解决上述问题而发展起来的一门学科，现在已经广泛应用于如生产管理、库存管理、商业服务、交通服务、银行业务、医疗服务、计算机设计和性能评价等各种管理系统。1.2排队系统的组成实际生活中的排队系统虽然各不相同，但他们都具有一下3个特征：存在要求得到某种服务的顾客存在愿意为顾客提供服务的人或服务机构（也称服务台或服务员）顾客到达时刻及为每一位提供服务时间都是随机的，因而造成系统中的顾客会时多时少，服务员的工作会时忙时闲一个排队系统的基本过程可以用图1.1来表示顾顾客数队列顾客到达服务机构服务规则顾客离开一般的排队系统都有3个基本组成部分：输入过程、排队规则、和服务机构1.2.1输入过程输入过程是指顾客到达排队系统时按什么规律到达，顾客源情况如何。有以下几种情况：顾客总体（顾客源）可能是有限的，也可能是无限的。如停机维修的机器，其来源是有限的，而上游河水流入水库，则是无限的。顾客到来的方式可能是单个的，也可能是成批的。如到餐厅就餐的顾客由单个到来，也有成批到来参加宴会。顾客相继到达的间隔时间可以是确定的，也可以是随机型的。如自动装配线上装配的不见按确定的时间间隔到达装配点，定期的班车、轮班、航班。但到商夏购物的客人、通过路口的车辆，到达是随机型的。顾客到达可以是相互独立的，即到达的情况对以后顾客的到来没有影响，也可以是关联的。在此讨论独立的情形。输入过程可以是平稳的，即描述相继到达的间隔时间分布和所含参数（期望值，方差）与时间无差，也可以是非平稳的。常见的输入分布（到达间隔的概率分布）有：定长输入。顾客严格按照固定的间隔时间相继到达，属于确定性输入类型。泊松输入。顾客到达过程为泊松流。爱尔朗输入。相继到达间隔相互独立且具有相同的爱尔朗分布密度。一般独立输入。相继到达间隔相互独立且同分布。1.2.2排队规则排队规则是指顾客在排队系统中按怎样的规则与次序接受服务。有以下几种情况：即时制（损失制）。顾客到达时，如所有的服务台都正被占用，顾客可随时离去，如市内电话呼唤、停车场就属于这种情况。因为会失掉许多顾客，故又称损失制。等待制。顾客到达时，若所有服务台都被占用，则顾客就排队等待，这种服务机制称为等待制。多数系统都属于这种机制。如登记市外长途电话呼唤。对于等待制，有下列各种规则：①先到先服务。即按到达次序接受服务。②后到先服务。如乘电梯是后进先出；在情报系统中，最后到达的信息往往是最有价值的，常最先被采用；车船卸货时也往往卸后装进的货物。③随机服务。指服务员从等待的顾客中随机地选取其一进行服务，而不管到达的先后。如电话交换台接通呼唤的电话，对迅速生产出来的大批量产品进行质量检查时，所采用的抽样检验方式就属于这种情况。⑤有优先权的服务。如医院对重病患者给予优先治疗，邮局对加急电报优先拍发。混合制。兼有等待制与损失制两种属性的服务机制。这又可分为下列几种类型：①系统容量有限。系统最多能容纳r个顾客（包括等待着与被服务者），若容量已满则后到的顾客就自动离去。如医院各门诊室每天挂号有限，没挂上号的求诊者将自行离去，而不会再到候诊室等待。②等待时间有限。顾客在队列中超过等待时间就自行消失。如药房存放的药品过了使用有效期就被销毁，而不能在发放给病人了。③逗留时间有限顾客在系统中的逗留超过一定时间后就自行消失。如出炉的铁水超过一定时间若仍未浇铸或浇铸未完，就报废了。另外，从占有空间看，有的队列是具体的，也有的是抽象的。有的系统要规定容量的最大限制，有的则认为容量可以是无限的。从队列的数目看，可以是单列，也可以是多列。1.2.3服务机构服务机构主要包括服务设施的数量、连接形式、服务方式及服务时间分布等。服务设施的数量有单台与多台之分：构成形式上有串联、并联、混联和网络等；服务方式指某一时刻服务台接受服务的顾客数，有单个服务和成批服务两种；一般来说同一个服务台因为每一位顾客对服务的要求不同，所以，每一位顾客接受服务的时间长短便不同，它是一个随机变量，其概率分布常见的有：定长服务。