n维空间中点集

n维空间中点集第5讲n维空间中的点集一．聚点、内点、边界点与Bolzano-Weirstrass定理问题1：给定Rn中一个集合E及点P，P与

E有几种可能的关系？第5讲n维空间中的点集定义1

设，（i）若存在，使，则称为的内点。（ii）若对任意，则称为的边界点。（iii）若对任意，中总有中除外的点，即,则称为聚点。第5讲n维空间中的点集

不难看到，如果对任意，，则中一定含中无穷多个点。定义2

若，则的聚点全体记作，称为的导集，称为的闭包，记为。定理1的充要条件是为的一个极限点，即存在一串互异的，使得。

第5讲n维空间中的点集

证明：充分性由聚点的定义不难得到。为证必要性，令，由于，故，取中可能有相同者，为避免这种情况发生，不妨取，则存在，使第5讲n维空间中的点集

，再取，假如已取到个互不相同的点，且，则取，显然第5讲n维空间中的点集但，于是可取从而互不相同。由归纳法知可找到一串互异的点满足。证毕。第5讲n维空间中的点集定理2若，则。定理3若，则第5讲n维空间中的点集定理3的证明：由于，由定理2立得。现设，则对任意，，从而含或中点，由定理1，知存在一串互异的点，使第5讲n维空间中的点集

中必有无穷多个都属于或都属于，不妨设，则由，知。如果有无穷多个在中，则将会有，总之。从而。综上。证毕。第5讲n维空间中的点集*定理4（波尔察诺-外尔斯特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理）若是中一个有界的无穷集合，则至少有一个聚点，即。第5讲n维空间中的点集Bolzano-Weirstrass定理的证明：为简单计，只就的情形证之，一般情形可类似证明，只需将正方形换成维立方体便可。因为有界，故有常数，使

，用坐标轴将分为四个小正方形，每个小正方形边长显然为，由是无穷的，显然四个小正方形中，至少有一个闭正方形含中无穷多个点，记此小正方形为，再次用平行于坐标轴的直线将分为四个第5讲n维空间中的点集小正方形，则每个小正方形的边长，同理，其中至少有一个小闭正方形含中无穷多个点，记此小闭正方形为。依此方式进行下去，可得一串小闭正方形，的边长为，且含中无穷多个点。此外还有，于是由闭矩形套定理知含唯一的点，记此点为。则因对任意，是无穷集，任取，则，取，使

，则，取，则，假设已取了个互异的点，，则取使显然，又取

第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集则是个互异点，且，这说明是的极限点，从而。证毕。

与聚点相对的概念是孤立点，集合的边界点若不是的聚点，则称为的孤立点。当然，的孤立点一定在中。如果的每一点都是孤立点，则称为孤立集合。第5讲n维空间中的点集二．开集与闭集问题3：回忆直线上的开区间与闭区间，它们有何异同？第5讲n维空间中的点集定义3

若集合的每一个点都它的内点，则称为开集。定义4

若，则称为闭集。按上述定义易得定理5，恒为闭集。

第5讲n维空间中的点集

证明：假设，则对的任意邻域，，任取，则由知对的任意邻域，第5讲n维空间中的点集不妨设，则，且。任取，则。这说明，的任意邻域中均含中除外的点，从而，即，所以第5讲n维空间中的点集故而是闭集。证毕。第5讲n维空间中的点集开集与闭集的关系：

定理6假设，则

是闭集当且仅当是开集。

推论1若是开集，是闭集，则是开集，是闭集。

第5讲n维空间中的点集开集、闭集的性质：定理7任意一簇闭集之交为闭集；任意有限个闭集之并仍为闭集。

第5讲n维空间中的点集

证明：不妨设为闭集，因，故，从而，所以是闭集。下设为闭集，则，因此为闭集。证毕。第5讲n维空间中的点集定理8任意一簇开集之并为开集，任意有限个开集之交仍为开集。

证明：设为开集，则，由定理6，每个是闭集，再由定理7知是闭集，从而是开集。第5讲n维空间中的点集又设为开集，则，为有限个闭集的并，从而为闭集，所以为开集。证毕。第5讲n维空间中的点集

应该注意到，任意多个开集之交未必是开集，任意多个闭集之并也未必是闭集，例如前者为可数个开集之交，后者为可数个闭集之并。三．Borel有限覆盖定理

问题4：回忆数学分析中的有限覆盖定理及其证明，该证明对Rn中的有界闭集是否也适用？第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集

定理9（Borel有限覆盖定理）设F是有界闭集，是一簇开集，F，则一定存在F中有限个开集，使得