2023年人教版高中数学必修第二册《平面向量的应用》综合复习（含详解）

2023年人教版高中数学必修第二册《平面向量的应用》综合复习一 、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3P是△ABC所在平面上的一点，满足eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))=2eq\o(AB,\s\up14(→))，若S△ABC=6，则△PAB面积为()A.2B.3C.4D.8LISTNUMOutlineDefault\l3如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若eq\o(OC,\s\up7(→))=meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))，则m＋n的取值范围是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1,0)LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，内角A,B,C所对边分别是a,b,c，若3a=2b，则值为（

）

A.

B.

C.1

D.LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC=eq\f(π,4)，|eq\o(OC,\s\up7(→))|=2，若eq\o(OC,\s\up7(→))=λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，则λ＋μ=()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2D．4eq\r(2)LISTNUMOutlineDefault\l3已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=|c|=1，若a·b=eq\f(1,2)，则(a＋b)·(2b－c)最小值为()A.－2B.3－eq\r(3)C.－1D.0LISTNUMOutlineDefault\l3设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，eq\o(AP,\s\up15(→))=λeq\o(AB,\s\up15(→))，若eq\o(OP,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))≥eq\o(PA,\s\up15(→))·eq\o(PB,\s\up15(→))，则实数λ的取值范围是()A.eq\f(1,2)≤λ≤1B.1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1C.eq\f(1,2)≤λ≤1＋eq\f(\r(2),2)D.1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1＋eq\f(\r(2),2)LISTNUMOutlineDefault\l3已知P，Q为三角形ABC中不同两点，若eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))=eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(QA,\s\up14(→))＋3eq\o(QB,\s\up14(→))＋5eq\o(QC,\s\up14(→))=0，则S△PAB：S△QAB为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(5,7)D.eq\f(7,9)LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))LISTNUMOutlineDefault\l3△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC－cosC=1－coseq\f(C,2)，若△ABC的面积S=eq\f(1,2)(a＋b)sinC=eq\f(3,2)，则△ABC的周长为()A．2eq\r(7)＋5B.eq\r(7)＋5C．2eq\r(7)＋3D.eq\r(7)＋3LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且2sinCcosB=2sinA+sinB，c=3ab，则ab最小值是()A.B. C. D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=bcosC＋csinB，且△ABC的面积为1＋eq\r(2)，则b的最小值为()A.2B.3C.eq\r(2)D.eq\r(3)LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a＋b，若△ABC的面积S=eq\r(3)c，则ab的最小值为()A.28B.36C.48D.56二 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3已知平面向量a，b满足|a|=1，a与b－a的夹角为60°，记m=λa＋(1－λ)b(λ∈R)，则|m|的取值范围为.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，已知AB=eq\r(3)，C=eq\f(π,3)，则eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的最大值为________．LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＋2c2=8，则△ABC面积的最大值为________．LISTNUMOutlineDefault\l3在四边形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P(如图所示)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(ED,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，则λ＋μ的值是.三 、解答题LISTNUMOutlineDefault\l3如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.（1）证明：sinα+cos2β=0；（2）若AC=DC,求β的值.LISTNUMOutlineDefault\l3若点M是△ABC所在平面内一点，且满足eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求△ABM与△ABC的面积之比；(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设eq\o(BO,\s\up6(→))=x·eq\o(BM,\s\up6(→))＋yeq\o(BN,\s\up6(→))，求x，y的值.LISTNUMOutlineDefault\l3△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq\r(3)bcosC－csinB=eq\r(3)a．(1)求角B的大小；(2)若a=3，b=7，D为边AC上一点，且sin∠BDC=eq\f(\r(3),3)，求BD．LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)=eq\f(tanA,cosB)＋eq\f(tanB,cosA).(1)证明：a＋b=2c；(2)求cosC的最小值．LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足.（1）求角A的值；（2）若且b≥a，求的取值范围.LISTNUMOutlineDefault\l3已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)=bsinC.(1)求角A的大小；(2)设a=eq\r(3)，S为△ABC的面积，求S＋eq\r(3)cosBcosC的最大值.LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量a=(ksin,cos2),b=(cos,-k),实数k为大于零的常数,函数f(x)=a·b,x∈R,且函数f(x)的最大值为.