对个顾客服务的时间都相同，是一常数。这是确定性服务类型。指数服务。对顾客服务的时间相互独立，且具有相同的指数分布。爱尔朗服务。对顾客服务的时间相互独立，且具有相同的爱尔朗分布一般独立分布。对个顾客服务的时间相互独立且同分布1.3符号表示排队模型的记号是20世纪50年代初由D.G.Kendall引入的，通常用到6个符号并取如下格式：X/Y/Z/A/B/C该记号称为Kendall记号，其中各符号含义如下：X表示顾客相继到达排队系统的时间间隔分布；Y表示服务时间的分布Z表示服务台的个数或服务通道数；A表示排队系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B表示顾客源的数目；C表示服务规则例如，M/M/1/∞/∞/FCFS表示一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布、服务时间为负指数分布、单个服务台、系统容量为无限（等待制）、顾客源无限、排队规则为先来先服务的排队模型。若Kendall记号中略去了后面3项，则是指X/Y/Z/∞/∞/FCF，如M/M/s表示一个顾客到达时间间隔服从负指数分布、服务时间为负指数分布、s个服务台，系统容量为无限（等待制）顾客源无限、排队规则为先来先服务的排队模型。G/M/1/∞表示一个单服务台、服务时间为负指数分布、顾客相继到达时间间隔为独立同分布的等待制排队模型。1.4数量指标为了准确估计服务系统的服务质量，了解系统工作状态，确定最佳运行参数，在分析计算时，通常考虑以下指标1.系统状态系统内的顾客总数，是任意时刻等待服务和正在接受服务的顾客数之和，常用N(t)表示，也称为瞬态。系统平稳运行时常用N表示，称为稳态。2.系统状态概率指系统在时刻t恰有n个顾客的概率，称为瞬态概率，记为P(t)。系统n平稳时有n个顾客的概率称为稳态概率，记为T(t)。n3.队长与队列长队长系统中顾客数的期望值，即系统稳态N的期望值E(N)，记为L。队列长，又称排队长，指系统中在排队等待服务的顾客数期望值，记为Lq4.顾客平均到达率指系统中有n个顾客时单位时间平均到达系统的新到顾客数，记为 λ。n若平均到达率与系统状态无关，则顾客平均到达率可记为。5.系统平均服务率指的是系统中有n个顾客时，单位时间系统服务完毕离去顾客平均数，记为。若平均服务率与系统状态无关，则系统平均服务率可记为。n6.逗留时间指顾客停留在系统全部时间的期望值，记为 W。7.等待时间指顾客在系统中排队等待服务的时间的期望值，记为W.显然逗留时间q等于等待时间加上服务时间。8.忙期和闲期忙期是指顾客到达空闲的服务机构开始，到服务机构再次为空闲时为止所持续的时间，常记为B。闲期是指服务机构从开始出现空闲期起，到再次忙碌时为止所持续时间，常记为I。上述指标中，可以用来衡量一个排队系统的工作状况的主要指标有队长和队列长、逗留时间、忙期和闲期。队长和队列长是顾客和服务机构都关心的指标，在设计排队系统时很重要，因为它涉及系统需要的空间大小。逗留时间也是衡量系统工作状态的一个重要指标，每个顾客都是希望逗留时间越短越好。忙期和闲期均为衡量服务机构工作强度和利用效率的指标，在服务过程中，两者相互交替出现。1.5排队论研究的基本问题首先，排队论研究排队系统的主要数量指标的概率规律，即研究排队系统的整体性质。通过研究主要数量指标在瞬态或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征。其次，排队论研究系统的优化问题。系统优化问题又称为系统控制问题或系统运营问题，其基本目的是是系统处于最优或最合理的状态。包括最优设计问题和最优运营问题，如最少费用问题、服务率的控制问题、服务台的开关策略、顾客和服务根据优先权的最优排序问题等等。