2020版高考数学(理)一轮总复习作业37专题研究1递推数列通项求法Word版含解析

专题层级快练(三十七)1．(2018海·南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，中，219是这个数列的第( )项．()A．16B．24C．26D．28答案C分析设题中数列{an}，则a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，，因此an＝3n－2.令3n－2＝219＝76，解得n＝26.应选C.2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64答案A分析a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)．a8＝2×8－1＝15.应选A.3．已知数列{an}知足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则a2017等于()A．2017×2018B．2016×2017C．2015×2016D．2017×2017答案B分析累加法易知选B.＝1，x＝2，且1＋1＝2等于()4．已知数列{xn}知足x123xn－1xn＋1xn(n≥2)，则xn2n－12nA．(3)B．(3)n＋12C.2D.n＋1答案D分析由关系式易知1为首项为1＝1，d＝1的等差数列，1＝n＋1，因此x＝2xnx12xn2nn＋1.1)5．已知数列{an}中a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则an＝(21n－11n－1A．2－(2)B．(2)－2C．2－2n－1D．2n－1答案A分析11)n－11)n－1，因此选A.设an＋c＝(an－1＋c)，易得c＝－2，因此an－2＝(a1－2)(2＝－(226．若数列{an}的前n项和为3an＝()Sn＝an－3，则这个数列的通项公式2A．2(n2＋n＋1)B．2·3nC．3·2nD．3n＋1答案B分析an＝Sn－Sn－1，可知选B.7．(2018云·南玉溪一中月考)已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an2＝an＋12＋an－12(n≥2)，则a6的值为( )A．22B．4C．8D．16答案B分析因为正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2222222，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，因此an－an－1＝an＋1－an2(n≥2)，因此数列{an2}是以1为首项，a22－a12＝3为公差的等差数列，因此an2＝1＋3(n－1)＝3n－2，因此a62＝16.又因为an>0，因此a6＝4，应选B.n1＝1，关于随意的n∈N*，an＋1＝7n8．(2018华·东师大等四校联考)已知数列{a}知足：a72a(1－an)，则a1413－a1314＝()22A．－7B.733C．－7D.7答案D分析依据递推公式计算得a＝1，a＝7×1×6＝3，a＝7×3×4＝6，a＝7×6×1＝3，，17227773277742777能够概括通项公式为：当n为大于1的奇数时，an＝6；当n为正偶数时，an＝3.故a1413－a177314＝3.应选D.79．(2018湖·南衡南一中段考)已知数列{an}，若a1＝2，an＋1＋an＝2n－1，则a2016＝()A．2011B．2012C．2013D．2014答案C分析因为a1＝2，故a2＋a1＝1，即a2＝－1.又因为an＋1＋an＝2n－1，an＋an－1＝2n－3，故an＋1－an－1＝2，因此a4－a2＝2，a6－a4＝2，a8－a6＝2，，a2016－a2014＝2，将以上1007个等式两边相加可得a2016－a2＝2×1007＝2014，因此a2006＝2014－1＝2013，应选C.10．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1，则通项公式an＝________．n（n＋1）答案

4－1n分析

原递推式可化为

an＋1＝an＋1－1，nn＋1则a2＝a1＋1－1，a3＝a2＋1－1，122311，，an＝an－1＋11a4＝a3＋－－.34n－1n逐项相加，得an＝a1＋1－1.又a1＝3，故an＝4－1.nn11．已知数列{an}知足a1＝1，且an＋1＝an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．3an＋1答案an＝13n－2分析由已知，可适当n≥1时，an＋1＝an.3an＋1两边取倒数，得13an＋1＝1n＋1＝anan＋3.a即1－1＝3，因此{11＝1，公差为3的等差数列．an＋1anan}是一个首项为a1则其通项公式为1＝1＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.ana11因此数列{an}的通项公式为an＝3n－2.12．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，有an＝3an－1＋2，则an＝________．答案n－1－12·3分析设an＋t＝3(an－1＋t)，则an＝3an－1＋2t.t＝1，于是an＋1＝3(an－1＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．an＝2·3n－1－1.13．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)，则an＝________．答案(2n－1)·2n分析∵a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)，aan－1ann∴2n＝2n－1＋2.令bn＝2n，则bn－bn－1＝2(n≥2)，b1＝1.∴bn＝n1＋(n－1)·2＝2n－1，则an＝(2n－1)·2.14．已知数列{an}的首项a1＝1，其前n项和Sn＝n2an(n≥1)，则数列{an}的通项公式为2________．答案an＝1n（n＋1）12分析由a1＝，Sn＝nan，①∴Sn－1＝(n－1)2an－1.②①－②，得an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，即an＝n2an－(n－1)2an－1，亦即an＝n－1(n≥2)．an－1n＋1∴an＝an·an－1··a3·a2＝n－1n－2·n－321＝2a1n－2a2a1·n···.n＋1n－1n（n＋1）aa1∴an＝n（n＋1）.2anan＋1*15．(2017太·原二模)已知数列{an}知足a1＝1，an－an＋1＝n（n＋1）(n∈N)，则an＝________．答案n3n－2分析由an－an＋1＝2anan＋1得1－1＝2＝2×(1－1)，则由累加法得1－1n（n＋1）＋an（n＋1）nn＋1aaa1)，又因为a1＝1，因此113n－2n.＝2(1－an＝2(1－)＋1＝n，因此an＝nn3n－2nai3n＋1*16．(2018河·北唐山一中模拟)已知首项为7的数列{an}知足∑)，则数列{an}2i－1＝(n∈Ni＝2的通项公式为________．7（n＝1），答案an＝6n（n≥2），分析n－1ainnain＋1，两式相减，得annn当n≥2时，2i－1＝3，又i－1＝3n－1＝2×3，因此an＝6.i＝2i＝222因为a1＝7不切合an＝6n，因此数列{an}的通项公式为7（n＝1），an＝6n（n≥2）.17．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}知足：an＝b1＋b2b3＋＋bn，求数列{bn}的通项公式．2＋3n3＋13＋13＋13＋1答案(1)a＝2n(2)b＝2(3n＋1)nn分析(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2知足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)∵an＝b1＋2b2＋3b3＋＋nbn(n≥1)，①3＋13＋13＋13＋1∴an＋1＝b1b2b3bnbn＋1＋2＋1＋3＋＋n＋n＋1.②3＋133＋13＋13＋1bn＋1＝a＋－a＝2，b＋＋1＋1)．②－①，得n＋1＝2(3n3＋1n1nn1故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．1．(2017·水调研衡)运转如图的程序框图，则输出的结果是( )A．2016B．201511C.2016D.2015答案D分析假如把第n个a值记作an，第1次运转后获得a2＝a1，第2次运转后获得a3＝a1＋1a2，，第n次运转后获得an＋1＝an，则这个程序框图的功能是计算数列{an}的第2015a2＋1an＋1项．将an＋1＝an变形为1＝1＋1，故数列{1}是首项为1，公差为1的等差数列，故1＝n＋1n＋1anananaa11n，即an＝n，因此输出结果是2015.应选D.2．若数列{an}知足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________．n（n－1）答案22an＋1na21a32ann－1an1＋分析因为an＝2，故a1＝2，a2＝2，，an－1＝2，将这n－1个等式叠乘，得a1＝2n（n－1）n（n－1）2＋⋯＋(n－1)＝22，故an＝22.a1a2a3an－13．已知Sn为数列{an}的前n项，2＋3＋4＋＋n＝an－2(n≥2)，且a1＝2，则{an}的通项公式为________．答