2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）

2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|x＜3}，则A∩B=___．2.（填空题，4分）函数y=log2（x-1）的定义域是___．3.（填空题，4分）若复数z满足iz=-i（i为虚数单位），则|z|=___．4.（填空题，4分）（x+2）6的展开式中x3的系数为___.（结果用数值表示）5.（填空题，4分）已知cosα=，则行列式的值为___．6.（填空题，4分）某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为___．7.（填空题，5分）设P为直线y=2x上的一点，且位于第一象限，若点P到双曲线-y2=1的两条渐近线的距离之积为27，则点P的坐标为___．8.（填空题，5分）已知x＞0，y＞0，且+=1，则4x+y的最小值为___．9.（填空题，5分）有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是___.（结果用最简分数表示）10.（填空题，5分）已知P1、P2、P3、⋯、P10是抛物线y2=8x上不同的点，点F（2，0），若++…+=，则||+||+…+||=___．11.（填空题，5分）若数列{an}满足an+an+1+an+2+…+an+k=0（n∈N*，k∈N*），则称数列{an}为“k阶相消数列”．已知“2阶相消数列”{bn}的通项公式为bn=2cosωn，记Tn=b1b2…bn，1≤n≤2021，n∈N*，则当n=___时，Tn取得最小值．12.（填空题，5分）已知点O（0，0）、A0（2，3）和B0（5，6），记线段A0B0的中点为P1，取线段A0P1和P1B0中的一条，记其端点为A1、B1，使之满足（|OA1|-5）（|OB1|-5）＜0，记线段A1B1的中点为P2，取线段A1P2和P2B1中的一条，记其端点为A2、B2，使之满足（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，依次下去，得到点P1、P2、…，Pn、…，则|A0Pn|=___．13.（单选题，5分）已知a、b∈R，则“＞1”是“b＞a”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要14.（单选题，5分）下列函数中，以为周期且在区间[，]上单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=sin4xD.f（x）=cos2x15.（单选题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AB、BC、BB1的中点，以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A.B.C.D.16.（单选题，5分）已知向量与的夹角为120°，且•=-2，向量满足=λ+（1-λ）（0＜λ＜1），且•=•，记向量在向量与方向上的投影分别为x、y．现有两个结论：①若λ=，则||=2||；②x2+y2+xy的最大值为．则正确的判断是（）A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立17.（问答题，14分）如图，已知圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点．

（1）求此圆锥的表面积；

（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=3x．

（1）设y=f-1（x）是y=f（x）的反函数，若f-1（x1x2）=1，求f-1（x13）+f-1（x23）的值；

（2）是否存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+为奇函数，若存在，求m的值，并证明此时g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，若不存在，请说明理由．19.（问答题，14分）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，∠ACB=，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）．

（1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）

（2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若∠BPC=，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．20.（问答题，16分）已知P（0，1）为椭圆C：+=1内一定点，Q为直线l：y=3上一动点，直线PQ与椭圆C交于A、B两点（点B位于P、Q两点之间），O为坐标原点．

（1）当直线PQ的倾斜角为时，求直线OQ的斜率；

（2）当△AOB的面积为时，求点Q的横坐标；

（3）设=λ，=μ，试问λ-μ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21.（问答题，18分）已知有穷数列{an}的各项均不相等，将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{pn}，称{pn}为{an}的“序数列”．例如，数列a1、a2、a3满足a1＞a3＞a2，则其“序数列”{pn}为1、3、2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”．

（1）若数列3-2x、5x+6、x2的“序数列”为2、3、1，求实数x的取值范围；

（2）若项数均为2021的数列{xn}、{yn}互为“保序数列”，其通项公式分别为xn=（n+）•（）n，yn=-n2+tn（t为常数），求实数t的取值范围；

（3）设an=qn-1+p，其中p、q是实常数，且q＞-1，记数列{an}的前n项和为Sn，若当正整数k≥3时，数列{an}的前k项与数列{Sn}的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p、q满足的条件．

2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|x＜3}，则A∩B=___．【正确答案】：[1]{x|2＜x＜3}【解析】：利用交集定义直接求解．

