人教A函数的实际应用问题的探究

函数的实际应用问题的探究山东省寿光寿光中学王光天电话编：262704函数的应用是针对某个具体问题的，在解决具体问题的过程中，可以获得在知识理解上的反馈信息，这些信息提供的具体数学背景也为理解抽象的数学提供了有力的支持，是巩固所学知识的有效手段，在学习中，自己经常想想所学知识到底有什么实际应用，能够体会数学知识的来龙去脉，是在一个新的层次上经历再概括的过程，也是对函数应用问题的一种很好的探索和发现方式。如何解决函数的应用问题呢？一般我们遵循以下四个基本步骤来探究数学中的应用问题。第一步：阅读理解，认真审题读懂题目中文字语言叙述，理解反映的实际背景，尤其是理解叙述中出现的新名词、新概念，进而把握住新信息。在此基础上分析出已知什么，求什么，都涉及到那些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试问题的函数化。第二步：引进数学符号，建立数学模型设出自变量x，函数y，并用x表示各相关量，然后运用已知条件和掌握的数学知识，建立数学函数关系式，将实际问题转化为数学问题，即所谓的数学模型。第三步：解决数学模型利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，得到数学结果。第四步：实际问题的验证把上面解决的数学结果转译成具体问题作出解答。例1、某种笔记本每个5元，买x本（）个笔记本的钱数为y元，试写出以x为自变量的函数y的解析式。解题指导：该题中买笔记本所用钱数y元是所买笔记本个数的一次函数，但函数的定义域为，由此容易写出函数解析式。解析：这个函数的定义域为，函数的解析式为它的图象是由4个孤立的点组成，这些点的坐标为。点评：⑴函数的应用问题特别注意函数的定义域，一旦忽视定义域，可能会改变函数的原意；⑵函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可能由一些孤立的点或几段线段组成。例2、某宾馆有客房300间，每间房日租金为20元，每天都客满，宾馆欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租就会减少10间，若不考虑其他因素，宾馆将房间的租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解题指导：由题意可知，每天客房总的租金是增加2元的倍数的函数，设提高为x个2元，则依题意可算出总租金（用y表示）的表达式，由于客房间数不太多，我们也可以以列表的形式进行理解和归纳。解析：方法一：依题意可列表：xyxy0718293104115126………由上表可得到，当，即每天租金为40元时，能出租客房为200间，此时每天的总租金最高，为8000元，再提高租金，总收入就要小于8000元了。方法二：是客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为：则由此得到，当时，函数y有最大值为8000，即每间租金为40元时，客房租金的总收入最高，每天为8000元。点评：⑴当题目中自变量的取值为比较小的正整数时，可用列表的形式求解，即列出的值，求y的对应的值表，从中找出符合题意的一组值。⑵对于这样的调价问题，也可以通过建立数学模型转化为函数问题，从而求出函数的最值，得到实际问题的结论。例3、我国1999年至2022年国内生产总值见表：年份1999年2000年2022年2022年x0123生产总产值/1012元⑴画出函数的图象，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；⑵利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值的比较；⑶利用关系式预测2022年我国的国内生产总值。3y3yxO解析：⑴画出函数的图形如图：从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的直线对应的函数为：把直线通过两点代入上式，解方程组，可得：所以：⑵由得到的关系式计算出2000年和2022年的国内生产总值分别为：与实