人教A版高中数学必修2课时检测第二章点、直线、平面之间的位置关系版含答案

第二章点、直线、平面之间的位置关系

2.X空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1平面

iQj冽倒毓麻以层析教材，新知无师自通

知识点一

平面

［导入新知］

1.平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几

何里的平面是无限延展的.

2.平面的画法

(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45。，且横边长等于其邻

边长的2修.如图①所示.

(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出

来.如图②所示.

3.平面的表示法

图①的平面可表示为平面a、平面平面4c或平面

［化斛疑难］

几何中的平面有以下几个特点

(1)平面是平的.

(2)平面是没有厚度的.

(3)平面是无限延展而没有边界的.

知识点二

平面的基本性质

［导入新知］

平面的基本性质

公理内容图形符号

如果一条直线上的两点在一

AW/,B0,且/ea,BRa

公理1个平面内，那么这条直线在ZS7

台lUa

此平面内

过不在一条直线上的三点,A,B,C三点不共线"存在

公理2“c/

有且只有一个平面唯一的a使4,B,CGa

如果两个不重合的平面有一

尸Ga,PRB>aCB=l,且产

公理3个公共点，那么它们有且只

e/

有一条过该点的公共直线

［化斛装难］

从集合角度理解点、线、面之间的关系

(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“C”

或“住”表示.

(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“e”或“¥表

示.

(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“U”或

表示.

I0J赛磁端国锁定考向,考题千变不离其宗

题型一

文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

I例1］如右图所示，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.

⑴点P与直线/A

⑵点C与直线/股

(3)点"与平面NC

(4)点小与平面/C.

(5)直线与直线BC.

(6)直线与平面NC.

(7)平面小8与平面4c.

|解I(1)点Pe直线N8；

(2)点C阵直线45;

(3)点A/W平面AC-,

(4)点小建平面AC;

(5)直线/8C直线BC=点B-

(6)直线/8U平面AC;

(7)平面小80平面ZC=直线AB.

［类题通法］

三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且

相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

［活学活用］

根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

(IMGa,8©a：(2)/Ca,m^a^A,AH；(3)Pe/,P^a,Q^l,Q^a.

解：(1)点/在平面a内，点8不在平面a内，如图①所示；

(2)直线/在平面a内，直线机与平面a相交于点力,且点4不在直线/上，如图②所示；

题型二

点、线共面问题

I例2］证明两两相交且不共点的3条直线在同一平面内.

［解］已知：如图所示，/|ni2=A,

12cl3=B,l\A/j=C.

求证：直线，2,，3在同一平面内.

法一：(纳入平面法)

,：lxV\l2=A,.M和，2确定一个平面a.

,.,/n/=5,BI

23:.&2.

又：/2Ua,:.BGa.

同理可证CWa.

又日3,CC/3,.\/3Ca.

直线公，3在同一平面内.

法二：(辅助平面法)

'：l^l2=A,：.1\,为确定一个平面a.

v/2n/3=B,:.i2,A确定一个平面A

•：A&lz,%Ua,：.AGa.

"：A^l2,/2C/f,：.A^p.

同理可证8Wa,B三3C£a,Cep.

.•.不共线的三个点/,B,C既在平面a内，又在平面”内.

平面a和£重合，即直线/”A在同一平面内.

［类题通法］

证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2,常用方法有以下几种

(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”.

(2)先由其中一部分点、线确定一个平面a,其余点、线确定另一个平面夕，再证平面a与

£重合，即用“同一法”.

(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”.

［活学活用］

下列说法正确的是()

①任意3点确定一个平面；②圆上的3点确定一个平面；③任意4点确定一个平面；④

两条平行线确定一个平面.

A.①②B.②③

C.②④D.③④

答案：C

题型三

共线问题

［例3］已知△NBC在平面a外，其三边所在的直线满足/8Ca=P,BCHa=Q,ACC\a

=R,如右图所示.求证：P,Q,R3点共线.

［证明］法一：：/80。=尸，

:.PWAB,PW平面a.

又..780：平面/8C,平面/8C.

，由公理3可知，点P在平面/8C与平面a的交线上，同理可证。，火也在平面Z8C与

平面a的交线上.

：.P,Q,R3点共线.

法二：'：APC\AR=A,

.•.直线/尸与直线ZR确定平面APR.

又•.•/8Ca=P,ACHa=R,，平面/PRO平面a=PR.

