高考数学概率与统计部分知识点梳理

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一、概率：随机大事A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.１．随机大事

A的概率0()1PA≤≤，其中当()1PA=时称为必定大事；当()0PA=时称为不行能大事P(A)=0；

注：求随机概率的三种办法：（一）枚举法

例1如图1所示，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的随意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通路的概率是．

分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的随意两个可能浮现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，按照概率的意义计算即可。解：闭合五个开关中的两个，可能浮现的结果数有10种，分离是ab、ac、ad、

ae、bc、bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)=

106=5

3评注:枚举法是求概率的一种重要办法,这种办法普通应用于可能浮现的结果比较少的大事的概率计算.（二）树形图法

例2小刚和小明两位学生玩一种嬉戏．嬉戏规章为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜败，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，

两人同时出象牌，则两人平局．假如用A、B、C分离表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1、B1、C1分离表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？

分析：为了清晰地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出全部可能浮现的结果，并从中找出小刚胜小明可能浮现的结果数。

解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能浮现的结果有9种，而且每种结果浮现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P（一次出牌小刚胜小明）=

31

点评:当一大事要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出全部可能的结果，通过画树形图的办法来计算概率（三）列表法

例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的办法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数的概率．

分析：本题可通过列表的办法，列出全部可能组成的两位数的可能状况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能状况和组成两位数是6的倍数的可能状况。

解：列的表格如下：按照表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43．所以（1）两位数是偶数的概率为

23．（2）两位数是6的倍数的概率为13

．点评：当一大事要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出全部可能的结果，通过画树形图的办法来计算概率

2.等可能大事的概率（古典概率）：P(A)=

n

m

。

3、互斥大事：（A、B互斥，即大事A、B不行能同时发生）。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。

4、对立大事：（A、B对立，即大事A、B不行能同时发生，但A、B中必定有一个发生）。计

算公式是：P（A）+P(B)＝１；P(A)=1－P(A)；

5、自立大事：（大事A、B的发生互相自立，互不影响）P(A?B)＝P(A)?P(B)。提示：（1）假如大事A、B自立，那么大事A与B、A与B及大事A与B也都是自立大事；（2）假如大事A、B互相自立，那么大事A、B至少有一个不发生的概率是1－P（A?B）＝1－P(A)P(B)；（3）假如大事A、B互相自立，那么大事A、B至少有一个发生的概率是1－P（A?B）＝1

－P(

A)P(

B)。

6、自立大事重复实验：大事A在n次自立重复实验中恰好发生了．．．．．k次．

的概率()(1)kknknnPkCpp-=-(是二项绽开式[(1)]npp-+的第k+1项)，其中p为在一次自立重复实验中大事A发生的概率。

提示：（1）探求一个大事发生的概率，关键是分清大事的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想

处理，把所求的大事：转化为等可能大事的概率(经常采纳罗列组合的学问)；转化为若干个互斥大事中有一个发生的概率；利用对立大事的概率，转化为互相自立大事同时发生的概率；看作某一大事在n次试验中恰有k次发生的概率，但要注重公式的使用条件。（2）大事互斥是大事自立的须要非充分条件，反之，大事对立是大事互斥的充分非须要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设大事A=“…”，B=“…”；②列式计算；③作答。二、随机变量.

1.随机实验的结构应当是不确定的.实验假如满足下述条件：

①实验可以在相同的情形下重复举行；②实验的全部可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次实验总是恰好浮现这些结果中的一个，但在一次实验之前却不能绝对这次实验会浮现哪一个结果。它就被称为一个随机实验.

2.离散型随机变量：假如对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则ba+=ξη也是一个随机变量.普通地，若ξ是随机变量，)(xf是延续函数或单调函数，则)(ξf也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为：,,,,21ixxx

ξ取每一个值),2,1(1=ix的概率iipxP==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

ξ

1x2x…ix…P

1p

2p

…

ip

…

有性质：①,2,1,01=≥ip；②121=++++ippp.

注重：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做延续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3.⑴二项分布：假如在一次实验中某大事发生的概率是P，那么在n次自立重复实验中这个大事恰好发生k次的概率是：

k

nkknqpCk)P(ξ-==[其中pqnk-==1,,,1,0]于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ听从二项分布，记作ξ～B（n·p），其中n，p为参数，并记p)nb(k;q

pCknkkn?=-.⑵二项分布的推断与应用.