另外排队论还研究排队系统设计推断问题。建立适当的排队模型是排队论研究的第一步，建立模型的过程中经常会遇到诸如要检验系统是否到达平稳状态、要检验顾客相继到达时间间隔的相互独立性、要确定服务时间的分布及有关参数等问题，这些都是统计推断问题。1.6排队轮中的几种重要的分布函数1.6.1Poisson过程Poisson过程（亦称Poisson流或最简单流），是排队论中一种常用来描述顾客到达规律的特殊的随机过程。设N(t)表示在[0，t)内到达的顾客，P(t,t)表示在[t,t)有n位顾客到n12 12达的概率，即P(t,t)=P{N(t)-Nt()=n}(tt;n0)(1.6.1)n12 2 1 1 2当P(t,t)满足一下3个条件时，则顾客到达服从Poisson分布n12(1)平稳性是指在[t,t+t]内有一个顾客到达的概率与到达的起始时刻t无关，而只与区间长度t有关（t充分小）P(t,t+t)=t+o(t)(1.6.2)1这里>0为常数，它表示单位时间内一个顾客到达的概率，称为概率强度。o(t)为t的高阶无穷小。(2)独立性即在不相交的时间区域内顾客到达的数目是相互独立的，即在[t,t+t]内到达的顾客数与时刻t以前已经到达的顾客数无关，这一性质也称为无后效性。(3)普通性指在充分小的时间区间[t,t+t)内，有两个或两个以上顾客到达的概率极小，即P(t,t+t)=o(t)(1.6.3)nn2从而在[t,t+t]内没有一个顾客到达的概率为P(t,t+t)=1-t+o(t)(1.6.4)0显然时间区间[0，t+t]可分解为[0,t和][t,t+t]两个区间，由上述三式知，在[0，t+t]内到达n个人的概率可以表示成以下3种不相容的情形的概率之和：P(0,t+t)=P(t)(1-t)+P(t)t+o(t)(1.6.5) n n n1对上式两边减去P(t)并除以t，当t0时，则有ndP(t)n=-P(t)+P(t)(n1)d n n1tP(0)0（1.6.6）n特别的，当n=0时，上式转化为dP(t)n=-P(t) dt 0(1.6.7)P(0)=1n故可接得时间间隔为t的时间区间恰好有n个顾客到达的概率为P(t)=(t)net(t>0;n=0,1,…2)(1.6.8)n n!可见N(t)服从Poisson分布，其数学期望和方差为：E(N(t))=n(t)ne-t=t，Var(N(t))=t(1.6.9) n0 n！特别的当t=1时，有E(N(1))=，表示单位时间内到达的顾客的平均数，亦称到达率。由于Poisson流和实际流非常近似，更由于它在分析计算时易于处理，因此，近30年来，排队论中研究的多为Poisson流输入。并且，用排队论解决实际问题，至今也主要限于Poisson流的情形。1.6.2负指数分布若随机变量T的概率分布密度为et(t0)f(t)=(>0)(1.6.10)0(t<0)则称T服从参数为的负指数分布。负指数分布分分布函数为1-et(t0)F(t)=(>0)(1.6.11) 0 (t<0) 1 1显然E(T)=,Var(T)=，称为每个服务台的平均服务率，即单位时间内获得服务开系统的顾数的平均值。负指数具有如下性质。①当顾客到达过程为参数为的Poisson过程时，那么顾客相继到达时间间隔T服从负指数分布。这是因为对Poisson分布而言，在[0,t)内至少有一个顾客到达的概率为1-P(t)=1-et，即可表示为P{Tt}=1-et=F(t。)这说0明，相继到达的时间间隔独立且服从负指数分布，与顾客服从Poisson分布是等价的。②P{T>t+s︱T>s}=P{T>t},这个性质是显然的，该性质被称为“无记忆性”或“马尔科夫性”，指的是一个顾客的到来所需要时间与过去一个顾客到来所需时间无关。③设随机变量T,T,…,T相互独立且服从参数为，，…的负指 1 2 n 1 2 n数分布，若令T=min{T,T,…,T}，则T也服从负指数分布。