平面力PR,CG平面力尸R,；.BCU平面4PR.

■:QJBC,平面ZPR,又0€a,

:.QGPR,：.P,Q,7?三点共线.

I类题通法］

点共线：证明多点共线通常利用公理3,即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在

两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他

点也在其上.

［活学活用］

如右图所示，在正方体N8C。-小81Goi中，设线段小C与平面NBGQi交于点0,

求证：B,0,G3点共线.

证明：如图所示，连接小8,CD1.显然8G平面小BCG,。16平面小8。。.

.•.8£)|U平面48coi.

同理平面ABC\DX.

：.平面ABC}Dyn+*A\BCD}=BDX.

：4Cri平面ABCiDi=Q,

；.QG平面ABC\D\.

又：小CU平面AiBCDi,

平面AXBCD\.

:.QRBDi,即8,Q,Q三点共线.

3修补短板,拉分题一分不丢

辔图登系吗/

2.证明三线共点问题

I典例］（12分）如下图所示，在四面体中，E,G分别为8C,的中点，F在CD

上，H在/D上,且有DF：FC=DH：HA=2：3.

求证：EF,GH,5。交于一点.

［解题流程］

欲证EF,G〃，BD交于一点，可先证两条线交于一

点，再证此点在第三条直线上.

由DF：FC=DH-HA=2：3可得GE//FH且GEr

FH,即四边形EFHG是梯形，由此得到GH与EF交J：

一点.

证明E,F,H,G四点共面~»四边形EFHG为梯

形一和EF交尸一点（）―►证06平面AHD—>

OC平面BCD—>平面平面=>

OEBD—>得出结论.

［规范解答］

因为E.G分别为BC.AB的中点,所以GE//AC.［名师批注］

又因为DF■FC^DH'HA2-3.所以FH//AC.如何证明四点共面？

从而F"〃GE.GE#FH.（4分）根据公境2的推论可知,本题可利用HF//（比

故E.F.H.G四点共面.片可及定E.F./LG四点共面.

乂因为GE；AC・F〃AC.为什么GH和EF交于一点？

所以四边形EFHG是一个梯形，因为E.F.H.G四看共面•且GEJL-2AC.

—红典"手二42（6分1f

丽石奇菽血有灰症立面BCD内，HFJL；尔’.所以GEHHF且GEW,即

所以O在这两平面的交线上,而这两个平面的交线EFHG为棒彤•梯步两腰延长段必用史于一点.

是BD,（9分）

且交线只有这一条•所以点O在出线BD上.（10分）

这就证明「G”和EF的交点也在BDt•所以怎样碗定第三条直线也过交点？

EF.GH.HD交于一点.（12分）只卖证明交点在第三条直线上.这条直线恰

好是分别过GH和EF的两个平面的交线.

［活学活用I

如右图所示，在空间四边形各边Z。，AB,BC,8上分别取E,F,G,，四点，如果

EF,G”交于一点P,求证：点P在直线8。上.

证明：:EFCGH=P,:.PREF且PGGH.

文•：EFU平面4BD,GHU平面CBD,.,.尸^平面48。，且PG平面C8。，又PW平面

ABDC平面CBD,平面/BDC平面。由公理3可得尸GBD

.•.点P在直线80上.

自主演练，百炼方成钢

一、选择题

1.用符号表示“点Z在直线/上，/在平面a外”，正确的是（）

A.J€/,/qaB.A0,Ida

C.AU,IdaD.AU,/$a

答案：B

2.下列说法正确的是（）

A.三点可以确定一个平面

B.一条直线和一个点可以确定一个平面

C.四边形是平面图形

D.两条相交直线可以确定一个平面

答案：D

3.空间两两相交的3条直线，可以确定的平面数是（）

A.1B.2

C.3D.I或3

答案：D

4.下列推断中，错误的是（）

A.AWI,AWa,B0,BRglUa

B.A^a,AG0,BGa,0aC0=AB

C.Ida,A^l^A^a

D.A,B,CGa,A,B,C0,S.A,B,C不共线今a,£重合

答案：C

5.在空间四边形4BCC的边48,BC,CD,D4上分别取E,F,G,"四点，如果EF

与HG交于点M,那么（）

A.M一定在直线4c上

B.“一定在直线8。上

C.M可能在直线NC上,也可能在直线BD上

D.M既不在直线4C上,也不在直线8。上

答案：A

二、填空题

6.线段48在平面a内,则直线AB与平面a的位置关系是

答案：直线/8U平面a

7.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.

