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数值微分和数值积分2

数值微分和数值积分的基本思想是:根据给出的数据表,先求出f(x)的一个”近似”函数,然后对这个“近似”函数求导或求积.如果这里的”近似”是插值意义下的近似,由此得到的公式称为插值型的数值微分或数值积分公式.本章讨论的都是插值型的.且都是取等距节点.我们的目的是导出一组与函数无关的求导系数和求积系数.从而得到能够对任意函数都通用的公式.3向量组及其线性相关性1,向量组其几何意义就是用割线的斜率近似代替切线的斜率.§2数值微分一二点公式给出两个点及其函数值,做一个一次插值多项式,对这个插值多项式求导,得到:当然也可以用泰勒展开来导出上述公式.42,线性方程组的向量表示二三点公式给出三个等距节点及其函数值,做一个二次插值多项式,对这个插值多项式求导,得到:由于采用的是等距节点,所以得:53,线性组合与线性表示定义2Th1

由此可得数值微分的三点公式:由于基本插值多项式与被插函数f(x)无关,所以所得到的求导系数与函数f(x)无关.64,向量组的等价及矩阵的行(列)向量的线性表示定义3现在讨论等距节点下的插值型数值积分公式§3Newton-Cotes数值积分公式所以求积系数其中是与被积函数,积分区间都无关而仅与n和k有关的常数,称为Cotes系数.由此可得Newton-Cotes公式:7例一矩形公式(n=0)左矩形公式右矩形公式其几何意义就是用矩形面积近似代替曲边梯形的面积.中矩形公式二梯形公式(n=1)这时两个Cotes系数都是1/2,这就得到:类似可得更高阶的N-C公式8定义3的矩阵表示三N-C公式的截断误差再由积分中值定理可得9定义3的矩阵表示特别当n=1时(即梯形公式)的误差为:当n=2时(即Simpson公式)的误差为:10

Cotes系数的性质:

1.2.当n<8时在使用N-C公式时要注意:1.由误差公式可知,n应尽可能取偶数;2.由于多项式插值是不收敛的,所以n不宜取得很大;3.为了保证算法的稳定,应取n<8.11例§4复合求积公式基本思想:由于积分值与被积函数在个别点上的性质无关,为了提高精度,对被积函数作低次分段插值,然后再积分.一复合梯形公式12例复合梯形公式的误差:二复合Simpson公式136,线性方程组的等价性例:用复合梯形和复合Simpson公式计算积分要求其误差不超过复合Simpson公式的误差例:用复合梯形和复合Simpson公式计算积分要求其误差不超过14

复合梯形公式误差的事后估计法因为由此可得复合梯形公式误差的事后估计法同理可得复合Simpson公式误差的事后估计法157,向量组的线性相关性定义4三变步长的梯形法16例由此得到了关于复合梯形公式的一个递推关系:这个递推公式称为变步长的梯形法这个公式既可以减少很多计算量,又可以方便地进行误差的事后估计.例:求积分,要求17线性方程组的相关性Th2依次类推,可以得到Romberg求积公式.这是一个复合求积公式的加速方法,其

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