名师教案 高中数学人教B版 必修 第三册 已知三角函数值求角

7.3.5已知三角函数值求角本节课是人教B版必修3《三角函数》一章的最后一节课，在新课程标准中，对已知三角函数值求角这一节的内容没有要求，但是很多的内容要涉及到本节课的内容。例如，立体几何中求两条异面直线的夹角，直线与平面所成的角，解析几何中直线的倾斜角。因此应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用反三角函数符号，但一定要控制本小节的难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充一些较复杂的题目，只要使学生会由已知三角函数值求角就可以。已知三角函数值求角，由于三角函数不是从定义域R到值域上的一一映射，所以已知值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定。如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可以分为以下几个步骤：第一步，确定角x可能是第几象限角；第二步，如果函数值为正数，则线求出对应的锐角x，如果函数值为负，则先求出与其绝对值对应的锐角x；第三步，如果要求出以外的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果。如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示，就不存在反三角符号了。本节的难点有三个，简单的说就是确定角的个数，认识符号，写出所求角的集合，克服难点的关键是分层次理解，弄清各层次的意义，但要注意表示形式上的不唯一。考点教学目标核心素养已知三角函数值求角掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号表示角数学抽象、逻辑推理、数形结合、数学运算特殊的三角函数值对应的角熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间上对应的角逻辑推理、数学运算解三角不等式掌握利用三角函数线或者三角函数图象解不等式及相关应用逻辑推理、数形结合、数学运算【教学重点】已知三角函数值求角、特殊的三角函数值对应的角、解三角不等式【教学难点】由已知的三角函数值求角，并会用符号表示角问题1：利用三角函数线求角答：（1）由可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为。作示意图，如图所示，可知角的终边可能是，也可能是，又因为，所以或（2）同样由图可知，如果x的终边在中，则一定有，因此，x的取值范围是知识点1利用三角函数线求角在单位圆中，eq\o(MP,\s\up6(→))是正弦线，eq\o(OM,\s\up6(→))是余弦线，eq\o(AT,\s\up6(→))是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小．【对点快练】1．sinx＝eq\f(1,2)，x∈(0,2π)，则x＝____________.答案eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)2．sinx＝eq\f(1,2)，x∈R，则x＝____________.答案eq\f(π,6)＋2kπ或eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z例1.已知，求x解：由可知，角对应的余弦线方向朝左，且长度为作示意图，如图所示，可知角的终边可能是OP，也可能是，又因为所以，或即或同前面类似，从图中可以得到不等式的解集为例2.求。解：由可知，角x对应的正切线的方向朝下，而且长度为1.作示意图，如图所示，可知角x的终边可能是，也可能是，又因为所以又由，可知或，因此或。由图象还可以得到不等式的解集为【变式练习1】分别求满足下列条件的x的值：(1)sinx＝eq\f(\r(2),2)，x∈[－π，π]；(2)cosx＝－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))；(3)tanx＝－1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；(4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，x∈[0，π]解(1)∵sinx＝eq\f(\r(2),2)，x∈[－π，π]，∴x＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).(2)∵cosx＝－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴x＝eq\f(2π,3)或eq\f(4π,3).(3)∵tanx＝－1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴x＝－eq\f(π,4).(4)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，∴2x＋eq\f(π,4)＝2kπ±eq\f(π,4)，k∈Z，∴x＝kπ或kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴x＝0，eq\f(3π,4)，π.【变式练习2】在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).解(1)作直线y＝eq\f(\r(3),2)，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①中阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)))≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)).(2)作直线x＝－eq\f(1,2)，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图②中的阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)))≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)).【变式练习3】求函数y＝eq\r(2cosx－1)的定义域．解由题意得：2cosx－1≥0，则有cosx≥eq\f(1,2).如图在x轴上取点M1使OM1＝eq\f(1,2)，过M1作x轴的垂线交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2.则OP1与OP2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x的终边的范围．∴足cosx≥eq\f(1,2)的角的集合即y＝eq\r(2cosx－1)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)))≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)).问题2：利用三角函数图象求角知识点2：利用三角函数图象求角用三角函数的图像解sinx>a(或cosx>a)的方法：(1)作出直线y＝a，y＝sinx(或y＝cosx)的图像；(2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值；(3)选取一个合适周期写出sinx>a(或cosx>a)的解集，要尽量使解集为一个连续区间．例3.写出sinx<eq\f(1,2)的解集．解作出y＝sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,2)))及y＝eq\f(1,2)的图像如下：由函数图像可知sinx<eq\f(1,2)时，eq\f(5π,6)<x<eq\f(13π,6)，所以sinx<eq\f(1,2)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(5π,6)))<x<2kπ＋\f(13π,6)，k∈Z))【变式练习】求下列函数的定义域：(1)y＝eq\r(2sinx＋1)；(2)y＝eq\r(sinx－cosx).解(1)要使y＝eq\r(2sinx＋1)有意义，则必须满足2sinx＋1≥0，即sinx≥－eq\f(1,2).结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：知函数y＝eq\r(2sinx＋1)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)))≤x≤2kπ＋\f(7π,6)，k∈Z)).(2)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图像．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图像，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的图像．所以定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋2kπ≤x≤\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z)).问题3：已知三角函数值求角的符号表示（1）任意给定一个y∈[－1,1]，当sinx＝y且x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，通常记作x＝arcsiny.（2）在区间[0，π]内，满足cosx＝y(y∈[－1,1])的x只有一个(参见下图或余弦曲线)，这个x记作arccosy，即x＝arccosy；（3）在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，满足tanx＝y(y∈R)的x只有一个(参见图下图或正切曲线)，这个x记作arctany，即x＝arctany.【对点快练】(1)arcsineq\f(1,2)＝____________；(2)arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝____________；(3)arctan1＝____________.答案：(1)eq\f(π,6)sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，∴arcsineq\f(1,2)＝eq\f(π,6).(2)eq\f(2π,3)∵coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，∴arccoseq\b\lc\(\