⑴/阵a,aUa.

(2)aA万=a,尸初且呻_______.

(3)a@a,a(^a—A.

(4)«A^=a,ariy=c,pC\y—h,aC6Cc=0.

答案：(1)C(2)D(3)A(4)B

8.平面aC平面£=/,点/,Bda,点C©平面4且C&,ABC\l=R,设过点4,B,C3

点的平面为平面y,则夕n尸.

答案：CR

三、解答题

9.求证：如果两两平行的3条直线都与另一条直线相交，那么这4条直线共面.

解：已知：a//b//c,lCia=A,lHh=B,inc=C.

求证：直线a,b,c和/共面.

证明：如图所示，因为a〃6,由公理2可知直线a与6确定一个平面，设为a.

因为/na=Z,ICb=B,所以"Ga,BRb,则/《a,8Ga.又因为B曰,所以由

公理1可知/Ca.

因为b〃c,所以由公理2可知直线b与c,确定一个平面£,同理可知/UR

因为平面a和平面夕都包含着直线b与/,且/。5=8,而由公理2的推论2知，经过两

条相交直线，有且只有一个平面，所以平面a与平面£重合，所以直线a,b,c,和/共面.

10.已知正方体/BCDd/CQi中,£,尸分别为。£，G81的中点,/CnBOuP,/iGCEF

=Q-

求证：(1)。，B,F,E4点共面；

(2)若小C交平面D8FE于R点，则P,Q,R3点共线.

证明：如图.

(1)连接35,

是△A51cl的中住线,

.在正方体ZC］中，B1DJ/BD,C.EF//BD.

：.EF,8。确定一个平面，

即。，B,F,E四点共面.

(2)正方体4G中，设平面小/CG确定的平面为a,义设平面BDEF为0.

小G,:.QWa.又QWEF,IQ".

则。是a与4的公共点，同理P是a与4的公共点，

:.aCB=PQ.

又/<04=凡：.R&A\C.

：.Rea,且RG夕，则R6P0.

故尸，Q,及3点共线.

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

Ml圈趣侬燥虱层析教材，新知无师自通

空间两直线的位置关系

［导入新知］

1.异面直线

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.

(2)异面直线的画法：

2.空间两条直线的位置关系

位置关系特点

相交同一平面内，有且只有一个公共点

平行同一平面内，没有公共点

异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点

［化斛皴睢］

1.对于异面直线的定义的理解

异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.注意异面直线定义中“任何”两字，它

指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经

过4,6两条直线.例如，如右图所示的长方体中，棱和囱G所在的直线既不平行又不相

交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故与8cl是异面直线.

2.空间两条直线的位置关系

(1)若从有无公共点的角度来看，可分为两类:

j有且仅有一个公共点——相交直线

直线4(平行直线

无公共点——日而内针

〔1异面直线

(2)若从是否共面的角度看，也可分两类:

相交直线

共面直线，

直线，平行直线

不共面直线：异面直线

知识点二

平行公理及等角定理

|导入新知］

1.平行公理(公理4)

(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相壬红.这一性质叫做空间平行线的传递

性.

a//b］

(2)符号表述：，〃\^a//c.

b//c.

2.等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应匈，那么这两个角相等或互补.

3.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a,儿经过空间任一点。作直线。'//a,b'〃人我们把a'

与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)异面直线所成的角9的取值范围：0。＜。＜90。.

(3)当6=2£时，a与6互相垂直，记作a_Lb.

［化解疑难］

对平行公理与等角定理的理解

公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两

直线平行的一种证明方法.等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的

直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补.

国颂S锁定考向，考题千变不离其宗

题型一

两直线位置关系的判定

［例1J如右图所示，正方体力88-小囱G口中，判断下列直线的位置关系:

(1)直线42与直线D{C的位置关系是；

(2)直线与直线BXC的位置关系是；

(3)直线DyD与直线DiC的位置关系是；

(4)直线AB与直线BC的位置关系是.

I答案］⑴平行(2)异面(3)相交

(4)异面

I类题通法］

1.判定两条直线平行或相交的方法

判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4

判断.

2.判定两条直线是异面直线的方法

(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.

(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是

异面直线.用符号语言可表示为/必，BRa,/U*8$/今与/是异面直线(如右图).

［活学活用I

如右图所示，正方体48aMlSCQi中，M,N分别是/向，81G的中点.问：

DiG

4n

(1)41/和CN是否是异面直线？说明理由.