【解答】：解：∵集合A={x|x＞2}，B={x|x＜3}，

∴A∩B={x|2＜x＜3}．

故答案为：{x|2＜x＜3}．

【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，4分）函数y=log2（x-1）的定义域是___．【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：由函数的解析式知，令真数x-1＞0即可解出函数的定义域．

【解答】：解：∵y=log2（x-1），∴x-1＞0，x＞1

函数y=log2（x-1）的定义域是（1，+∞）

故答案为（1，+∞）

【点评】：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．3.（填空题，4分）若复数z满足iz=-i（i为虚数单位），则|z|=___．【正确答案】：[1]2【解析】：根据复数的四则运算先化简复数，然后计算复数的长度即可

【解答】：解：∵，

∴-z=i+1，

∴z=-1-i，

∴|z|==2，

故答案为：2．

【点评】：本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，比较基础．4.（填空题，4分）（x+2）6的展开式中x3的系数为___.（结果用数值表示）【正确答案】：[1]160【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3的系数．

【解答】：解：由于（x+2）6的二项展开式的通项公式为Tr+1=•2r•x6-r，

令6-r=3，求得r=3，

∴展开式中x3的系数是：23•=160．

故答案为：160．

【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5.（填空题，4分）已知cosα=，则行列式的值为___．【正确答案】：[1]【解析】：利用行列式的定义，结合同角三角函数的基本关系式，求解即可．

【解答】：解：cosα=，

=1-sin2α=cos2α=．

故答案为：．

【点评】：本题考查行列式的定义，同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.（填空题，4分）某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为___．【正确答案】：[1]200【解析】：利用分层抽样的性质直接求解．

【解答】：解：现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，

则样本中中年人的人数为：

400×=200．

故答案为：200．

【点评】：本题考查样本中中年人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，5分）设P为直线y=2x上的一点，且位于第一象限，若点P到双曲线-y2=1的两条渐近线的距离之积为27，则点P的坐标为___．【正确答案】：[1]（3，6）【解析】：设出点的坐标，求出双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出方程求解即可．

【解答】：解：由题意设P（s，2s），s＞0，

双曲线-y2=1的两条渐近线x±2y=0，

点P到双曲线-y2=1的两条渐近线的距离之积为27，

可得，解得s=3，

所以P（3，6）．

故答案为：（3，6）．

【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．8.（填空题，5分）已知x＞0，y＞0，且+=1，则4x+y的最小值为___．【正确答案】：[1]25【解析】：4x+y=（+）（4x+y）=++17，然后利用基本不等式可解决此题．

【解答】：解：∵x＞0，y＞0，且+=1，

∴4x+y=（+）（4x+y）=++17≥2+17=25，

当且仅当即x=y=5时等号成立，∴4x+y的最小值为25．

故答案为：25．

【点评】：本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于基础题．9.（填空题，5分）有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是___.（结果用最简分数表示）【正确答案】：[1]【解析】：根据题意，分步计算“6个人进行全排列”和“后排每人都比前排任意一位同学高”的排法，由古典概型公式计算可得答案．

【解答】：解：根据题意，将6个人进行全排列，共有A66=720排法，

若后排每人都比前排任意一位同学高，则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，

共有A33A33=36种排法，

则后排每人都比前排任意一位同学高的概率P==；

故答案为：．

【点评】：本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的性质以及应用，属于基础题．10.（填空题，5分）已知P1、P2、P3、⋯、P10是抛物线y2=8x上不同的点，点F（2，0），若++…+=，则||+||+…+||=___．【正确答案】：[1]40【解析】：设P1、P2、P3、⋯、P10的横坐标x1，x2......x10，由向量的和为零向量，可得x1+x2+.....x10=20，再由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，可得向量的模的和的值．

【解答】：解：设P1、P2、P3、⋯、P10的横坐标x1，x2......x10，

由抛物线的方程y2=8x可得准线方程x=-2，

因为++…+=，所以（x1+x2+.....x10-10×2，y1+y2+.....+y10）=（0，0），

所以x1+x2+.....x10-10×2=0，即x1+x2+.....x10=20，

由抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离可得：||+||+…+||=（x1+2）+.....（x10+2）=x1+x2+.....x10+10×2=20+20=40，

