积分方法综述

PAGE2积分方法综述-.z.积分方法综述学生：李攀指导教师：*凤艳**师范学院数学与应用数学摘要：文章给出了五种不定积分的求解方法：直接积分法换元积分法分部积分法，利用对称性和拉普拉斯变换计算广义积分，结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性，对快速正确求解不定积分有一定的意义.关键词：不定积分；积分方法；微积分.IntegralmethodsummaryStudent:Lipan

Teacher:LiuFeng-yanDepartmentofMathematicsandputationalScience,HuainanNormaluniversity.Abstract:Therearefivesolutionsofindefiniteintegrationinthispaper:directintegration,E*cha-ngeableintegration,parcelintegration,usingsymmetryandthegeneralizedLaplacetransformtoc-alculate.biningwithreale*ampleswediscussedthefeasibilitywhichthesewaysinthesol-utionofindefiniteintegration.Itishelpfultosolveindefiniteintegrationquicklyandcorrectly.Keywords:indefiniteintegral;indefiniteintegration；calculus前言数学分析的重要内容是微积分，在微积分中，讨论了求函数的导数的问题而其积分是其逆问题在学习高等数学时，对积分的方法进展归纳和总结是有益的．本文结合高等数学的学习，对积分方法进展了归纳总结．1直接积分法通过简单变形，利用根本积分公式和运算法则求不定积分的方法．例1求.解：分析：可利用不定积分的性质和根本积分公式直接积分．逐项积分后，每个不定积分都含有任意常数，由于任意常数之和仍为任意常数，所以只需写一个任意常数．2换元积分法2.1第一类换元积分法(凑微分法)我们将复合函数求导法则反过来，用于不定积分，就得出换元积分法.第一类换元积分的思路是：把所求的被积函数通过适当的变量代换，化成积分公式中的*一形式，然后再求出积分结果，这种积分法在解决积分问题中经常用到.根本步骤如下：第一类换元积分法关键是：将被积表达式凑成两局部，即从而形成一局部是的函数，将另一局部凑成微分，这样就可从积分公式中求出积分，再回代，就完成了积分．凑微分时经常对被积表达式的系数进展调整，但要注意它必须是等值变换．例2求.解：将d*凑为，则2.2第二类换元积分法(去根号法).第二类换元积分法是通过适中选择置换式，使代换后的积分易于积出．它主要用来解决几种简单的无理函数的积分问题．第二类换元积分法经常用来解决被积函数中含似的积分问题，旨在去掉根号，使其化成可以用第一类换元积分法或直接积分法求解．因此第二类换元积分法也称为去根号法．第二类换元积分法是直接进展换元，分为代数代换和三角代换两种形式．代数代换：求形如〔为正整数〕的积分，可令=；求形如(为正整数)的积分，可令.三角代换：求形如的积分可令;求形如的积分可令;求形如的积分可求.例3求〔a>0〕.解这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元,设,则=.于是有：第一类换元积分法和第二类换元统称换元积分法，他们的区别在于积分变量所处的不同，前者令，是中间变量.关于换元法的问题：不定积分的换元法是在复合函数求导法则的根底上得出来的，我们应根据具体的事例来选择所用的方法，求不定积分不像求导那样有规则可依，因此想要熟练的求出*函数的不定积分，要作大量的练习．3分部积分法分部积分法是乘积的微分公式的逆运算.设，连续可微，在使用分部积分法时，应恰当的选择和，否则就会南辕北辙．选取和一般考虑两点：(1)要容易求得；(2)要比容易积出．例4求.解设于是.分部积分法的应用范围较有限，主要用于解决被积函数是两类不同类型函数乘积形式的积分，的选择一般的可总结为："指三幂对反，谁在后面谁为〞，即被积函数是指数函数、三角函数、幂函数、对数函数、反三角函数中的两类函数乘积形式，谁在后面谁为，按此方法选择是十分有效的．总之，不定积分的积分方法比拟灵活技巧多，在做题中抓住被积函数的特征，以便选择适当的积分方法．