(2)。由和CG是否是异面直线？说明理由.

解：(1)不是异面直线.理由：

'：M,N分别是小丛，&G的中点，

：.MN//A{C{.

又小而DQgC,

：.A\A1C\C.

.•.四边形小ZCG为平行四边形.

：.AXCX//AC,得到MN〃NC.

：.A,M,N,C在同一个平面内，故和CN不是异面直线.

(2)是异面直线.证明如下：

假设与CG在同一个平面。CG内，则8G平面CGG,CG平面CC0”:.BCU

平面CC\D\.

而8CJ•平面CC\D\,8c。平面CCQ,

假设不成立，故DiB与CCi是异面直线.

型二

平行公理及等角定理的应用

［例2］如右图所示，在正方体中,M,跖分别是棱3和4。的中点.

(1)求证：四边形821MM为平行四边形；

(2)求证：NBMC=NBiMiCi.

I证明I⑴在正方形/。。小中，M,M分别为/£>,小。।的中点,

：.MMi屿A1.义；AAi西Bi,

:且MM尸BBi,

...四边形为平行四边形.

(2)由(1)知四边形为平行四边形，

...囱M〃创/.同理可得四边形CGMM为平行四边形，

由平面几何知识可知，/8A/C和都是锐角.

NBMC=NB［M1G.

［类题通法］

1.证明两条直线平行的方法：

(1)平行线定义.

(2)三角形中位线定理、平行四边形性质等.

(3)公理4.

2.空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两

边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补.因此，在证明两个角相等时，

只说明两个角的两边分别对应平行是不够的.

［活学活用］

已知正方体N8C/)-小中，E,尸分别是44”CG的中点.求证：BFJLED\.

证明：如图所示，取8从的中点G,连接GG,GE.

,:F为CG的中点，

:.BGJLCF

四边形8GG尸为平行四边形.

:.BF皿C\.

义,：EGJUB,4向盘1。1,

:.EGJLD\C\,四边形EGCQI为平行四边形，:.ED\皿3,:.BFJLEDI.

两异面直线所成的角

［例3］如右图所示，已知长方体N88-481Goi中，A\A=AB,E,尸分别是8n和

的中点，求异面直线CD”EF所成的角的大小.

［解］取CD1的中点G,连接EG,DG,

是8Z)i的中点，J.EG//BC,是/。的中点，3.AD//BC,AD=BC,

：.DF//BC,DF=；BC,

J.EG//DF,EG=DF,

，四边形EFDG是平行四边形，

J.EF//DG,

：.NOGR(或其补角)是异面直线6与E尸所成的角.

又•；小/=/8,:.四边形ABBiAi,四边形CDDiG都是正方形，且G为CQ的中点，

DG±CDt,；.SGD=90。,

.♦.异面直线CDi,EF所成的角为90。.

［类题通法］

求两异面直线所成的角的三个步骤

(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.

(2)证：证明作出的角就是要求的角.

(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.

可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角6的取值范围是0OV6W90。.

［活学活用］

已知ZBCLMiSCQi是正方体，求异面直线A\C\与SC所成的角的大小.

解：如右图所示，连接小。和CQ.

AB

•:B£〃AiD,

：.ND4cl即为异面直线小G与8C所成的角.

・・・小，4G,为正方体各面上的对角线，

'•A\D—A।C\—C\D,

△小CQ为等边三角形.即NG4〃=60。.

.•.异面直线4G与所成的角为60°.

IB4J修补短板.拉分题一分不丢

2.探究空间中四边形的形状问题

I典例J在空间四边形/BCD中，E,F,G,H分别是ZB,BC,CD,D4的中点.

求证：四边形MG/7是平行四边形.

［证明］如右图所示，连接8D

因为£77是△48。的中位线，所以£77〃8£),

且EH=；BD.

同理,FG//BD,XFG=^BD.

因此即〃FG.

又EH=FG,

所以四边形MG/7为平行四边形.

［多维探究］

1.矩形的判断

本例中若加上条件，则四边形EFG”是什么形状？

证明：由例题可知EH〃BD,同理EN〃/C,

入BDLAC,因此E〃_LEF,

所以四边形EFGH为矩形.

2.菱形的判断

本例中，若加上条件"/C=8D"，则四边形EFG”是什么形状？

证明：由例题知JLEH^BD,

同理E/〃/C,且EF=g,4C.又4C=BD,

所以EH=EF.

