优选教案：高中数学人教A版 必修 第一册 集合间的基本关系

PAGE5/7集合间的基本关系【学习目标】了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义。1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作(或)，读作“A含于B”(或“B包含A”)。2．如果集合A是集合B的子集()，且集合B是集合A的子集()，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作．3．如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集，记作(或)。4．不含任何元素的集合叫做空集，记作。5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。【学习过程】写出给定集合的子集【例1】（1）写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；（2）填写下表，并回答问题。原集合子集子集的个数由此猜想：含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？解（1）不含任何元素的集合：；含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；含有两个元素的集合：{0，1}，{0，2}，{1，2}；含有三个元素的集合：{0，1，2}。故集合{0，1，2}的所有子集为，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}。其中除去集合{0，1，2}，剩下的都是{0，1，2}的真子集。（2）原集合子集子集的个数∅∅1{a}∅，{a}2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b}4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8这样，含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2规律方法（1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏。（2）集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，个非空子集，个非空真子集。变式迁移1已知集合满足，写出集合。解由已知条件知所求为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}。集合基本关系的应用【例2】（1）已知集合，，且．求实数的取值范围；（2）本例（1）中，若将“”改为“”，其他条件不变，则实数的取值范围是什么？解（1）∵，①当时，，解得．②当时，有，解得，综上得．（2）显然，又，∴，如图所示，∴，解得。规律方法（1）分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合。（2）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示。（3）此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的。变式迁移2已知，，若，求实数所构成的集合。解由得或．∴由知或或若，则；若，则；若，则。∴。集合相等关系的应用【例3】已知集合，且，求x，y的值。解方法一∵，∴集合A与集合B中的元素相同，∴或，解得x，y的值为或或验证得，当，时，A={2，0，0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去。∴x，y的取值为或规律方法集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解。变式迁移3含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求a，b．解由集合相等得：，易知，∴，即，∴且，∴．综上所述：，.【课堂小结】1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“=”等表示。2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合，则此时，而不能是．3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：（1）判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论。（2）解数集问题学会运用数轴表示集合。（3）集合与集合间的关系可用Venn图直观表示。【课时作业】一、选择题1．下列命题①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若时，则。其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析仅④是正确的。2．已知集合，，则能使成立的实数的取值范围是()A．B．C．D．答案B解析∵，∴∴．3．设，，则A与B的关系是()A．B．C．D．答案D解析∵B的子集为{1}，{2}，{1，2}，，∴，∴．4．若集合，集合，则A与B的关系是()A．B．A∁BC．D．答案A5．在以下六个写法中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中错误写法的个数是()A．3个B．4个C．5个D．6个答案B二、填空题6．满足的集合A的个数是________。答案7解析本题即求集合的非空子集个数，共个。7．设，若，则的值为________。答案或08．若，则的所有取