初二数学等腰三角形性质

初二数学等腰三角形性质第1页/共35页第2页/共35页第3页/共35页第4页/共35页第5页/共35页等腰三角形§14.3.1第6页/共35页动手做一做ACB△ABC有什么特点?看一看第7页/共35页有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰底边顶角底角底角概念第8页/共35页

1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是

；

2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是

；

3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是

。

10cm10cm或11cm19cm小试牛刀第9页/共35页

把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.找一找

等腰三角形是轴对称图形吗？思考等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。第10页/共35页重合的线段重合的角

AB＝ACBD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD∠ADB＝

∠ADC

等腰三角形除了两腰相等以外,

你还能发现它的角有什么性质吗?

大胆猜想第11页/共35页猜想与论证等腰三角形的两个底角相等。已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=C分析：1.如何证明两个角相等？

2.如何构造两个全等的三角形？第12页/共35页

如何构造两个全等的三角形?第13页/共35页ABC则有∠1＝∠2D12在△ABD和△ACD中证明:

作顶角的平分线AD，AB＝AC

∠1＝∠2

AD＝AD

（公共边）

∴

△ABD≌

△ACD

（SAS）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形对应角相等）

方法一第14页/共35页ABC则有BD＝CDD在△ABD和△ACD中证明:

作△ABC

的中线ADAB＝AC

BD＝CDAD＝AD

（公共边）

∴

△ABD≌

△ACD

（SSS）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形对应角相等）

方法二第15页/共35页ABC则有∠ADB＝∠ADC＝90ºD在Rt△ABD和Rt△ACD中证明:

作△ABC

的高线ADAB＝AC

AD＝AD

（公共边）

∴Rt△ABD≌Rt△ACD

（HL）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形对应角相等）

方法三第16页/共35页用符号语言表示为：在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等第17页/共35页⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为:75°,30°70°,40°或55°,55°35°,35°小试牛刀⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为:3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为:①顶角+2×底角=180°②顶角=180°－2×底角③底角=（180°－顶角）÷2④0°＜顶角＜180°⑤0°＜底角＜90°结论:在等腰三角形中,第18页/共35页想一想:

刚才的证明除了能得到∠B＝∠C你还能发现什么?重合的线段重合的角

AB＝ACBD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD

∠ADB＝∠ADC=90°第19页/共35页等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.性质2(等腰三角形三线合一)是真是假

等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合性质2可分解成下面三个方面来理解：第20页/共35页1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。应用格式：∵AB＝AC∠1＝∠2（已知）∴BD＝DCAD⊥BC（等腰三角形三线合一）2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是

顶角平分线。应用格式：∵AB＝ACBD＝DC（已知）∴AD⊥BC∠1＝∠2

（等腰三角形三线合一）3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。应用格式：∵AB＝ACAD⊥BC（已知）∴BD＝DC∠1＝∠2

（等腰三角形三线合一）

第21页/共35页画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？不重合！三线合一“三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高为什么不一样?第22页/共35页1、等腰三角形的顶角一定是锐角。2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以。3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。5、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角（X）（X）（√）（X）（√）明辨是非第23页/共35页例1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。xx2x2x2x解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角)设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，ABC=∠C=72°第24页/共35页1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30。求∠１和∠ADC的度数．解:∵AB=AC，D是BC边上的中点∠ADC＝90。∵∠BAC=180。-30。-30。=120

。（三线合一）课堂练习：第25页/共35页2.在△

ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠

B和∠C的度数.ABCDxx2x2x解:设∠C=x,∵AD=DC(已知)∴∠C=∠DAC=x(等角对等边)∵∠ADC=∠C+∠DAC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)∴∠ADC=x+x=2x(等量代换)∵AB=AD(已知)∴∠B=∠ADB=2x(等边对等角)∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°(三角形内角和等于180°)∠BAD=26°(已知)∴2x+26°+2x=180°(等量代换)解之得,x=38.5°∴∠C=38.5°,∠B=79°第26页/共35页第27页/共35页第28页/共35页

3.如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE.求证：AH=2BDABCDEH证明：∵AB=AC,AD是高,∴BC=2BD⌒1⌒2又∵BE是高，∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°在△AEH和△BEC中∴△AEH≌△BEC(ASA)∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴∠1=∠2

︸∠AEH=∠BECAE=BE∠1=∠2

∴AH=BC∴AH=2BD第29页/共35页一次数学课上，老师布置了一道几何证明题，通过大家的激烈讨论得到了许多种证明方法，聪明的你们，能找出几种证明方法呢？试试看吧！4.如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在BA的延长线上截取AE=AF,求证：ED⊥BCABCDEF第30页/共35页第31页/共35页请你证明下列结论:1.求证:等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.2.求证:等腰三角形底边上的中点到两腰的中点的距离相等.3.求证:等腰三角形两腰上的高相等.4.求证:等腰三角形两个底角的平分线相等.第32页/共35页1.求证:等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.ABCDEF已知:在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC.求证:DE=DF证明:∵AB=AC(已知)∴∠B=∠C(等边对等角)∵DE⊥AB,DF⊥AC(已知)∴∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定义)在△DBE与△DCF中∠DEB=∠DFC(已证)∠B=∠C(已证