该性质说明： 1 2 n若来到服务系统的顾客有n中不同的类型，每类顾客来到服务台的间隔时间服从参数为的负指数分布，则从整体上来说，到达服务系统的间隔时间服i从参数为n的负指数分布。若一个服务即为系统中有s个并联的服务台，ii1且各服务台对顾客的服务时间服从参数为的负指数分布，则整个服务系统的输出即为参数为s的负指数分布。1.6.3爱尔朗分布设顾客在系统内所接受的服务可分为k个阶段，每个阶段的服务时间T，1T，…，T，T，T，…，T服从参数为k的负指数分布 2 k 1 2 kkekt(t>0)f(t)=(1.6.12)(t<0)且它们是相互独立的随机变量，顾客在完成全部服务内容并离开系统后，另一个顾客才能进入系统接受服务，则称顾客在系统内接受服务时间之和T=T+T+…+T服从k阶爱尔朗分布，记为E，其分布密度函数为2 k k(k)ktk1e-kt(t0)(k1)！f(t)=(k,>0)(1.6.13)(t<0)1且E(T)=，Var(T)=,这里k为每个服务台的平均服务率，每个服务 k1台的平均服务时间为，而系统平均服务率为，每个顾客总的平均服务时k1间为。显然，当k=1时，爱尔朗分布即为负指数分布；当k时，有Var(T)=0，此时称该分布为定长分布。一般的爱尔朗分布均为介于两者之间的分布1.7生灭过程及其稳态分布在排队论中，很多模型都假设其状态过程为生灭过程，生灭过程是一类简单而又广泛应用的随机过程。若用N(t)表示时刻t系统内的顾客数，则｛N(t),t0｝就构成一个随机过程，若用“生”表示顾客到达，“灭”表示顾客离开，则对许多排队过程来说，｛N(t),t0｝就是一个特殊的随机过程，称为生灭过程。其概率分布有如下性质：给定N(t)=n，则从t时刻起到下一个顾客到达时刻止的间隔时止服从参数为(n=0,1,2,…)的负指数分布；n给定N(t)=n，则从t时刻起到下一个顾客到达时刻止的间隔时间服从参数为(n=0,1,2,…)的负指数分布；n③在同一时刻只可能发生一个生一个灭，即同时只能有一个顾客到达或离去，则称｛N(t)=n,t0｝为一个生灭过程生灭过程实际上是一特殊的连续时间马尔可夫链，即马尔可夫过程，根据Poisson分布与负指数的关系，即为系统处于N(t)时系统时间内顾客的n平均到达率，即为单位时间内顾客平均离去率。一般来说，要求出N(t)的n分布p(t)=｛N(t)=n｝(n=0,1,2,…)是比较困难的，顾下面只考虑系统处于稳n定状态的情况。记系统达到稳定状态的分布为p(n=0,1,2,…)。我们考虑该系n统处于某一特定状态N(t)=n(n=0,1,2,…)。从时刻0开始，分别计算该过程进入这个状态和离开这个状态的次数，因为进入这个状态和离开这个状态总是交替发生的，所以当系统运行相当长时间按而到稳定状态后，对任一状态n来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，即系统在统计平衡下“流入=流出”，该等式称为“流入=流出”原理。根据该原理，我们取n=0,1,2…，则有表1.7.1表1.7.1状态状态输入率等于输出率状态输入率等于输出率012…0011pp1112200)(ppp2223311)(ppp…1nn…11122)(nnnnnnnpppnnnnnnnppp)(1111…表1.7.1中的方程称为平衡方程，有平衡方程可得 1 p1p(upp)1p10p 2111 0010 2 2 2 21 1 p2p(pp)2p210p 3222 1120 3 3 3 321 1 pn1p(pp)n1pn1n210pnn1n1n1n2n2n10 n n n nn1 21 1 pnp(pp)npnn10pn1nnnn1n1n0 n1 n1 n1 n1n 1令c=n1n20(n=1,2,…)(1.7.1)n nn1 1且令c=1，则个平稳状态的分布0pcp(n=1,2,…)(1.7.2) n n0 因p1，即pc1，故n 0 nn0 n01p(1.7.3)0cnn0只有当级数c收敛时才成立。