又四边形EFGH为平行四边形,

所以四边形EFGH为菱形.

3.正方形的判断

本例中，若加上条件且4c=5。"，则四边形EFGH是什么形状？

证明：由探究1与2可知，

四边形EFGH为正方形.

4.梯形的判断

若本例中，E,H分别是中点，F,G分别是8C,CD上的点，且CT：/咕=。6：

GZ）=1：2,则四边形EFG/7是什么形状？

证明：由题意可知EH是AABD的中位线，则EH//BD且EH=^BD.

竺=生」

人,FB~GD~T

：.FG//BD,丽=阮=子

:.FG=，D,

:.FG//EH且FG丰EH,

四边形EFGH是梯形.

［方法感悟］

根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法.公理4表明了平行线的

传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法.

自主演练，百炼方成钢

一、选择题

1.若a,b,c是空间3条直线，a//b,a与c相交，则%与c的位置关系是（）

A.异面B.相交

C.平行D.异面或相交

答案：D

2.如右图所示，在三棱锥S-MN尸中，E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,A/P的中点,

则跖与HG的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.平行或异面

答案：A

3.如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为（）

A.相交B.平行

C.异面而且垂直D.异面但不垂直

答案：D

4.下列命题：

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等;

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；

④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案：B

5.若尸是两条异面直线/,机外的任意一点，则（）

A.过点P有且仅有一条直线与/,机都平行

B.过点P有且仅有一条直线与都垂直

C.过点尸有且仅有一条直线与/,用都相交

D.过点P有且仅有一条直线与/,机都异面

答案：B

二、填空题

6.直线a,平面a,且a,6成的角为40。，经过a外一点/与a,〃都成30。角的直线

有且只有条.

答案：2

7.已知正方体Z8CD向CQi中，E为CQi的中点，则异面直线/E与小囱所成的角

的余弦值为.

答案：|

8.如下图所示，点P,Q,R,S分别在正方体的4条棱上，且是所在楼的中点，则直线

PQ与RS是异面直线的一个图是.

答案：③

三、解答题

9.如右图所示，E,尸分别是长方体小SGOidBC。的棱小GC的中点.

求证：四边形巴皮木是平行四边形.

证明：设。是。A的中点，连接E0,0G.

：£■是44|的中点，

:.EQJLA\D\.

又在矩形小81Gz)|中，

AD甄C"...E。匈C(平行公理).

四边形EQGBi为平行四边形.:.B\EJlC\Q.

又F是DD\,GC两边的中点，：.QDdU：\F.

二四边形QDFCy为平行四边形.

：.C\QdU)F.

义•：B[E1CQ:BEJLDF.

...四边形BiEDF为平行四边形.

10.已知三棱锥儿8C。中，AB=CD,且直线与CD成60。角，点M,N分别是8C,

X。的中点，求直线N3和A/N所成的角.

解：如图，取4C的中点P,连接PM,PN,因为点"，N分别是8C,的中点，所以

PM//AB,且

C

PN//CD,且PN巧CD,

所以NMPM或其补角)为AB与CZ)所成的角.

所以NPMV(或其补角)为AB与所成的角.

因为直线月8与CD成60。角，

所以NMPN=60。或NMPN=120°.

又因为AB=CD,所以PM=PN,

①若NMPN=60。，则△PMN是等边三角形，

所以NPMN=60°,即AB与所成的角为60°.

②若NA/PN=120°,则易知△PMN是等腰三角形.

所以NPMN=30。,即AB与MN所成的角为30。.

综上可知：AB与所成角为60。或30°.

2.1.3&2.1.4空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系

iDj副邮层析教材，新知无师自通

知识点」

空间中直线与平面的位置关系

I导入新知］

直线与平面的位置关系

直线a在平面a外

位置关系直线a在平面a内

直线a与平面a相交直线a与平面a平行

公共点无数个公共点一个公共点没有公共点

符号表示QUQaC\a=Aa//a

---a

图形表示/口

［化解疑唯］

1.利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系.

(1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行.

(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交.

(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内.

2.直线在平面外包括两种情形：a〃a与aCa=4

知识点二

空间中平面与平面的位置关系

［导入新知］

两个平面的位置关系

位置关系图示表示法公共点个数

两平面平行口a//e没有公共点

%/

有无数个公共点

两平面相交

（在一条直线上）

［化解款唯］

1.判断面面位置关系时，要利用好长方体（或正方体）这一模型.