故答案为：40．

【点评】：本题考查抛物线的性质的应用及向量的运算性质的应用，属于基础题．11.（填空题，5分）若数列{an}满足an+an+1+an+2+…+an+k=0（n∈N*，k∈N*），则称数列{an}为“k阶相消数列”．已知“2阶相消数列”{bn}的通项公式为bn=2cosωn，记Tn=b1b2…bn，1≤n≤2021，n∈N*，则当n=___时，Tn取得最小值．【正确答案】：[1]2020【解析】：由bn+bn+1+bn+2=0可求出{bn}周期，对cosωn+cosω（n+1）+cosω（n+2）=0变形可求得cosω=，从而求得cos2ω，cos3ω，得到{bn}的前三项，分析Tn的正负情况，可得n=3k+1（k∈N）时Tn为负值，对此时的Tn的求表达式可得-2k，k最大时Tn有最小值．

【解答】：解：由已知得bn+bn+1+bn+2=0（n∈N*），

故bn+1+bn+2+bn+3=0（n∈N*），

故bn=bn+3（n∈N*），{bn}的周期为3，

设bn=2cn，其中cn=cosωn，故{cn}的周期为3，

由题意有cosωn+cosω（n+1）+cosω（n+2）=0，

由和差化积公式有2cos（）cos（）+cosω（n+1）=0，

故2cos[ω（n+1）]cosω+cos[ω（n+1）]=0，

因此（2cosω+1）cos[ω（n+1）]=0，

若ω（n+1）=+kπ（k∈Z），不存在这样的ω对任意n恒成立，故舍，

则cosω=，

c1=cosω=，c2=cos2ω=2cos2ω-1=，

由三倍角公式有c3=cos3ω=4cos3ω-3cosω=1，

故Tn=b1b2…bn=2nc1c2…cn，

当n=3k+1（k∈N）时Tn＜0，

当n=3k+2（k∈N）时Tn＞0，

当n=3k+3（k∈N）时Tn＞0，

当n=3k+1（k∈N）时，Tn=2n（c1c2c3）kc1=2n（）k（-）=-2k，

3k+1≤2021，故k≤673，此时Tn最小，此时n=2020，

故答案为：2020．

【点评】：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.（填空题，5分）已知点O（0，0）、A0（2，3）和B0（5，6），记线段A0B0的中点为P1，取线段A0P1和P1B0中的一条，记其端点为A1、B1，使之满足（|OA1|-5）（|OB1|-5）＜0，记线段A1B1的中点为P2，取线段A1P2和P2B1中的一条，记其端点为A2、B2，使之满足（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，依次下去，得到点P1、P2、…，Pn、…，则|A0Pn|=___．【正确答案】：[1]【解析】：设线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（x，y），可得P（3，4），根据已知条件可得A1，B1，A2，B2•••中必有一点在P（3，4）的左侧，一点在P（3，4）的右侧，再由P1，P2，…Pn，…是中点，可得出P1，P2，…Pn，…的极限即为P（3，4），即可求解．

【解答】：解：由（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，可知|OA2|和|OB2|一个大于5一个小于5，

设线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（x，y），

由=5且，可得x=3，y=4，

所以线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（3，4），

若（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，则A1，B1应在点P（3，4）的两侧，

所以第一次应取A1，B1，A2，B2•••中必有一点在P（3，4）的左侧，

一点在P（3，4）的右侧，因为P1，P2，…Pn，…是中点，

所以P1，P2，…Pn…的极限为P（3，4），

所以|A0Pn|=|A0P|=，

故答案为：．

【点评】：本题考查数列极限，考查学生的运算能力，属于难题．13.（单选题，5分）已知a、b∈R，则“＞1”是“b＞a”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：D【解析】：因为＞1可化为：＞0，然后分别对a＞0，a＜0讨论得出b与a的关系，进而可以求解．

【解答】：解：因为＞1可化为：＞0，

当a＞0时，b-a＞0，即b＞a；

当a＜0时，b-a＜0，即b＜a，

所以与b＞a没有关系，

故选：D．

【点评】：本题考查了四个条件的关系的应用，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．14.（单选题，5分）下列函数中，以为周期且在区间[，]上单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=sin4xD.f（x）=cos2x【正确答案】：A【解析】：由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．

