2018版高中数学第1章常用逻辑用语112第2课时充要条件学案苏教版

第2课时充要条件[学习目标]1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.经过学习，使学生理解对充要条件的判断应当归纳为判断命题的真假．知识点一充要条件一般地，假如既有?q，又有?p就记作_?.pqpq此时，我们说，p是q的充分必需条件，简称充要条件．明显，假如p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．归纳地说，假如p?q，那么p与q互为充要条件．思虑(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个互相等价的命题．这类说法对吗？“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的差别在哪里？答案(1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q，故此说法正确．(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．知识点二常有的四种条件与命题真假的关系假如原命题为“若p，则q”，抗命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情况：原命题抗命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不用要条件q是p的必需不充分条件假真p是q的必需不充分条件q是p的充分不用要条件假假p是q的既不充分也不用要条件q是p的既不充分也不用要条件知识点三从会合的角度判断充分条件、必需条件和充要条件若A?B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不用要条件若?，则p是q的必需条件，若，则p是q的BABA必需不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必需条件此中p：A＝{x|p(x)建立}，q：B＝{x|q(x)建立}．题型一充要条件的判断例1(1)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件．答案充要分析解x2－2x＋1＝0得x＝1，因此“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．判断以下各题中，p能否为q的充要条件？①在△

ABC中，p：∠A>∠B，q：sin

A>sin

B；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；p：|x|>3，q：x2>9.解①在△ABC中，明显有∠A>∠B?sinA>sinB，因此p是q的充要条件．②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p?q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，因此p是q的充要条件．③因为p：|x|>3?q：x2>9，因此p是q的充要条件．反省与感悟

判断

p是

q的充要条件的两种思路(1)命题角度：判断

p是

q的充要条件，主假如判断

p?

q及

q?

p这两个命题能否建立．若p?

q建立，则

p是

q的充分条件，同时

q是

p的必需条件；若

q?

p建立，则

p是

q的必需条件，同时

q是

p的充分条件；若两者都建立，则

p与

q互为充要条件．(2)会合角度：对于充分条件、必需条件、

充要条件，当不简单判断

p?

q及

q?

p的真假时，也能够从会合角度去判断，联合会合中“小会合?大会合”的关系来理解，这对解决与逻辑相关的问题是大有好处的．追踪训练1(1)a，b中起码有一个不为零的充要条件是________．ab＝0②ab>0a2＋b2＝0④a2＋b2>0(2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________．答案(1)④(2)a<－1分析(1)2＋b2>0，则、不一样时为零；，b中起码有一个不为零，则a2＋b2>0.aaba(2)函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，因此有＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．故“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是a<－1.题型二充要条件的证明例2求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.证明①必需性：若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不如设两个根为x1，x2，则＝k－221－4k≥0，k≤，x－＋x－，?412x＋x－2>0，21x1－x2－，1

x1x2－x1＋x2＋1>0.k≤，4即－k－－2>0，k2＋k－＋1>0，解得k<－2.②充分性：当k<－2时，＝(2k－1)2－42＝1－4>0.kk设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0.又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，x1－1>0，x2－1>0.x1>1，x2>1.综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.反省与感悟一般地，证明“p建立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必需性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.追踪训练2求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.证明①充分性：假如b＝0，那么f(x)＝kx，因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，因此f(－x)＝－f(x)，因此f(x)为奇函数．②必需性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，因此f(－x)＝－f(x)对随意x均建立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，因此b＝0.综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.题型三充要条件的应用例3已知对于x的方程x2－＋2－3＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．mxmΔ≥0，解设方程x2－＋－3＝0的两根分别为x1，x2，由题意知x>1，?1x2>1Δ≥0，x1－＋x2－，?x1－x2－Δ≥0，x1＋x2>2，x1x2－x1＋x2＋1>02m－m－，m>2，2m－3－m＋1>0m≥6.即便方程有两个大于1的实根的充要条件为m≥6.反省与感悟求充要条件常用以下两种方法：先由结论找寻使之建立的必需条件，再考证它也是使结论建立的充分条件，即保证充分性和必需性都建立．变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接获得使命题建立的充要条件．追踪训练3求不等式ax2＋2x＋1>0恒建立的充要条件．解当a＝0时，2x＋1>0不恒建立．当a≠0时，ax2＋2x＋1>0恒建立．a>0??a>1.4－4a<0因此不等式ax2＋2x＋1>0恒建立的充要条件是a>1.1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的________条件．答案充分不用要分析当a＋b＝0时，得a＝－b，因此a∥b，但若a∥b，不必定有a＋b＝0.2．已知会合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的________．答案充分不用要分析a＝3时，A＝{1,3}，A?B，当A?B时，a＝2或3.3．已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”，则α是β的________条件．答案充要分析a＝±2时，直线x－y＝0与圆x2＋(y±2)2＝2相切；当直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切时，得|a|＝2，∴a＝±2.∴α是β的充要条件24．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a________.答案－1分析由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，又a×2a－3×6≠0，因此a≠3，因此a＝－1.115．命题p：x>0，y<0，命题q：x>y，x>y，则p是q的________条件．答案充要分析当x>0，y<0时，x11>y且>建立，xy11x－y>0，x>0，时，得x－y当x>y且>?xyxy<0，y<0.因此p是q的充要条件．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、会合法．2．充要条件的证明与探究(1)充要