2021版新数学一轮：练案 （65） 随机事件的概率含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021版新高考数学（山东专用）一轮：练案（65）随机事件的概率含解析[练案65］第四讲随机事件的概率A组基础巩固一、单选题1．(2019·湖北十市联考）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（D）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球"B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”[解析］A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件;C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系．2．(2019·江西模拟)集合A＝{2,3｝，B＝｛1，2,3｝,从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是（C）A．eq\f（2，3） B．eq\f(1，2)C．eq\f（1，3) D．eq\f(1,6）［解析］从A、B中各取一个数有(2,1)，（2,2),(2,3），(3,1），（3,2)，(3，3)共6种情况，其中和为4的有（2,2)，（3,1),共2种情况，所求概率P＝eq\f（2,6)＝eq\f(1,3），选C.3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq\f(1,2），甲获胜的概率是eq\f（1，3)，则甲不输的概率为（A）A．eq\f（5，6) B．eq\f（2,5)C．eq\f（1,6） D．eq\f(1，3)［解析］由题意得,甲不输的概率为eq\f（1,2）＋eq\f(1，3）＝eq\f(5，6）。4．（2019·山东滨州)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P(m，n)落在直线x＋y＝4下方的概率为（C)A．eq\f（1，6) B．eq\f（1,4)C．eq\f(1,12) D．eq\f（1,9)［解析］试验是连续掷两次骰子,故共包含6×6＝36个基本事件．事件“点P（m，n）落在x＋y＝4下方”，包含（1，1),(1，2)，(2，1）共3个基本事件，故P＝eq\f（3，36）＝eq\f（1,12）。5．(2020·安徽模拟）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为(D)A．eq\f(2,3） B．eq\f(2，5)C．eq\f（3，5） D．eq\f（9,10）[解析]事件“甲或乙被录用"的对立事件是“甲和乙都未被录用”,从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用"只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－eq\f（1，10）＝eq\f(9，10）。6．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为eq\f(2,3),则这班参加聚会的同学的人数为(B)A．12 B．18C．24 D．32[解析］设女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6）人，所以eq\f（x,2x－6）＝eq\f（2,3)，得x＝12，故该班参加聚会的同学有18人．故选B。7．（2019·赤峰模拟）先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是（D）A．eq\f（1，8） B．eq\f(3，8)C．eq\f(5,8) D．eq\f（7，8）［解析］至少一次正面朝上的对立事件的概率为eq\f（1,8)，故P＝1－eq\f(1，8）＝eq\f（7，8）.8．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（B)A．eq\f(1,5） B．eq\f(2，5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5）[解析]P＝eq\f（C\o\al(1，2）C\o\al（1,3),C\o\al（2,6))＝eq\f（2,5）。二、多选题9．若干个人站成排，其中不是互斥事件的是（BCD）A．“甲站排头"与“乙站排头"B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头"与“乙不站排尾”［解析］排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥,故选BCD。10．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是（ABD）A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色［解析]从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色"“2张都为蓝色"“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色"“1张绿色1张蓝色”,在选项给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡片都为绿色",其中“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥事件．故选ABD.11．（原创)下列结论不正确的是(ABCD)A．任意事件A发生的概率P（A)满足0<P（A)〈1B．概率为0的事件是不可能事件C．若A，B为互斥事件,则A的对立事件与B的对立事件一定互斥D．若P(A∪B）＝P(A）＋P(B)，则事件A、B互斥［解析］事件A发生的概率P(A）满足0≤P(A)≤1，A错；在半径为R的圆内任取一点，取到圆心的概率为0，但不是不可能事件，B错；记掷一只骰子出现1点为事件A，出现2点为事件B,显然A、B互斥,而eq\o（A,\s\up6(－)）与eq\o(B，\s\up6(－）)不互斥，C错;事件A：在实数集中任取x,x≥0，事件B：在实数集中任取y，y≤0，显然P(A)＋P(B)＝eq\f（1，2)＋eq\f（1，2)＝1＝P(A∪B），而A、B不互斥，D错；故选ABCD。三、填空题12．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为eq\f(11,15）.