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文档简介

《第七章玻耳兹曼统计》（期末复习）一、热力学第一定律的统计解释：比较可知：即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能级引起内能变化；传热：通过改变粒子分布引起内能变化二、相关公式1、非定域系及定域系的最概然分布2、配分函数：量子体系：半经典体系：经典体系：3、热力学公式（热力学函数的统计表达式）内能：物态方程：定域系：自由能：熵：或三、应用：有。上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。证明：令，，因此得到压强因内能，所以。证毕由于在求证过程中，并未涉及分布的具体形式，故上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。2、熵的统计表达式及玻耳兹曼关系的应用例2试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为式中Ps是总粒子处于量子态s的概率，,对粒子的所有量子态求和。对于满足经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同？证明：对于定域系证法（1）：证法（2）：对于满足玻耳兹曼分布的定域系故：讨论：对满足对的非定域系或例3：对如图所示的夫伦克尔缺陷，（1）假定正常位置和填隙位置数均为N，证明：由N个原子构成的晶体，在晶体中形成n个缺位和填隙原子而具有的熵等于（2）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u，试由自由能为极小证明在温度为T时，缺位和填隙原子数为（设）证明：（1）当形成缺陷时，出现几个缺陷的各种占据方式就对应不同的微观状态，N个正常位置出现n个空位的可能方式数为，同样离开正常位置的n个原子去占据N个间隙位置的方式数也为，从而形成n个空位并有n个间隙位置为n个原子占据的方式数即微观态数，由此求得熵（2）系统的自由能，取无缺陷时的晶体自由能为零时，平衡态时系统的自由能为极小。将自由能F对缺陷数n求一阶导数并令其为零，求得缺位和填隙原子数为（设）3、求配分函数，确定体系热力学性质例4：已知粒子遵从玻尔兹曼分布，能量表示式为其中，为常数，求粒子的平均能量。解：方法一：由配分函数求方法二由玻尔兹曼分布公式求由玻尔兹曼分布，粒子坐标在，动量在范围的概率为，由此求得一个粒子平均能量，积分范围为：将代入积分，利用函数，最后得到方法三用能量均分定理求能量表示式中，按照能量均分定律，每一平方项的平均值为，在上式中，对变量的平方项有4项，于是例5、试求双原子分子理想气体的振动熵解：双原子分子原子间的振动在温度不太高时可视为简谐振动，振动能量为⑴单个分子的振动配分函数⑵双原子分子理想气体的振动熵 令为振动特征温度，则上式写为⑶例6、试求爱因斯坦固体的熵。解：据爱因斯坦模型，理想固体中原子的热运动可以视为3N个独立谐振子的振动，且各振子频率都相同并设为常数。固体中一个振子能量为：一个振子配分函数固体中共3N个谐振子，由此得到固体的熵例7、定域系统含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级，求温度为T的热平衡态下系统的内能和熵，在高、低温极限下将结果化简，并加解释。解：1个粒子的配分函数为求得系统的内能和熵分别为⑴⑵讨论：⑴当温度T较低时，，⑴式中的第二项可以忽略，因而，即时，所有粒子

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