以上我们论述了三种比拟常见的积分方法，下面我们在介绍两种简易积分法〔即利用对称性和拉普拉斯变换计算广义积分〕这两中方法是对以上三种积分方法的补充，完善和推广.利用对称性计算积分.定理1设在上可积，则证明.计算.解：因为+所以;定理2设在上可积,1)假设关于*=a奇对称，则;2)假设关于*=a偶对称，.证明:假设关于*=a奇对称是=，则，令,则,所以.同理可证假设关于*=a偶对称的情形.例6计算.因为即：关于*=偶对称所以定理3设在G上可积，且G=,其中是对称图形，，是任一对对称点:1)假设=，则;2)假设=，则.证明:对任取一种分割〔i=1,2...,n〕,使〔i=1,2,...,n〕和〔i=1,2...,n〕是对称图形，且，对于任意一对对称点，.1)假设=，则所以;2)假设=，则所以.例7计算三重积分，其中为椭球域解：被z=0分成的上.下两局部，这两个局部是关于的对称图形.任取,则有对称点，记则有=,所以=0.例8计算曲面积分，其中为球面上的局部.解：记在4个卦限的局部依次是;;由于关于轴是对称图形，，有对称点由,可得到.由于也是对称图形，，有对称点，由得，得.定理4奇函数在区间上连续，且对任意取定的实数广义积分和都收敛，则广义积分。例9求广义积分.分析：因为为奇函数，且满足定理4的条件，所以广义积分求广义积分.分析：为奇函数，但不满足条件要求，对取定的实数c=0,广义积分都发散,所以不能说等于0，是发散的.5.利用拉普拉斯变换求无穷积分在高等数学中，求解无穷限的广义积分使用常规方法只能处理一些较简单的被积函数的积分，一但被积函数较复杂时，假设仍运用常规方法难度很大，本文针对高等数学中无穷限的广义积分的一种特殊形式，来运用拉普拉斯变换的定义及拉普拉斯变换的性质〔象函数的积分〕进展求解5.1定义：拉普拉斯变换的定义：设是定义在[0,+∞]上的实值函数，如果对于复参数s=β+iω，积分在复平面s的*一域内收敛，则称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，并且我们称F(s)为f(t)的象函数.5.2性质：拉普拉斯变换的积分性质〔象函数的积分〕：设L[f(t)]=F(s)，则有：=，一般地，有.证明:.现我们反复的运用上式的推导过程，就可以得到一般情况.例11求解积分.分析：该题目如果使用高等数学的方法求解很困难，要使用分部积分法，现在如果我们使用拉普拉斯变换的定义，把问题变得非常简单，我们只要求出的拉普拉斯变换后，令即可.解：，〔该结果是常规要记住的〕对照要求积分，令，即：.例12求解积分.分析：该题目要比例1复杂些，因为被积函数复杂，使用拉普拉斯变换的定义，求出的拉普拉斯变换后，令s=1即可，但是的拉普拉斯变换求解较困难，我们要借助拉普拉斯变换的性质———象函数的积分.解：由象函数的积分有：即：现令：得由此方法我们可以看出，利用复变函数中的拉普拉斯变换来求解实变函数中该模型类型的广义积分，为我们计算无穷限型的广义积分提供了一种新的的解决方法.计算型积分n=-1时，由函数的积分性质可得，其中.例13求广义积分.分析：因为，所以例14求广义积分其中为第一类零阶Bessel函数.分析：因为由位移性质所以=完毕语：通过积分方法的综述，我们认识到解决问题的方法和巧妙，使我们的思路更加开阔，对课本知识总结的同时有添加了两种解题方法，解题思路，给以后的学习做题带来了方便，但是我们要注意利用后两种方法的条件，才能正确的解题，不能想当然.通过这个课题的研究我也认识到做题方法能更快更好的解题，在以后的学习生活中我们要看开拓自己的思维找到最好的解题方法.致谢语：我要感谢，非常感谢我的指导教师*凤艳。她为人随和热情，治学严谨细心。在闲聊中她总是能像知心朋友一样鼓励你，在论文的写作和措辞等方面她也总会以"专业标准〞严格要求你，从选题、定题开场，一直到最后论文的反复修改、润色，*教师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。正是*教师的无私帮助与热忱鼓励，我的毕业论文才能够得以顺利完成，谢谢*教师。参考文献：【1】孙立卓’孙辉．谈不定积分运算中的一些灵活性[M]．高等数学研究，2002，．【2】*绪绪邰军．应用数学根底[M]．**科技大学，2000．【3】吉米多维奇．数学分析习题集题解[M]．**：**大学，1999．【4】同济大学应用数学系．高等数学[M]．**：高等教育，2005．【5】**高校工科数学协作纽．高等数学通报[J]．，2002．【6】彭