河北省衡水中学2022届高三第四次调研考试数学试卷全解析

衡水中学2022—2022学年度第一学期第四次调研考试高三年级数学试卷(文科)全解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共4页。共150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知的元素个数为（） A．0 B．2 C．3 D．5解：∵B={x|1<x≤3}A={-1,0,1,2,3}∴A∩B={2,3}∴选B2．已知是虚数单位，是纯虚数，则实数等于（） A．—1 B．1 C． D．—解:∵EQ\f(a+i,1+i)=EQ\f((a+i)(1-i),2)=EQ\f(a+1,2)+EQ\f(1-a,2)I∴EQ\B\lc\{(\a\al(EQ\f(a+1,2)=0,EQ\f(1-a,2)≠0,))∴a=-1∴选A3．已知数列的值为 （） A．—3 B．3C．2 D．—解：∵an+1=an+1∴{an}是以1为公差的等差数列∴a5+a7+a9=a2+a4+a6+9=27∴log3(a5+a7+a9)=3∴选B4．某物体是空心的几何体，其三视图均为右图，则其体积为（） A．8B． C．D．解：由视图知该空心的几何体的体积为：8-EQ\f(4π,3)故选D5．已知f(x)＝x＋eq\f(b,x)在(1，e)上为单调函数，则b的取值范围是()A．(－∞，1]∪[e2，＋∞)B．(－∞，0]∪[e2，＋∞)C．(－∞，e2]D．[1，e2]解：f|(x)＝1-EQ\f(b,x2)=EQ\f(x2-b,x2)∵f(x)＝x＋eq\f(b,x)在(1，e)上为单调函数∴f|(x)≥0在(1，e)上恒成立或f|(x)≤0在(1，e)上恒成立∴b≤1或b≥e2∴选A6、已知函数（其中为常数）的图象关于直线对称，（）A、 B、C、 D、解：∵函数（其中为常数）的图象关于直线对称∴=2kπ+EQ\f(π,6)或=2kπ+EQ\f(7π,6)（k∈Z）又f（EQ\f(π,2)）>f(π)∴=2kπ+EQ\f(π,6)舍去∴=2kπ+EQ\f(7π,6)（k∈Z）∴f(x)=-sin(2x+EQ\f(π,6))∴由2kπ+EQ\f(π,2)≤2x+EQ\f(π,6)≤2kπ+EQ\f(3π,2)得：f(x)的单调增区间为：∴选C7.过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（）条B.17条C.32条D.34条解：设过点作圆的弦的长为m圆的方程可化为：（x+1）2+(y-2)2=132∴过点圆的最长的弦长为26，最短的弦长为10∴m∈[10,26]又m∈Z∴m的值有10,11,12,13,14,15,16,17，18,19,20,21,22,23,24,25,26∴弦长为整数的共有2·15+2=32∴选C8、已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前n项和为，则的值为（）A、 B、 C、 D、9.在内（）A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点解：将y=EQ\r(,x)与y=cosx图像画在同一坐标系即得两图像在有且仅有一个交点故选B10.对于函数f（x）=asinx+bx+c(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是（）和6和1C.2和4和2解：设g(x)=f(x)-c=asinx+bx则g(x)是奇函数∴g(-1)+g(1)=0∴f（1）+f（-1）=2c∴所得出的正确结果一定不可能1和2∴x选D11．在等腰直角△ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若,则的最大值为（）A..1C解：令|AB|=|AC|=2，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,EQ\r(,2)),B(-EQ\r(,2),0),C(EQ\r(,2),0)∵∴M(-EQ\f(EQ\r(,2),m),-EQ\f(EQ\r(,2),m)+EQ\r(,2)),N(EQ\f(EQ\r(,2),n),-EQ\f(EQ\r(,2),n)+EQ\r(,2)),m>0,n>0又M,O,N三点共线∴-EQ\f(EQ\r(,2),m)·（-EQ\f(EQ\r(,2),n)+EQ\r(,2)）=（-EQ\f(EQ\r(,2),m)+EQ\r(,2)）·EQ\f(EQ\r(,2),n)∴m+n=2∴mn≤（EQ\f(m+n,2)）2=1∴选B12．函数的图像可能是（）解：函数f(x)的定义域为：（-1,1）又当x=EQ\f(1,2)时f(EQ\f(1,2))>0∴选C卷Ⅱ（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在题中横线上）13．线性目标函数z＝3x＋2y，在线性约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≥0，,2x－y≤0，,y≤a))下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是____．解：作出线性约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≥0，,2x－y≤0，,y≤a))所表示的可行域如图所示，因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与可行域的边界线不平行，根据图形及直线斜率可得实数a的取值范围是[2，＋∞)．14．△ABC的周长是20，面积是10eq\r(3)，A＝60°，则BC边的长等于________．OABMNCP解：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝20①,\f(1,2)bcsin60°＝10\r(3)②,cos60°＝\f(b2＋c2－a2OABMNCP由③得b2＋c2－a2＝bc，结合①知(20－a)2－2cb－a2＝bc④又由②得bc＝40，代入④得a＝7.15．已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为．解：由题知：的中点的轨迹为以O为球心以1为半径的EQ\f(1,8)的球面，∴的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为EQ\f(π,6)或36-EQ\f(π,6)16.设集合,,若则实数m的取值范围是___．解：由题知：EQ\f(m,2)≤m2∴m≤0或m≥EQ\f(1,2)当m≤0时，若使A∩B≠只需使直线x+y=2m+1与曲线（x-2）2+y2=m2有公共点，即EQ\B\lc\{(\a\al(x+y=2m+1,（x-2）2+y2=m2,))有解（x-2）2+（2m+1-x）2=m2有实根△≥0，此时，无解当m≥EQ\f(1,2)时，若使A∩B≠只需使直线x+y=2m与曲线（x-2）2+y2=m2有公共点或直线x+y=2m+1与曲线（x-2）2+y2=m2有公共点EQ\f(1,2)≤m≤2+EQ\r(,2)综上可知，实数m的取值范围为[EQ\f(1,2),2+EQ\r(,2)]三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）在中，的对边分别是，已知.求的值；(2)若，求边的值．18（本题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。（I）求a的值（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。19．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－eq\r(3)y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P满足PA，PO，PB成等比数列，求eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围．解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－eq\r(3)y＝4的距离，即r＝eq\f(4,\r(1＋3))＝2.得圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1<x2.由x2＝4即得A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，得eq\r(x＋22＋y2)·eq\r(x－22＋y2)＝x2＋y2，即x2－y2＝2.eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．由于点P在圆O内，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2<4,x2－y2＝2.))由此得y2<1.所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围为[－2,0)．20.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，.（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；（II）设AB=AP.（=1\*romani）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；（=2\*romanii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由21.已知a，b是实数，函数和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设a，b是负实数，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。解：（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即即（2）（i）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，即，设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为则；（ii）当时，因为，函数和在区间（a,b）上单调性一致，所以，即，22.如图已知圆中两条弦