(1)求k的值;(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若<A<π,f(A)=0,且a=2,求·的最小值.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A.解析：∵eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))=2eq\o(AB,\s\up14(→))=2(eq\o(PB,\s\up14(→))－eq\o(PA,\s\up14(→)))，∴3eq\o(PA,\s\up14(→))=eq\o(PB,\s\up14(→))－eq\o(PC,\s\up14(→))=eq\o(CB,\s\up14(→))，∴eq\o(PA,\s\up14(→))∥eq\o(CB,\s\up14(→))，且方向相同，∴eq\f(S△ABC,S△PAB)=eq\f(BC,AP)=eq\f(|\o(CB,\s\up14(→))|,|\o(PA,\s\up14(→))|)=3，∴S△PAB=eq\f(S△ABC,3)=2.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D；解析：由点D是圆O外一点，可设eq\o(BD,\s\up7(→))=λeq\o(BA,\s\up7(→))(λ>1)，则eq\o(OD,\s\up7(→))=eq\o(OB,\s\up7(→))＋λeq\o(BA,\s\up7(→))=λeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up7(→)).又C，O，D三点共线，令eq\o(OD,\s\up7(→))=－μeq\o(OC,\s\up7(→))(μ>1)，则eq\o(OC,\s\up7(→))=－eq\f(λ,μ)eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\f(1－λ,μ)·eq\o(OB,\s\up7(→))(λ>1，μ>1)，所以m=－eq\f(λ,μ)，n=－eq\f(1－λ,μ)，则m＋n=－eq\f(λ,μ)－eq\f(1－λ,μ)=－eq\f(1,μ)∈(－1,0)．LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D；LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A；解析：因为|eq\o(OC,\s\up7(→))|=2，∠AOC=eq\f(π,4)，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up7(→))=λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))=λ(1,0)＋μ(0,1)=(λ，μ)，所以λ=μ=eq\r(2)，λ＋μ=2eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B；解析：由|a|=|b|=1，a·b=eq\f(1,2)，可得〈a，b〉=eq\f(π,3).令eq\o(OA,\s\up15(→))=a，eq\o(OB,\s\up15(→))=b，以eq\o(OA,\s\up15(→))的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a=eq\o(OA,\s\up15(→))=(1,0)，b=eq\o(OB,\s\up15(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，设c=eq\o(OC,\s\up15(→))=(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，则(a＋b)·(2b－c)=2a·b－a·c＋2b2－b·c=3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ＋\f(1,2)cosθ＋\f(\r(3),2)sinθ))=3－eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－eq\r(3)，故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B；解析：因为eq\o(AP,\s\up15(→))=λeq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(OP,\s\up15(→))=(1－λ，λ)，eq\o(AP,\s\up15(→))=λeq\o(AB,\s\up15(→))=(－λ，λ)，eq\o(OP,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))≥eq\o(PA,\s\up15(→))·eq\o(PB,\s\up15(→))，所以(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，所以2λ2－4λ＋1≤0，解得1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1＋eq\f(\r(2),2)，因为点P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B.解析：令D为AC的中点，eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))=eq\o(AB,\s\up14(→))，化为eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))=eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(PB,\s\up14(→))，即2eq\o(PD,\s\up14(→))=eq\o(AP,\s\up14(→))，可得AC=3AP，且点P在AC边上，则S△PAB=eq\f(1,2)S△ABC，设点M，N分别是AC，AB的中点，则由eq\o(QA,\s\up14(→))＋3eq\o(QB,\s\up14(→))＋5eq\o(QC,\s\up14(→))=0可得2eq\o(QM,\s\up14(→))＋6eq\o(QN,\s\up14(→))＋eq\o(QC,\s\up14(→))=0，设点T是CN的中点，则2eq\o(QM,\s\up14(→))＋5eq\o(QN,\s\up14(→))＋2eq\o(QT,\s\up14(→))=0，设点S是MT的中点，则4eq\o(QS,\s\up14(→))＋5eq\o(QN,\s\up14(→))=0，因此可得S△QAB=eq\f(5,9)S△ABC，所以S△PABS△QAB=eq\f(3,5)，故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C；解析：由正弦定理及sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cosA=eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(bc,2bc)=eq\f(1,2)，又0<A<π，所以0<A≤eq\f(π,3).故A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D；解析：由sinC－cosC=1－coseq\f(C,2)⇒2sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(C,2)－1))=1－coseq\f(C,2)⇒coseq\f(C,2)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))2coseq\f(C,2)－2sineq\f(C,2)－1eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))=0，∵coseq\f(C,2)≠0，∴sineq\f(C,2)－coseq\f(C,2)=－eq\f(1,2)，两边平方得sinC=eq\f(3,4)，由sineq\f(C,2)－coseq\f(C,2)=－eq\f(1,2)可得sineq\f(C,2)<coseq\f(C,2)，∴0<eq\f(C,2)<eq\f(π,4)，即0<C<eq\f(π,2)，由sinC=eq\f(3,4)得cosC=eq\f(\r(7),4).