这样就可以求得p了。 n nn02..机场安检的排队系统模型分析2.1乘客到达过程安检口的旅客到达和某一时段的所有的航班有关，由于一天中上午8时到9时，下午1时至4时，晚上6时至7时是航班的高峰期；7时到20时的其它时段是平稳期；21时到次日7时是低谷期，所以我们可以将每天分为3种情况8个时段，假设每个时段中，旅客的到达概率都是一样的，而且符合以下条件：a.在不相重叠的时间区间内旅客到达数是相互独立的；b.在充分小的时间△t，在时间区间［t,t+△t）内有1个旅客到达的概率与无关，而约与区间长△t成正比；c.对于充分小的△t，在时间区间［t,t+△t）内有2个或2个以上旅客到达的概率极小，以致可以忽略；所以安检口的旅客到达是符合普松流(Poisson流)，这样旅客相继到达的间隔时间是服从负指数分布。2.2排队规则顾客到达属于等待制，先到先服务，后到后服务的排队规则。2.3办理安检手续的排队过程机场办理安检的时间是随机性的，服务时间也是服从负指数分布的，所以安检口这个排队系统属于M/M/c模型。3.案例分析3.1案例说明某机场有九个安检口，由于不同时间航班数量不同，因而通过安检服务的旅客数量也不同，有的时候流量大，有的时候流量少，若九个安检口全部开放，则在流量少的时候，就会造成某些安检口的资源浪费，因此公司为了节约资源，希望在不同的时段开放一定数量的安检口既能解决旅客过安检过于拥堵以至于给造成服务质量不好的影响，同时最大限度的利用安检口资源，减少不必要的浪费。所以本文就是运用排队论来定量的算出每个时段需要几个安检口。3.2案例分析由第2章的分析可以得出，本案列的机场安检系统是平行排列的多服务台系统所有的旅客都是接受同一种服务，旅客可以在任意一安检口接受安检服务，所以我们可以把该排列系统看成是M/M/s/∞/∞/FCFS模型，因为：①顾客相继到达系统的时间服从参数为的负指数分布，且相互独立；②安检台的服务时间独立同分布且服从参数为的负指数分布；③系统空间无限，允许无限排队；④服务规则为先到先服务。机场安检排队系统属于生灭过程，是一类最简单的排队系统，如果平均到达率和服务台的平均服务率分别为和，他们均与状态无关。那么当s=1，即只有一个服务台时，有(n=0,1,2,…)。n当(n=1,2,3,…)，s>1,即有多个服务台时，有nn(n<s)=ns(ns)若设1，则排队系统最终能达到稳定状态，故可应用生灭过程的相关结s论。下面介绍与机场排队系统有关的两种模型：(1)M/M/1单服务台排队模型M/M/1排队模型即为单服务台情形，s=1,由(1.7.1)，有c()nn(n=0,1,2,…)n由pnp及 n 0 1 1p 1(3.2.1)0cnn n0 n0有p(1)pn(n=0,1,2,…)(3.2.2)n式(3.2.1)和式(3.2.2)给出了在稳定条件下系统中顾客数为n的概率。由式(3.2.1)可以看出=1-p，因此是系统中至少有一个顾客的概率，即服务台处于忙期0的概率，故也称为服务强度，它反映了系统繁忙程度。注意到式(3.2.2)只有在=<1条件下成立，故要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到平衡（稳定）。进一步，我们可求得其他几个数量指标。平均队长：L=npn(1)n(1)nn1nn0 n0 n0d 1=(1)•( ) d11平均派队长：L(n1)pL(1p)q n 0n12=L-=(3.2.3)()若，则1，上述情况不再适用。考虑到时顾客在系统中的逗留时间服从的分布。