2021版北师大版文科数学一轮复习核心素养测评 四十四 9.2 空间图形的基本关系与公理含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021版高考北师大版文科数学一轮复习核心素养测评四十四9.2空间图形的基本关系与公理含解析温馨提示：此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评四十四空间图形的基本关系与公理（25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共30分)1。在下列命题中，不是公理的是 (）A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B。过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C。如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D。如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】选A。选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.2。已知直线a,b分别在两个不同的平面α，β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交"的 (）A。充分不必要条件 B。必要不充分条件C。充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A。若直线a和直线b相交，设交点为P,因为a⫋α，所以P∈α,因为bβ,所以P∈β,所以P是平面α,β的公共点,所以平面α，β相交。若平面α，β相交,而直线a和直线b可能相交,可能异面,如图.所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件。3.空间四边形ABCD中,E，F分别为AC，BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB,则EF与CD所成的角为 (）A。30° B。45° C。60° D.90°【解析】选A。取AD的中点H,连接FH，EH，在△EFH中，∠EFH=90°,HE=2HF，从而∠FEH=30°，即EF与CD所成角为30°。4。空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中 (）A。必有三点共线 B。必有三点不共线C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线【解析】选B。如图①②所示，A，C,D均不正确,只有B正确。5.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点，则下列判断错误的是A。MN与CC1垂直 B。MN与AC垂直C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行【解析】选D。连接B1C,B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线,所以MN∥B1D因为CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1，所以MN⊥CC1,MN⊥AC，MN∥BD。又因为A1B1与B1D1相交,所以MN与A1B1不平行。6.如图所示为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个说法:①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°;③BD∥MN;④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是 世纪金榜导学号（)A。1 B.2 C。3 【解析】选B.将平面展开图还原成正方体（如图所示).对于①，由图形知AF与GC异面垂直,故①正确;对于②，BD与GC显然成异面直线。连接EB,ED,则BM∥GC，所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角（或其补角）.在等边△BDM中,∠MBD=60°,所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故②正确;对于③，BD与MN为异面垂直，故③错误;对于④，由题意得GD⊥平面ABCD,所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在Rt△BDG中,∠GBD不等于45°,故④错误。二、填空题(每小题5分，共20分）7.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图,∠AOC=120°，∠A1O1B1=60°，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧。则异面直线B1C与AA1所成的角的大小是【解析】设点B1在下底面圆周的射影为B，连接BB1,则BB1∥AA1,所以∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角）,｜BB1|=|AA1|=1，连接BC，BO,∠AOB=∠A1O1B1=∠AOC=2π3，所以∠BOC=所以△BOC为正三角形，所以｜BC|=｜BO｜=1，tan∠BB1C=1,所以直线B1C与AA1答案：45°8.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成部分。

【解析】沿三条交线为投射线,把三个平面分成的空间投射到一个平面内，如图,所以这三个平面把空间分成7部分。答案：79。如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是【解析】如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线,所以MK∥DN.所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角。连接A1C1,AM.设正方体的棱长为4,则A1K=(4MK=12DN=1242+22所以A1M2+MK2=A1K2,所以∠A答案:90°10.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c,则a∥c;②若a⊥b，b⊥c,则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交;④若a平面α，b平面β,则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的命题是(只填序号)。 世纪金榜导学号

【解析】由公理4知①正确;当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;aα,bβ,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④不正确；当a，b与c成等角时,a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确.答案：①(15分钟35分)1.（5分)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1，1，2和a,且长为a的棱与长为2的棱异面,则a的取值范围是 ()A.(0,2) B.（0,3)C.（1,2) D.(1,3)【解析】选A。如图所示的四面体ABCD中，设AB=a,则由题意可得CD=2，其他棱的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a>0.取CD中点E，连接AE，BE，则AE⊥CD，BE⊥CD且AE=BE=1-222=22，显然A,B，E三点能构成三角形,应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22。(5分)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形,则在下列命题中，错误的为 (）A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC。AC=BDD。异面直线PM与BD所成的角为45°【解析】选C.截面PQMN是正方形，可得QM⊥PQ且PQ∥MN，所以PQ∥平面DAC,又PQ平面BAC且平面DAC与平面BAC的交线为AC，所以PQ∥AC,同理QM∥BD，可得AC⊥BD,故A正确；由PQ∥AC，可得AC∥截面PQMN,故B正确;异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角为45°，故D正确,C是错误的.【变式备选】如图是正四面体的平面展开图，G，H,M,N分别为DE，BE,EF，EC的中点，在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直。以上四个结论中,正确结论的序号是。

【解析】还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合。易知GH与EF异面，BD与MN异面.连接GM,因为△GMH为等边三角形,所以GH与MN成60°角,易证DE⊥AF，又MN∥AF,所以MN⊥DE。因此正确结论的序号是②③④.答案:②③④3。(5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m,nA.32 B.22 C.33【解析】选A。方法一：因为α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1，α∩平面ABCD=m，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以m∥B1D因为α∥平面CB1D1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1，所以n∥CD所以B1D1,CD1所成的角等于m，n所成的角,即∠B1D1C等于m，n所成的角因为△B1D1C为正三角形,所以∠B1D1所以m，n所成的角的正弦值为32方法二：由题意画出图形如图,将正方体ABCD—A1B1C1D1平移补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE，n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角。因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°，故m，n所成角的正弦值为324.(10分）已知:空间四边形ABCD(如图所示），E，F分别是AB,AD的中点，G，H分别是BC,CD上的点,且CG=13BC,CH=13DC。求证（1）E，F，G,H四点共面.（2)三直线FH，EG,AC共点。【证明】(1)连接EF，GH，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD.又因为CG=13BC,CH=13DC,所以GH所以EF∥GH,所以E，F，G，H四点共面.(2）易知FH与直线AC不平行,但共面，所以设FH∩AC=M，所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC。又因为平面EFHG∩平面ABC=EG，所以M∈EG,所以三直线FH,EG，AC共点。5。(10分)如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=2，DA⊥AC,DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点。求异面直线BE与CD所成角的余弦值. 世纪金榜导学号【解析】如图所示，取AC的中点F,连接EF，BF,在△ACD中，E,F分别是AD,AC的中点，所以EF∥CD,所以∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.在Rt△EAB中，AB=