二重积分积分区域的对称性

定理4设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于x轴对称，则TOC\o"1-5"\h\z1)当f(x,-y)二—f(x,y)(即f(x,y)是关于y的奇函数)时，有fff(x,y)dxdy=0 .D2)当f(x,-y)=f(x,y)(即f(x,y)是关于y的偶函数)时，有fff(x,y)dxdy=2fff(x,y)dxdy .D D1其中D是由x轴分割D所得到的一半区域。1例5计算I=ff(xy+y3)dxdy，其中D为由y2=2x与x=2围成的区域。D解：如图所示，积分区域D关于x轴对称，且f(x,-y)二-(xy+y3)二一f(x,y)D类似地，有即f(x,y)是关于y的奇函数，由定理1有fff(xy+y3)dxdy=0D类似地，有定理5设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于y轴对称，则fff(x,yfff(x,y)dxdy2fff(x,y)dxdy,当f(-x,y)=f(x,y).< d0,当f(-x,y)=f(x,y).其中D是由y其中D是由y轴分割D所得到的一半区域。例6计算I= 2xDy=2x+2;y= -及解：如图所示，D关yd其d中yD为由2所围。于y轴对称，并且f(—x,yY2x于f”即被积分函数是关于x轴的偶函数，由对称性定理结论有：215I—ffx2ydxdy—2ffx2ydxdy—2f1dxf—2x+2x221500D D1定理6设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于x轴和y轴都对称，则(1)当f(-x,y)二-f(x,y)或f(x,-y)二-f(x,y)时，有fff(x,y)dxdyD(2)当f(-x,y)ffD(2)当f(-x,y)fff(x,y)dxdyD=f(x,—y)=f(x,y)时，有=4fff(x,y)dxdyD1其中D为由x轴和y轴分割D所的到的1/4区域。9例7计算二重积分1—ff(Dx|+|y|)dxdy，其中D：解：如图所示，D关于x轴和y轴均对称，且被积分函数关于x和y是偶函数，即有f(x,—y)—f(—x,y)—f(x,y)，由定理2，得I—ff(|x|+|y|)dxdy—4ff(|x|+|y|)dxdyDD1其中D是D的第一象限部分，由对称性知，1ff|x|dxdyD1+y<1.x|ydxdy,D1故I=4ff(|x|+|y|)dxdyD1=4ff(|x|+|x|)dxdyD18ff|xdxdyD1y二y二x3与y二x所围区域.情形二、 积分区域D关于原点对称定理7设平面区域D—D+D，且D,D关于原点对称，则当D上连续函数满足1212f(—x,—y)—f(x,y)时，有fff(x,y)dxdy—2fff(x,y)dxdyD D1f(—x,—y)——f(x,y)时，有JJf(x,y)dxdy=0.例8计算二重积分ff(x3+y3)dxdy,D为D解:如图所示，区域D关于原点对称，对于被积函数f(x,y)二x3+y3，有f(—x,—y)二(—x)3+(—y)3二—(x3+y3)二一f(x,y)，有定理7,得JJ(x3+y3)dxdy=0.D情形三、 积分区域D关于直线y=±x对称定理8设二元函数f(x，y)在平面区域D连续，且D-Di+D2，DP关于直线y二x对称，则1)JJf(x,y)dxdy=JJf(y,x)dxdy；DDJJf(x,y)dxdy二JJf(x,y)dxdy.2)当/(y,2)当/(y,x)=—f(x,y)时，有U/(x,y)dxdy=0D3)当f(y,x)二f(x,y)时，有J!f(x,y)dxdy二2fff(x,y)dxdyDD1例9求I二JJ(-+二)dxdy，D为x2+y2<R2所围.a2 b2D解:积分区域D关于直线y二x对称，由定理&得+二)dxdy，a2b2JJ(竺+竺)dxdy=JJ(竺a+二)dxdy，a2b2DJJ(竺+ )dxdya2b2D=-[JJ(乂+兰)dxdy+JJ(竺+ )dxdya2b2D2a2 b2 a2b2DD1 1 1 11 1—(—+——)JJ(x2+y2)dxdy=—(—+——)J2兀d0JRr2rdr2 a2 b2 2 a2 b2 00兀 1兀 1R4(一+4a2可得：类似地，存.类似地，定理9设二元函数f(x，y)在平面区域D连续，且D-£+D2，DP关于直线y二x对称,则(1)当f(—y,—x)二—f(x,y)，则有f(x,y)dxdy=0；(2)当f(-y,-x)二f(x,y),则有JJf(x,y)dxdy2JJf(x,y)dxdy由以上性质,得:由以上性质,得:DD1例10计算I=JJ(x2+y2)arcsin(x+y)dxdy,其中d为D区域：0<X<1,-1<y<0.解:如图所示,积分区域D关于直线y=-x对称,且满足f(-y,-