①二项分布，实际是对n次自立重复实验.关键是看某一大事是否是举行n次自立重复，且每次实验惟独两种结果，假如不满足此两条件，随机变量就不听从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又惟独两种实验结果，此时可以把它看作自立重复实验，利用二项分布求其分布列.

4.几何分布：“k=ξ”表示在第k次自立重复实验时，大事第一次发生，假如把k次实验时大事A发生记为kA，事A不发生记为q)P(A,Akk=，那么)AAAAP(k)P(ξk1k21-==.按照互相自立大事的概率乘法分式：

))P(AAP()A)P(AP(k)P(ξk1k21-==),3,2,1(1

==-kpqk于是得到随机变量ξ的概率分布列.

ξ

123…k

…P

q

qp

pq2

…

pq1k-

…

我们称ξ听从几何分布，并记pq

p)g(k,1

k-=，其中3,2,1.1=-=kpq

5.⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取)Nnn(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)MNknM,0k(0CCCk)P(ξn

N

knM

NkM-≤-≤≤≤??=

=--.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取

法数，假如规定m＜r时0Cr

m=，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为

n.,0,1,kCCCk)P(ξnb

ak

nb

ka=?=

=+-.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ听从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分

布列可如下求得：把ba+个产品编号，则抽取n次共有nba)(+个可能结果，等可能：k)(η=含k

nkknbaC-个结果，故

n,0,1,2,k,)b

aa(1)

baa(

Cb)(ab

aCk)P(ηk

nkknn

k

nkkn=+-+=+=

=--，即η～)(baanB+?.[我们先为k个次品选定位置，共knC种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法]可以证实：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

三、数学期望与方差.

1.期望的含义：普通地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ1x2x(i)

x

…

P

1p2p

…

ip

…

则称++++=nnpxpxpxE2211ξ为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2.⑴随机变量ba+=ξη的数学期望：baEbaEE+=+=ξξη)(①当0=a时，bbE=)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当1=a时，bEbE+=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0=b时，ξξaEaE=)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：ccE=?=1ξ其分布列为：cP==)1(ξ.

⑶两点分布：ppqE=?+?=10ξ，其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：∑=?-?=

-npqp

knknkEknk

)!(!!

ξ其分布列为ξ～),(pnB.

（P为发生ξ的概率）

⑸几何分布：p

E1

=

ξ其分布列为ξ～),(pkq.（P为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(===kpxPkkξ时，则称

+-++-+-=nnpExpExpExD2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差.明显0≥ξ

D，故σξξσξ.D=为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ

的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.．

4.方差的性质.

⑴随机变量ba+=ξη的方差ξξηDabaDD2

)()(=+=.（a、b均为常数）

⑵单点分布：0=ξD其分布列为pP==)1(ξ⑶两点分布：pqD=ξ其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：npqD=ξ⑸几何分布：2

pqD=

ξ

5.期望与方差的关系.

⑴假如ξE和ηE都存在，则ηξηξEEE±=±)(

⑵设ξ和η是相互自立的两个随机变量，则ηξηξηξξηDDDEEE+=+?=)(,)(

⑶期望与方差的转化：22)(ξξξEED-=⑷)()()(ξξξξEEEEE-=-（由于ξE为一常数）0=-=ξξEE.四、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于延续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间),[ba内的概率等于它与x轴.直线ax=与直线

bx=所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为

图像的函数)(xf叫做ξ的密度函数，因为“),(+∞-∞∈x”是必定大事，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2.⑴正态分布与正态曲线：假如随机变量ξ的概率密度为：2

22)(21)(σμσ

π--

=

xe

xf.（σμ,,Rx∈为常数，且0σ），称ξ服

从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN表示.)(xf的表达式可简记为),(2

σμN，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN，则ξ的期望与方差分离为：2

,σξμξ==DE.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.②曲线关于直线μ=x对称.

③当μ=x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，展现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当x＜μ时，曲线升高；当x＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延长时，以x轴为渐近线，向x轴无限的逼近.

⑤当μ一定时，曲线的外形由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越簇拥；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体

ξ01P

q

p

ξ01P

q

p

▲

y

x

a

b

y=f(x)

的分布越集中.

3.⑴标准正态分布：假如随机变量ξ的概率函数为)(21)(2

2

+∞-∞=

-

xe

xxπ

?，则称ξ听从标准正态分布.即ξ～)1,0(N有