设一顾客到达时，系统中已有n个顾客，按先来先服务的规则，这个顾客的逗留时间T就是原有各顾客的服务时间T和这个顾客服务时间iT之和T=T'TTT,n1 1 2 n n1其中T‘’表示这个顾客到达系统时正在接受服务的那个顾客人需要接受服务时1间。令f(t︱n+1)表示T的概率密度，这是在系统中已有n个顾客时的条件概率密度，故T的概率密度为f(t)=pf(t︱n+1)nn0若T‘’(i=1,2,3,…,n+1)均服从参数为的负指数分布，根据负指数的无记忆1性，T‘’也服从参数为的负指数分布，因此T服从爱尔朗分布：1(t)netf(t︱n+1)=n！所以f(t)=(1)n(t)ne-ttn！n0=(1-)et(t)n=()e()tn！n0即顾客在系统中逗留时间T服从参数为的负指数分布，故平均逗留时间为1W=E(T)=(3.2.4)而顾客在系统中的逗留时间T为等待时间和接受服务时间之和。即T=T+Vq为服务时间。故有1W=E(T)=E(T)+E(V)=W+ q q故平均等待时间为1=W-= (3.2.5)q()由(3.2.4)可知，平均队长和平均逗留时间W满足L=W(3.2.6)同理，可由式(3.2.3)和(3.2.5)得到平均队长与平均等待时间W满足qLW(3.2.7) q q式(3.2.6)与(3.2.7)称为Little公式。(2)M/M/s多服务台排队模型设有s个服务系统，由假设有，且nn(n=1,2,…，s)=ns(n=s,s+1,…)故()n (n=1,2,…，s)cn()n!n!ns)(()ns(n=s,s+1,…)s!ss!sns令，则有<1时有ssssn p(n=1,2,…，s)n!0p(3.2.8)nn p(n=s,s+1,…) s!sns 0其中s1nsp( )1(3.2.9) 0 n!s!(1) n0 s式(3.2.8)和式(3.2.9)即为稳定条件下系统中顾客数为n的概率。当ns时，即系统中顾客数不少于服务台个数，这时再来的顾客等待且必须等待的概率为pnp1s()kps pn s!sns 0s! s0s!(1)0 ns ns k0 s上式称为Erlang等待公式。再求其他数量指标L(ns)pkpq nskns k0=kskppsdsks!s0 0s!sd k0 s s d 1 ps=p()0s(3.2.10)0s!sd1s!(1)2 s s s记系统中正在接受服务的顾客平均数为s，显然，s也是正在忙的服务台的平均数，故 s1s1nn ss=npsppspnnn!0s!(1)0 n0 ns n0 s=p(s1n1s1 )(3.2.11) 0 (n1)!(s1)!(1) n1 s上式说明平均在忙的服务台的个数不依赖于服务台个数s。故可得到平均队长L=平均排队长+正在接受服务的顾客平均数=L(3.2.12)q对多服务台系统，Little公式依然成立，故有 L L 1W=,Wq=W-(3.2.13)q3.3案例的解答案例中的某机场一共有九个安检口，所以我们可以令s=(1,2,3,…9)依次计算在单位时间内办理案件人数X。该X表示某时段该机场的客运量，这个可以运用统计学的知识统计出来。我们首先要解决的问题是求解（单位时间平均到达的旅客数）和（单位时间能被服务完成的旅客数）。对于，我们可以由X/单位时间，计算得到。即X=，通常我们将统计一小时内机场安检口旅客到达人数，该数值单位时间就等于X。对于我们可以用一则案例来说明如何计算的值案例：某超级市场，顾客从货架上挑选各类商品，出门到柜台付款。现有两个收款柜台，顾客可以在任一个柜台付款。设此服务系统是M/M/2/排队模型。为了估计该系统的效能，现在柜台前作如下统计：一两分钟作为一个时段，依次记下这些顾客在柜台旁付款所花费的时间。