2.画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.

锁定考向,考题千变不离其宗

直线与平面的位置关系

［例1］下列说法：

①若直线。在平面a外，则。〃a；②若直线。〃6,直线bUa,则。〃a；③若直线a〃b,

b"那么直线a就平行于平面a内的无数条直线.

其中说法正确的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

［答案］B

［类题通法］

空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平

行.在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏.另外，我

们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于

正确作出判断，避免凭空臆断.

［活学活用］

下列说法中，正确的个数是（）

①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②

一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直

线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平

行，则另一条一定与这个平面平行.

A.0B.I

C.2D.3

答案：C

题型二

平面与平面的位置关系

［例2J(1)平面a内有无数条直线与平面夕平行，问：a〃△是否正确？为什么？

(2)平面a内的所有直线与平面夕都平行，问：a〃夕是否正确？为什么？

［解J⑴不正确.

如图所示，设aC£=I,则在平面a内与/平行的直线可以有无数条：如，恁，…，a„,

它们是一组平行线，这时4|,“2,…，…与平面4都平行(因为“1,。2,…，…与平面

/无交点)，但此时a与夕不平行，aCB=L

a_____"t

03

(2)正确.平面a内所有直线与平面夕平行，则平面a与平面少无交点，符合平面与平面

平行的定义.

I类题通法］

两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果

两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果

两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行.这样我们可以得出两个平面的位置关

系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线.若平面a与£平行，记作a

〃£；若平面a与尸相交，且交线为/,记作心(~1夕=/.

［活学活用］

1.在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有组互相平行

的面，与其中一个侧面相交的面共有个.

答案：46

2.如图所示，平面N8C与三棱柱/8C-小SG的其他面之间有什么位置关系？

解：•平面A8C与平面481cl无公共点，

平面/8C与平面小81G平行.

•.•平面ABC与平面ABB{A\有公共直线AB,

平面/8C与平面力相交.同理可得平面N8C与平面/CG小及平面BCCiS均相

交.

修补短板，拉分题一分不丢

您确身系列,

3.有关截面图形的形状问题

I典例］（12分）在正方体48czM出CR中，点。是棱。。上的动点，判断过N,Q,

々三点的截面图形的形状.

I解题流程］

「单、0^欲判断过A.Q.以三点的截面图

,胃题/方向形的形状，需分析Q点的位置.

点Q是正方体ABCD-A।氏G小

的棱DA上的动点，首先讨论Q

位置.

点Q与"重合

点Q与D重合•—►分别

点Q不与D.D1重合.

判断一►得出结论.

［规范解答］

由点0在线段上移动，当点。与点功重合时，截面图形为等边三角形如图

①所示.（4分）

枭力身［名师批注］

同药。亮菽。/）；王的第；£,诉龙

r\1/1当Q与0重合时，口,，人从，

AR均为正方形的对角线，印

nA

„：/）14=A从=42，所以，/\44。］

①

加正三角形.

当点。与点。重合时，截面图形为矩形N81G。，如图②所示.（8分）

ClB1

A

DAA1名师批注」

/11/隶0芨而5「卫；而不嬴£亮薛麻荏

\i/cJ/D置，所以Q与D重合时，由DC；〃：

DAAB］知.截面是矩形AB】CJ）.

②’...............................'

当点0不与点。，G重合时，截面图形为等腰梯形/。火囱，如图③所示.（12分）

［名师批注］

彳Q卷£）D；丙区乏间不运案

AQ交A|D1延长线于（）点，连接

BjO交Ci4于K点，则AB］KQ

为截面图形.

［活学活用］

如图所示，G是正方体-小囱GQ的棱延长线上的一点，E,F是棱4B,8c的

中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.

⑴过点G及GC；（2）过3点E,F,D\.

解：（1）画法：连接GN交小Q于点A/,连接GC交CQi于点N;连接MN,AC,则MZ,

CN,MN,/C为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示.

（2）画法：连接EF交0c的延长线于点尸，交的延长线于点0;连接。|尸交CG于点

M,连接。|0交4＜于点N;连接Mk，NE,则。"，MF,FE,EN,NQ为所求平面与正方

体表面的交线.如图②所示.

自主演练，百炼方成钢

一、选择题

1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系

一定是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.不能确定

答案：C

2.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系

为（）

A.平行B.相交

C.直线在平面内D.平行或直线在平面内

答案：D

3.