专题2 立方和(差)公式、和(差)的立方公式(必讲)(张俊)

仅供个人参考Forusestudyandcommercial专题二方和差）公、和（）立方公我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（）方差公式

a)(a)a2

；（）全平方公式

a)aab

。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（）方和公式（）方差公式

aa

2ab2a332ab)a3

；；（）数和平方公式

a

2a22

ab)

；（）数和立方公式

)3aa2

；（）数差立方公式

a

3a3a2ab3

。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例算：（）

)(9y

；（）

(5x

1y)(252

2

)

；（）

(2

2

x

。分：项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公，然后再计.解1原=

3(2)27y

；（）式

)3

1y)3125y32

；（）式

8

3

2

2

x

3

2

。说：题直接利用公式计.第3）题不直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中+1改成-1则利用公式计算；若将第二个因式中“x”成”利用公式计算；若将第二个因式中”改成“可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算(2x

2

x

3

3

3(2

2

2

3

3

x

2

。例算：（）

x9

；不得用于商业用途

仅供个人参考（）

xx

2

2

；（）

xy)

22xyy)

；分：用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的个因式，是计算的关解1原式

x

9xx18

；（）法一：原式

[(x

2x1)]xx

；解法二：原式

x1)(xx][(]x

；（）式

y

22)]xxy64

6

。说：2往往先用立方和（差）公式计算简相反，如第）题的第二种解法就比较麻.例式分解：（）

x

3y3

；（）

a

4

；（）y分：照立方和（差）公式，正确找出对应,b因式。

是解题关键，然后再利用立方公式分解解1原式

33x2y2

xy25)

；（）式（）式

a3)a(3)](1aaa)x

3

2

3

2

3

y

3

)(

3

3

xy)(

2

y

2

)(xy)(x

2

xyy

2

。说：我可尝试一下，第(3)题用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。例设

xyxy

,试求

xy3

的值。分：于立方和公式

a

33)(ab2

，我们不难把它变成：不得用于商业用途

仅供个人参考a

3

3

)[(a)

2

]即a

3

3

)

再应用两数和两积解题较为方便。解

x

3yxy)3xy()

。说：方和（差）与和（差）的立方之间可以相互转化。例

如果

ABC

的三边

a,,c

满足

a32b23

试断

ABC

的形状。分：接看不出三角形边之间的关系把左边多项式分解因式形后再找出三角形三边之间的关系。解因为

32b22

，所以

a322)

，即

a)(

2ab2)(

a0

，

2

2

2

0

，所以

a

或

2

，因此ABC是腰三角或直角三角.说：类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分进行恒等变.练1.计：（）

(4a

2

；（）

1)(4a3

2

21ab39

2

)

；（）

1)(x2

；（）

x(x

2x

4)(2)

。2.计：（）

x(24)

；（）

(2)

3

；（）

1(5b)3

；（）

3(m2

。不得用于商业用途

仅供个人参考3．分解因式：（）

x

；（）

27

33

；（）

2

3

14

y

3

；（）m644．化简：ab

。5．若

a

，求证：

323

。6）知

，求

m3mn

的值；（）知：

x

，求

x

3y

的值.7．已知两个正方体，其棱长之和为48cm体积之和为28cm求两个正方体的棱.8.已

，求

a33

的值。9.已

a48

，求

a

44

的值。10.已知实数

a,,c

满足

abc

，

a22,a3

，求

bc

的值。答：1）

64

3

）

3

127

b

3

）

）

x

。2）

x

；（）

8x3x2xy27y

；（）

125b

5b2b327

3

）

9

m

6

m

3

。3）

(3x

2

x

；（）

x

2

2)

；（）

14

(2x)(4x

2

2

)

）

2)(m

2

2

4)

。4．

b5．提示：

a

32cabc322

。6）（）7．两个正方体的棱长分别为1cm和3cm.不得用于商业用途

仅供个人参考8.19.539210.

16（兴化市第一中学

张俊）不得用于商业用途

仅供个人参考仅供个用学习、究不得用商业用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'étudeetrechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàde