历史上的等差数列与等比数列

历史上的等差数列与等比数列人类在古代随着自然数、分数的概念和四则运算的产生，为了生产与生活的需要，就产生了数列的知识．在世界数学史上，对级数(数列)的讨论具有悠久的历史，中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度等，都曾经研究过级数，中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子算经》《张邱建算经》等，对等差级数ａ+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+…＋［ａ＋（ｎ－１）ｂ］和等比级数ａ＋ａｑ＋ａｑ２＋ａｑ３＋…＋ａｑｎ－１都列举出计算的例子，说明中国古代对级数的研究曾作出过一定的贡献．古老的《易经》一书中写道：“是故《易》有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，实际上，这种分割，已经寓有数学中等比数列的思想．著于东汉(25年～220年)初年的中国古代数学名著《九章算术》均输章中，第19题：“今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升．问中间两节欲均容，各多少．”解得各节的容量是(单位是升)还记有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”这是一个等比级数问题，即已知等比为2，项数为5，S５为5，求首项ａ１，答案是在南北朝时，于４６６年～484年，张邱建写了一部算经，世人称《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建把等差数列的研究向前推进了一步．例(卷上第十八题)“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出.下四人后入得金三斤，持出.中间三人未到者，亦依等次更给.问各得金几何，及未到三人复应得金几何.”按照术文，本题解法分三步：第一步，求出公差d：“以先入人数分所持金数为上率，以后入人数分别持金数为下率．二率相减，余为差实.并先后入人数而半之，以减凡人数，余为差法．实如法而一，得差数．”用现代符号，记后入人数为n１，后得金数为S１，先入人数为ｎ３，先得金数为Sm，则上面的术文即，亦即．若记未到人数为ｎ２则有．第二步，把后入四人每人所得金数视为一等差数列，问最下等人所得金数，这相当于已知d,Sn，ｎ，求ａ１，术文给出．第三步，把十人各得金数视为一等差数列，求每人的金数，这相当于已知ａ１，ｄ，ｎ，求ａｎ，术文给出ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ．张邱建提出的问题及解法，有的是继承了以往的成果，更多的则是创新.这说明至迟在五世纪，中国数学已具备了系统的等差数列的理论，同类结果一直到七世纪初才在印度梵藏的著作中出现．在外国，公元前约2000年，巴比伦人在烧制的泥板上记载了一些数学知识.其中有他们经过观察而制定的一个月亮周相表，用现代符号表示为：5，10，20，40；20，36，52．可以看出，前者是一个等比数列，后者是一个等差数列.还记有一个与分配有关的问题：兄弟10人分米那①的银子，要求每人所得的数量构成等差数列，其中第8个人的银子数量是6赛尔．他们在具体问题里算出了等差数列和等比数列的和，其中有１＋２＋４＋…+２９＝２９＋（２９－１）＝２１０－１．公元前2000～1800年，古代埃及在草纸卷上记载了一些数学知识，其中，记有这样一个问题：5个人分100个面包，要求每个人所得的份数构成一个等差数列．解得．还有一个问题：今有七个人，每人有七只猫，每只猫吃了七只老鼠，每只老鼠吃了七棵麦穗，每棵麦穗又可以长出七升麦粒问麦粒升数总数是多少?这是一个公比为7的等比数列求和问题，虽给出了答案为16807升，但是没指出所用方法，估计是通过简单的逐项相加实现的．公元前四世纪，古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上，又有新发展，他们用石子、沙子记数和计算.毕达哥拉斯派，曾得到如下关系：并称满足前者关系的数为三角形数，见图(甲)满足后者关系的数为正方形数，见图(乙)该学派还给出了一个定理：两个相继三角形数之和是正方形数．即他们在研究算术级数(等差数列)与几何级数(等比数列)时得到算术平均数与几何平均数在研究音乐理论中得到了调和平均数他们发现，乐器的弦长决定乐器发出的声音，而且绷得一样紧的弦，当其长度成整数比时即发出谐音.例如，如果一根弦的长度是另一根弦长度的2倍，就产生谐音，两音相差8度；如果一根与另一根的弦长之比是３∶２，则发出另一谐音，两音相差5度．若有三根弦，它们的长分别为ｌ１、ｌ２、ｌ３，其中ｌ１∶ｌ３＝２∶１，ｌ１∶ｌ２＝３∶２，因此，ｌ１、ｌ２、ｌ３能发出谐音，且ｌ３比ｌ１的音高8度，ｌ２比ｌ１的音高5度，求弦长的连比，它们得到，即ｌ１∶ｌ２∶ｌ３＝２∶∶１＝６∶４∶３，ｌ２叫ｌ１与ｌ３的调和平均数，，调和平均数是的算术平均数的倒数，它与后来发现的调和级数相联系．

约公元前300年，欧几里得(Euclid，约公元前330年～公元前275年)的名著《几何原本》(共13篇)第九篇的命题35给出了对等比数列之和的一个漂亮的证明.命题6给出了关于完全数的一个著名定理，即：若几何级数(从1开始)一些项之和１＋2+２２＋…＋２ｎ－１是质数，

那么这个和同最末一项的乘积是完全数，就是说（１＋２＋…＋２ｎ－１）２ｎ－１或（２ｎ－１）２ｎ－１是完全数(等于其小于本身的因数之和的数称为完全数).头4个完全数是6(６＝１＋２＋３)，28（２８＝１＋２＋４＋１４），４９６，８１２８，也许第五个完全数是希腊人已经知道了的．5～12世纪，欧洲处于中世纪黑暗时期，数学研究衰退，这时的印度却是数学的高潮时期．印度人偏爱计算并喜欢把它们简化成一些经验公式，这一特点使他们在级数求和方面取得一些可喜成果.在阿耶波多(Aryabata，476年～550年)的著作中，记载着许多重要的数列求和公式．如：１２＋２２＋３２＋…＋ｎ２＝．１３＋２３＋３３＋…＋ｎ３＝（１＋２＋３＋…＋ｎ）２＝至于他是如何推导这些公式的，我们还不清楚．波罗摩芨多(Brahmagupta,598年～665年)是印度数学家处理级数问题最杰出的一位．他提出的确定等差数列的末项和一个给定级数之和的法则是：“项数(n)减1，乘以公差(d)，加上首项(a)就是末项(l)”即l=a+(n-1)d；“末项与首项之和的一半是中项的值，它乘以项数，便是整个数列的和(S).”即Ｓ＝．如果已知首项、公差和数列的和，求项数时，他给出：“把首项的两倍与公差之差的平方加到数列的和与公差的8倍之乘积上，取其平方根，减去首项的两倍与公差的差，再除以公差的2倍，就是项数”即n=由等差数列、等比数列的研究，引起了更复杂的数列的研究意大利数学家裴波那契(Fibonacci,Leonardo,约1170年～1250年)的名著《算盘书》中，提出了一个有趣的问题：由一对兔子开始，假定每对大兔每月能生一对小兔子，而每对小兔生长两个月就成大兔，问一年后可以繁殖成多少对兔子?这导致著名的斐波那契数列：１，１，２，３，５，