用空间向量解决立体几何问题

理科数学习专题

立体几何用空间向解决立体几问题一、建立空间直角标系（）义如图，OBCDD

,

A

B

,

C

,

是单位正方.以A为点，分别以OD,O

A

,OB的方向为正方向，建立三条数轴xy轴z。这时建立了一个空间直角坐标系O-xyz.建系意1、从一点出发引出的三条两两相互垂直的直线作为x,y,z轴（若题目没有直接给垂直明_）2、如何区分x轴轴（）意坐表：空间一点M的坐可以用有序实数组(,z)来示，有序实数组(x,)叫做点在此间直角坐标系中的坐标，记作Mx,yz)（叫做的横标，y叫点M的坐标，叫点的竖标）（）量坐公：中坐公：

P例：建立空间直角坐标系，并写出坐标

E（）如图，锥P中，底面ABCD为DCPA底面

AB3

，PA2，为PD的点.建系出

A

B（2）如图,在四棱锥

P

中,底

ABCD

是边长为2

的正

P

E方形,侧PAD底面,PA

22

AD,、

D

C分别为

、BD

的中点建系出A的坐标

FA

B图5（）如图所示的几何体中，四边形是腰梯形AB∥CD，∠＝°⊥面，⊥，＝＝.BD（4）如图所锥P-ABCD中，底∩BD=O,eq\o\ac(△,uu)PAC是为2，PB=PD=rr出APOF

PD

CF

OA

B

二、两个重空间量1直线的方向量（无个）把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量※直线方向量的法：如图,在空间直角坐标系中,由(x,y)与B(xz)确的直线122AB的方向向量是=2平面的法向（无数）如果直线垂直于平面α,称这条直线的方向向量垂直于平面α,记n⊥α,这时向做平面α的法向量.※平面法向量的求法：如图,ax,),xyz)是平面α内的两1122个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知⊥且n,n⊥α.换句话说,na=0=0,α.求平面的法向量的坐标的步骤第一步(设):设出平面法向量的坐标为第二步(列):根na=0=0可列出方程组第三步(解):用z表示x、y.

xx1xyz22第四步(取):取z为任意一个正数(取特殊值,求得平面一个法向n坐标.注：特殊的平面的法向量：xoy面，yoz面，面例：在棱长为2的正方体ABD中,O是面AC1111的中心,求平D的法向量.1三、利用向量证垂、平行1判断直线、面间的置关系；(1)线与直的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为,b.①,a=b,ab.②若,b=0,ab(2)线与平的位置关系直线l的方向向量a,平面α的法向量为,且lα.

11①证明线面垂直：②证明线面平行：(3)面与平的位置关系平面α的法向量n,平面β的法向量n①证明面面垂直：②证明面面平行：注意：题时，可将何法与量法进行综运用例：棱长都等于2的正三棱柱ABCB,D,E分别是AC,CC中点,求证:11AE⊥平面DBC;11四、求解空间中的度；（）异面直线间的夹围：)①几何法：②向量法：例如图直棱柱

BC11

中，D,E分是BB1

的中点，AAAC

22

AB

．求异面直线

和AD11

所成角的大小；(2)线与与面所成的角范围：）①几何法：②向量法：n是面α的法向量,a是直线l的方向向量,则l与α所成的角

n

an

2

则

a,

例：在如图所示的四棱P中，已知平面ABCDAD∥,BAD,求直线EC与面PAC所角的余弦.

为PD

的中点（）二面角①几何法：②向量法：n分别是二面角两个半平面α、β的法向量，二面角的大小可转化为计1算求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图的麻烦例：在棱长为2的正方体ABCDBD中,O是面11的中心,求二面角O—AD—D的余弦值【合训练和OS与

【练习】1.如，在四棱锥P-ABCD中，面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是的中点，作EF⊥PB交PB于(1)求：PA//平面EDB(2)求证：PB平面EFD(3)求面角C-PB-D的大小。PF

ED

CA

B2如正方形ABCD和边形ACEF所的平面互相垂直，CE⊥，EF∥，AB＝2CE＝EF＝1.(1)求证：∥面BDE求证：CF平面(3)求二面角A—BE—的小．

3.如，四棱锥PABCD中底为平行四边形，∠＝°＝AD，⊥面ABCD．(1)证明：⊥BD(2)设＝，二面角－PB－的余弦值．4ABCDABCD，EF//AB，，AB=AF=2EF=l点P在棱