2021年广东省深圳市松泉中学高二数学文下学期期末试题含解析

2021年广东省深圳市松泉中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，点M（2，）的直角坐标是（）A．（2，1） B．（，1） C．（1，） D．（1，2）参考答案：B【考点】Q6：极坐标刻画点的位置；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把点M（2，）化为直角坐标．【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，可得点M（2，）的直角坐标为（，1），故选：B．2.函数的零点所在的大致区间是

（

）A．（1，2） B．（2，e） C．（e,3） D．（e,+）参考答案：B3.2x2－5x－3<0的一个必要不充分条件是()A．－<x<3

B．－<x<0

C．－3<x<

D．－1<x<6参考答案：D4..若点P是以F1，F2为焦点的椭圆(a＞b＞0)上一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝则此椭圆的离心率e＝

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A5.已知抛物线，过点的直线交抛物线与点，交

轴于点，若，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数．是它们在第一象限的交点，当时，下列结论正确的是（

）A. B. C. D.参考答案：A7.有以下四个命题：①“所有相当小的正数”组成一个集合；②由1，2，3，1，9组成的集合用列举法表示{1，2，3，1，9}；③{1，3，5，7}与{7，5，3，1}表示同一个集合；④{y=﹣x}表示函数y=﹣x图象上所有点的集合．其中正确的是(

)A．①③ B．①②③ C．③ D．③④参考答案：C【考点】集合的相等；集合的表示法．【专题】计算题．【分析】在①中，不满足集合的确定性，故①不正确；在②中，不满足集合的互异性，故②不正确；在③中，满足集合相等的概念，故③正确；在④中不满足点集的概念，故④不正确．【解答】解：在①中，因为不满足集合的确定性，故①不正确；在②中，{1，2，3，1，9}不满足集合的互异性，故②不正确；在③中，{1，3，5，7}与{7，5，3，1}表示同一个集合，故③正确；在④中，{y=﹣x}不表示点集，故④不正确．故选C．【点评】本题考查集合的性质和集合相等及点集的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.在复平面内，复数对应的点位于()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A略9.命题在上是增函数;

命题若,则有:A.

B.

C.

D.参考答案：D10.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（

）A.

B.

C.

D.4参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆与直线及都相切，且圆心在直线上，则圆的方程为__________________.

参考答案：略12.双曲线的实轴端点为M，N，不同于M，N的点P在此双曲线上，那么PM，PN的斜率之积为

.参考答案：13.已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则?p为．参考答案：?x∈R，sinx＞1【考点】命题的否定．【分析】根据命题p：?x∈R，sinx≤1是全称命题，其否定为特称命题，将“任意的”改为“存在”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题p：?x∈R，sinx≤1是全称命题∴?p：?x∈R，sinx＞1故答案为：?x∈R，sinx＞1．14.△ABC中，若，AC=1，且，则BC=__________.参考答案：115.设点是椭圆与圆的一个交点，分别是椭圆的左、右焦点，且，则椭圆的离心率为

．参考答案：16.已知某一多面体内接于球构成一个简单的组合体，如果组合体的正视图、侧视图、俯视图均如下图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是

.参考答案：12π17.已知直线2x+my+1=0与直线y=3x-1平行，则m=_______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.．（本小题满分12分）山东省某示范性高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：

信息技术生物化学物理数学周一周三周五（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望.参考答案：19、解：（1）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则

…………3分（2）可能取值为0，1，2，3，4，5

……………9分所以，随机变量的分布列如下012345P=

………12分略19.已知函数（1）在直角坐标系中，画出函数大致图像．（2）关于的不等式的解集一切实数，求实数的取值范围；

参考答案：解：（1）图象特征大致如下，过点（0，6）定义域的偶函数，值域，在单调递减区间

（2）解法一：依题意，变形为对一切实数恒成立

，设，则

因为在单调递减（可用函数单调性定义证明或导数证明或复合函数的单调性说明）

解法二：，对一切实数恒成立设，的最小值大于等于0恒成立；

20.已知点为抛物线内一定点，过作两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．（1）当时，求△的面积的最小值；（2）若且，证明：直线过定点，并求定点坐标。参考答案：所在直线的方程为，代入中，得，设，则有，从而．则．-----------------------------3分设所在直线的方程为，同理可得．（1），．

-----------------------------4分又，故，于是△的面积，当且仅当时等号成立．所以，△的面积的最小值为

------------------------------------------6分（2），所在直线的方程为，即．

------------------------------------------9分又，即，代入上式，得，即．∵，∴是此方程的一组解，所以直线恒过定点．

------------------------------------------12分21.在中，、、分别为内角所对的边，且满足:．(1)证明：；(2)如图，点是外一点，设，，当时，求平面四边形面积的最大值．参考答案：【知识点】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式【答案解析】B解析：解：（1）证明：由已知得：，（2）由余弦定理得，则=，当即时，【思路点拨】再解三角形问题时，恰当的利用正弦定理或余弦定理进行边角的转化是解题的关键.在求三角形的面积时，若已知内角，可考虑用含夹角的面积公式进行计算.22.已知f（n）=1++++…+，g（n）=﹣，n∈N*．（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．参考答案：【考点】用数学归纳法证明不等式；不等式比较大小．【分析】（1）根据已知，，n∈N*．我们易得当n=1，2，3时，两个函数函数值的大小，比较后，根据结论我们可以归纳推理得到猜想f（n）≤g（n）；（2）但归纳推理的结论不一定正确，我们可用数学归纳法进行证明，先证明不等式f（n）≤g（n）当n=1时成立，再假设不等式f（n）≤g（n）当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式f（n）≤g（n）也成立，最后得到不等式f（n）≤g（n）对于所有的正整数n成立；【解答】解：（1）