下面给出有关数据：付款时间（分：秒）4：35，3：02，5：27，4：33，2：35，1：45，0：15，3：45，0：15，4：20，2：39，4：51，5：45，0：23，2：30，3：26，1：48，1：16，1：24，4：17，3：07，1：40，5：53，2：31，3：28，0：54，0：386：55，1：33，6：20，0：59，2：03，1：29，5：24，3：50试估计该系统的效能。解由已知数据可知顾客总服务时间为：105.58分钟，则顾客的平均服务时间1105.58= =3.017（分钟）35于是，该负指数分布的参数=0.331（顾客/分钟）所以对于本文中的机场安检排队系统中的顾客平均服务时间我们也可以按照上述案例的统计方法来解决，由于本人缺乏这方面的资料，在这里只是提供一种方法，我们可以假设平均服务率=2（人/分钟）也就是说平均每分钟有2个人接受安检服务。既然已经解决了与的问题，下面需要解决的就是服务台c个数的问题。我们只有一步一步的来解决，即当c=(1,2,3…9)时X的值。在此我们需要确定旅客在安检口逗留时间只能在5分钟之内，也就是说W（逗留时间）等于5分钟。s①当c=1时，它属于单服务台负指数分布队列，所以可以使用排队论中的M/M/1模型来分析。应用模型的Little公式：(1)Ls=λ/(μ－λ)(2)Lqρλ=/(μ－λ)(3)Ws=1/(μ－λ)(4)Wq=ρ/(μ－λ)其中Ls：在安检排队系统中的旅客人数Lq：在安检排队系统中的排队等待服务的旅客人数λ：单位时间平均到达的旅客数μ：单位时间能被服务完成的旅客数ρ：服务强度Ws：在排队系统中旅客逗留时间的期望值Wq：在队列中旅客等待时间的期望值(a).设在一个小时内，办理安检的人数是X，那么平均到达率λ=X/60(人/分)，μ=2(人/分)即乘客到达数服从参数为X/60的普阿松分布，安检时间服从参数为2负指数分布。(b).服务强度ρ=λ/μ=X/120依次代入公式，得到以下指标：在安检口的旅客人数(期望值)Ls=λ/(μ-λ)=X/(120-X)在安检口的排队人数(期望值)Lq=ρLs=(XX)/(14400-120X)旅客在安检口的逗留时间(期望值)Ws=1/(μ-λ)=60/(120-X)旅客在安检口的等待时间(期望值)Wq=ρWs=X/(14400-120X)②当c>1时，它属于多服务台负指数分布队列，所以可以使用排队论中的M/M/c模型来分析。由3.2中的案例分析可知，M/M/c模型的Little公式为：(1)Ls=Lq+λ/μ(2)Lq=p(c)c/c!(1)20(3)Ws=Ls/λ(4)Wq=Lq/λ其中Ls：在安检排队系统中的旅客人数Lq：在安检排队系统中的排队等待服务的旅客人数λ：单位时间平均到达的旅客数μ：单位时间能被服务完成的旅客数ρ：服务强度Ws：在排队系统中旅客逗留时间的期望值Wq：在队列中旅客等待时间的期望值P0：是整个安检区空闲的概率且：p(c1nc)1，， 0 n!c!(1) n0现在以c=1或2，来应用上述公式;当c=1时由旅客在安检口的逗留时间(期望值)Ws=1/(μ-λ)=60/(120-X)=5，可以计算出，X=108，当c=2时， X 1 X P1/{1 0.5()2} 0 120 X 1201240 X 1 XL=23/{10.5()2}(1)2q120X1201240 X 1 X XL=23/{10.5()2}(1)2+s120X1201201240 X 1 X23/{10.5()2}(1)2q120X12012401 X X23/{10.5()2}(1)2+s120X12012012401 X X因为W=5，即W23/{1 0.5 ()2}(1)2+=5s s 120 X 120 1201240可以解得X=247。同理我们可以依次计算当c=3,4,5…9，时X的值，这里由于计算比较复杂，计算量大，故在此就不一一计算了。计算出X值之后，我们就可以按照航班人数航班客座率为60%计算预计的接受安检服务的旅客数，根据旅客数与X值的比较，我们就可以确