【解答】：解：由于f（x）=|cos2x|的周期为×=，在区间[，]上，2x∈[，π]，f（x）单调递增，故A满足条件；

由于f（x）=|sin2x|的周期为×=，在区间[，]上，2x∈[，π]，f（x）单调递减，故排除B；

由于f（x）=sin4x的周期为=，在区间[，]上，4x∈[π，2π]，f（x）没有单调性，故排除C；

由于f（x）=cos2x的周期为=π，在区间[，]上，2x∈[，π]，f（x）单调递减，故排除D，

故选：A．

【点评】：本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．15.（单选题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AB、BC、BB1的中点，以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A.B.C.D.【正确答案】：C【解析】：连接A1C1，BC1，C1D，并分别取它们的中点R1，P1，Q1，连接AC1，RR1，PP1，QQ1，R1P1，P1Q1，Q1R1，利用线面垂直的判定定理和性质证明三棱柱PQR-P1Q1R1为直三棱柱，由体积公式求解即可．

【解答】：解：如图，连接A1C1，BC1，C1D，并分别取它们的中点R1，P1，Q1，连接AC1，RR1，PP1，QQ1，R1P1，P1Q1，Q1R1，

则RR1||AC1，PP1||AC1，QQ1||AC1，且RR1=AC1，PP1=AC1，QQ1=AC1，

连接AC，可得AC⊥PQ，

因为CC1⊥平面ABCD，又PQ⊂平面ABCD，

则CC1⊥PQ，

又CC1∩AC=C，AC，CC1⊂平面C1CA，

所以PQ⊥平面C1CA，又AC1⊂平面C1CA，

所以PQ⊥AC1，

同理可得，AC1⊥PR，

又PQ∩PR=P，

则AC1⊥平面PQR，

所以RR1⊥平面PQR，PP1⊥平面PQR，QQ1⊥平面PQR，

则三棱柱PQR-P1Q1R1为直三棱柱，

由正方体的棱长为1，可得PQ=QR=PR=，RR1=，

故=．

故选：C．

【点评】：本题考查了空间中线线、线面位置关系的判断，线面垂直的判定定理和性质的应用，棱柱的体积公式的理解与应用，属于中档题．16.（单选题，5分）已知向量与的夹角为120°，且•=-2，向量满足=λ+（1-λ）（0＜λ＜1），且•=•，记向量在向量与方向上的投影分别为x、y．现有两个结论：①若λ=，则||=2||；②x2+y2+xy的最大值为．则正确的判断是（）A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立【正确答案】：C【解析】：①根据及与的夹角为120°求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；

②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合可得：OC⊥AB，利用投影公式求出，只需求出||最大值，利用面积公式和基本不等式求出||最大值为1，进而求出x2+y2+xy最大值．

【解答】：解：由，解得，

当时，，

由得，，

即，

由得，

因为，

假设，则可求出，

代入中，等号不成立，故①错误；

设，

因为，

由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，

设，则，

因为，

所以，

即，

所以，

，

而要想保证最大，只需|AB|最小，

由余弦定理可得：，

当且仅当时等号成立，

所以|AB|最小值为，

所以最大值为，

故的最大值为，②正确；

故选：C．

【点评】：本题考查平面向量基本定理，数量积的综合应用，属于综合题．17.（问答题，14分）如图，已知圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点．

（1）求此圆锥的表面积；

（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小．【正确答案】：

【解析】：（1）由圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，求出SA=4，由此能求出圆锥的表面积．

（2）以O为原点，OQ为x轴，OA为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线SO与PQ所成角的大小．

【解答】：解：（1）∵圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，

得SA=4，

∴圆锥的表面积S=π×22+×4π×4=12π．

（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，

由题意可得SO=2，

则S（0，0，2），O（0，0，0），A（0，2，0），Q（2，0，0），P（0，1，），

=（0，0，-2），=（2，-1，-），

设异面直线PQ与SO所成角的大小为θ，

则cosθ===，

∴异面直线SO与PQ所成角的大小为arccos．

【点评】：本题考查圆锥的表面积、异面直线所成角的大小的求法，考查向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=3x．