［解析]记取出的两球颜色不同为事件A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1，2）＋C\o\al（1,2)C\o\al（1,3）＋C\o\al（1，1）C\o\al(1，3），C\o\al(2,6))＝eq\f(11，15）(或P(A)＝1－P（A）＝1－eq\f(C\o\al（2，2）＋C\o\al(2，3），C\o\al（2，6））＝eq\f（11,15）)．13．(2019·浙江模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是eq\f(9，10)。［解析]所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有10种，所以所求概率为eq\f(9，10).另解：记取出的3个球中至少有一个白球为事件A，则P(A）＝1－P(eq\o（A，\s\up6(－）)）＝1－eq\f（1，10)＝eq\f（9,10)。14．(2019·石家庄模拟)从一副混合后的扑克牌(52张，不含大小王）中，随机抽取1张，事件A为“抽到红桃K",事件B为“抽得黑桃”．则P(A∪B）＝eq\f（7,26）（结果用最简分数表示）．[解析］因为P（A)＝eq\f(1，52）,P(B）＝eq\f（13,52)，所以P(A∪B）＝P（A）＋P(B）＝eq\f（1,52）＋eq\f(13，52)＝eq\f（14，52)＝eq\f(7，26）。故填eq\f（7,26）.四、解答题15．（2020·湖南益阳、湘潭统测)为了了解某校学生课外时间的分配情况，拟采用分层抽样的方法从该校的高一、高二、高三这三个年级中共抽取5个班进行调查，已知该校的高一、高二、高三这三个年级分别有18、6、6个班级．(1）求分别从高一、高二、高三这三个年级中抽取的班级个数;（2）若从抽取的5个班级中随机抽取2个班级进行调查结果的对比，求这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率．[解析](1)班级总数为18＋6＋6＝30，样本容量与总体中的个体数比为eq\f（5，30)＝eq\f（1，6），所以从高一、高二、高三这三个年级中分别抽取的班级个数为3,1,1.(2）从5个班级中随机抽取2个班级共有Ceq\o\al(2，5）＝10种抽法，抽取的两个班级中至少有一个班级来自高一年级的抽法有Ceq\o\al（2,3）＋Ceq\o\al(1，3)Ceq\o\al(1，2)＝9种抽法．故所求概率P＝eq\f（9，10).16．某险种的基本保费为a（单位：元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a1.251.51。752随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费",求P（A）的估计值；(2）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值．［解析](1）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60＋50,200)＝0.55,故P(A）的估计值为0。55。(2）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f(30＋30，200)＝0。3,故P（B）的估计值为0.3.（3)由所给数据得保费0.85a1。251.51。752频率0.300.250。150.150。100。05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0。25＋1.25a×0。15＋1.5a×0。15＋1.75a×0.10＋因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925aB组能力提升1．（2017·北京春考)在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，那么甲同学被选中的概率为(D）A．1 B．eq\f（1，3）C．eq\f（1,2) D．eq\f（2,3)［解析]从甲、乙、丙三位同学中任选两人有以下三种情况：（甲，乙），（甲、丙)，（乙、丙)，其中含有甲的有两种，所以甲同学被选中的概率为eq\f(2,3）,故选D.2．(2020·广东湛江调研)从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任取2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为(D）A．0.6 B．0。5C．0。4 D．0。3[解析]P＝eq\f（C\o\al（2，3)，C\o\al(2,5））＝eq\f（3，10)。3．（2019·江西宜春中学二模)五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面向上,则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为(C）A．eq\f（1,2） B．eq\f（15，32)C．eq\f(11，32) D．eq\f（5,16）[解析]设五个人的编号分别为1，2，3，4，5，由题意,所有事件共有25＝32种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有（1)，(2),（3)，(4)，（5)，（1，3），(1，4)，（2，4），(2，5）,(3，5)以及没有人站起来，共11种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为eq\f(11，32)，故选C.4．（2019·湖南五十校联考)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(A)A．eq\f（1,3） B．eq\f（4,9）C．eq\f（5，9) D．eq\f(2，3）[解析］记齐王的三匹马分别为a1，a2，a3，田忌的三匹马分别为b1，b2,b3，齐王与田忌赛马，其情况有(a1,b1)，（a1，b2）,（a1，b3)，(a2，b1)，(a2,b2），（a2，b3），（a3,b1)，(a3，b2)，（a3,b3)共9种；其中田忌的马获胜的情况有(a2，b1)，（a3,b1)，(a3，b2）共3种．则田忌的马获胜的概率为eq\f（3,9）＝eq\f(1，3),故选A.5．（2017·课标全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：最高