（1）设y=f-1（x）是y=f（x）的反函数，若f-1（x1x2）=1，求f-1（x13）+f-1（x23）的值；

（2）是否存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+为奇函数，若存在，求m的值，并证明此时g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，若不存在，请说明理由．【正确答案】：

【解析】：（1）求得f-1（x）=log3x，再由对数的运算性质可得所求值；

（2）假设存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+为奇函数，由g（0）=0，解方程可得m，检验可得结论；再由单调性的定义证明g（x）的单调性，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤．

【解答】：解：（1）由f（x）=3x，y=f-1（x）是y=f（x）的反函数，

可得f-1（x）=log3x，

f-1（x1x2）=log3（x1x2）=1，

即有x1x2=3，

所以f-1（x13）+f-1（x23）=log3x13+log3x23=3（log3x1+log3x2）=3log3（x1x2）=3；

（2）假设存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+为奇函数．

由g（x）=1+为R上的奇函数，可得g（0）=1+m=0，解得m=-2，

即有g（x）=1+，g（-x）+g（x）=1++1+=2-2•=0，

所以存在m=-2，使得g（x）为奇函数；

证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，g（x1）-g（x2）=-+=2•，

由x1＜x2，可得0＜3x1＜3x2，即3x1-3x2＜0，所以g（x1）-g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），

所以g（x）在（-∞，+∞）上单调递增．

【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及函数的反函数的求法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，∠ACB=，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）．

（1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）

（2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若∠BPC=，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．【正确答案】：

【解析】：（1）由三角形PBC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的长，在三角形PAC中，利用余弦定理求出的PA长即可，进而计算即可得出结果；

（2）在三角形PBC中由∠PCB的度数表示出∠PBC的度数，利用正弦定理表示出PB与PC，进而表示出三角形PBC面积，再利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可．

【解答】：解：（1）由题设，∠PCA=，PC=100米，PB=100米，

在△PAC中，由余弦定理得PA2=AC2+PC2-2AC•PC•cos，

所以PA=100米．

游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，所需时间为t1==10分钟，

游客沿便捷通道A-P-B到达出口所需时间为t1==2（）分钟，

所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快10-2（）≈3分钟．

（2）∵∠BPC=，设∠PCB=θ则，

在△PBC中∠PBC=，

由正弦定理得，

得PB=，PC=．

所以△PBC面积S===，

当时，△PBC面积的最大值为平方米．

【点评】：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强解答这类问题，两角和与差的正余弦公式，诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心．20.（问答题，16分）已知P（0，1）为椭圆C：+=1内一定点，Q为直线l：y=3上一动点，直线PQ与椭圆C交于A、B两点（点B位于P、Q两点之间），O为坐标原点．

（1）当直线PQ的倾斜角为时，求直线OQ的斜率；

（2）当△AOB的面积为时，求点Q的横坐标；

（3）设=λ，=μ，试问λ-μ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【正确答案】：

【解析】：（1）先得到直线PQ的方程为y=x+1，联立，解之即可求得Q点坐标，进而可得OQ斜率；

（2）直线PQ方程为y=kx+1，联立，结合韦达定理求得|x1-x2|，再由S△AOB=|OP||x1-x2|=，即可求解；

（3）直线PQ的方程为x=m（y-1），联立，结合韦达定理表示得到y1-1+y2-1=-，（y1-1）（y2-1）=-，再根据=λ，=μ，得到λ=，μ===-1+，即可求解．

【解答】：解：（1）因为直线PQ的倾斜角为，且P（0，1），

所以直线PQ方程为y=x+1，联立，解得Q（2，3），

则直线OQ的斜率为；

（2）已知直线PQ斜率存在，设直线PQ方程为y=kx+1，联立，

得（3+4k²）x²+8kx-8=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，

则|x1-x2|===，解得k²=，即k=±，

所以直线PQ方程为y=x+1或y=-x+1，

由得Q（4，3）；由得Q（-4，3）；

（3）已知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为x=m（y-1），联立，

得（4+3m²）（y-1）²+8（y-1）-8=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），y1-1+y2-1=-，（y1-1）（y2