又S=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)(a＋b)sinC=eq\f(3,2)，∴a＋b=ab=4，∴a=b=2，再根据余弦定理可得c2=a2＋b2－2abcosC=8－2eq\r(7)，解得c=eq\r(7)－1，故△ABC的周长为eq\r(7)＋3，故选D.LISTNUMOutlineDefault\l3B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A.解析：由a=bcosC＋csinB及正弦定理，得sinA=sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)=sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB=sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB=1.因为B∈(0，π)，所以B=eq\f(π,4).由S△ABC=eq\f(1,2)acsinB=1＋eq\r(2)，得ac=2eq\r(2)＋4.又b2=a2＋c2－2accosB≥2ac－eq\r(2)ac=(2－eq\r(2))(4＋2eq\r(2))=4，当且仅当a=c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2.故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C.解析：在△ABC中，2ccosB=2a＋b，由正弦定理，得2sinCcosB=2sinA＋sinB.又A=π－(B＋C)，所以sinA=sin[π－(B＋C)]=sin(B＋C)，所以2sinCcosB=2sin(B＋C)＋sinB=2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，得2sinBcosC＋sinB=0，因为sinB≠0，所以cosC=－eq\f(1,2)，又0<C<π，所以C=eq\f(2π,3).由S=eq\r(3)c=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)ab×eq\f(\r(3),2)，得c=eq\f(ab,4).由余弦定理得，c2=a2＋b2－2abcosC=a2＋b2＋ab≥2ab＋ab=3ab(当且仅当a=b时取等号)，所以(eq\f(ab,4))2≥3ab，得ab≥48，所以ab的最小值为48，故选C.二 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：[eq\f(\r(3),2),+∞).解析：如图所示，设eq\o(OA,\s\up6(→))=a，eq\o(OB,\s\up6(→))=b，eq\o(OC,\s\up6(→))=m，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|=1，∠OAB=120°.∵m=λa＋(1－λ)b(λ∈R)，∴A，B，C三点共线，∵点O到直线AB的距离为|eq\o(OA,\s\up6(→))|·sin60°=eq\f(\r(3),2)，∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),2)，∴|m|的取值范围为[eq\f(\r(3),2),+∞).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：1.5；解析：因为AB=eq\r(3)，C=eq\f(π,3)，设角A，B，C所对的边为a，b，c，所以由余弦定理得：3=a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)=a2＋b2－ab≥ab，当且仅当a=b=eq\r(3)时等号成立，又eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))=abcosC=0.5ab，所以当a=b=eq\r(3)时，(eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→)))max=1.5.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：eq\f(2\r(5),5)；解析：因为cosC=eq\f(a2＋b2－c2,2ab)=eq\f(a2＋b2－\f(8－a2－b2,2),2ab)=eq\f(3a2＋b2－8,4ab)≥eq\f(3ab－4,2ab)，所以ab≤eq\f(4,3－2cosC)，从而S=eq\f(1,2)absinC≤eq\f(2sinC,3－2cosC).设t=eq\f(2sinC,3－2cosC)，则3t=2sinC＋2tcosC=2eq\r(t2＋1)·sin(C＋φ)，其中tanφ=t，故3t≤2eq\r(t2＋1)，解得t≤eq\f(2\r(5),5)，所以Smax=eq\f(2\r(5),5)，当且仅当a=b=eq\f(2\r(15),5)且tanC=eq\f(\r(5),2)时，等号成立．LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：eq\f(3\r(2),4).解析：建立如图所示直角坐标系xAy，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，E(1,0)，F(eq\f(3,2),eq\f(1,2))，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝(－1,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)，eq\f(1,2)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(ED,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))＝－λ＋eq\f(3,2)μ，λ＋eq\f(1,2)μ，又因为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P，所以点P的坐标为P(eq\f(\r(2),2),eq\f(\r(2),2))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(2),2),eq\f(\r(2),2))，所以－λ＋eq\f(3,2)μ＝eq\f(\r(2),2)，λ＋eq\f(1,2)μ＝eq\f(\r(2),2)，所以λ＝eq\f(\r(2),4)，μ＝eq\f(\r(2),2)，所以λ＋μ＝eq\f(3\r(2),4).三 、解答题LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)如图，，即．（2）在中，由正弦定理得由(1)得，即．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，可知M，B，C三点共线.如图，设eq\o(BM,\s\up6(→))=λeq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))=(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ=eq\f(1,4)，所以eq\f(S△ABM,S△ABC)=eq\f(1,4)，即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.(2)由eq\o(BO,\s\up6(→))=xeq\o(BM,\s\up6(→))＋yeq\o(BN,\s\up6(→))，得eq\o(BO,\s\up6(→))=xeq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\f(y,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))=eq\f(x,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＋yeq\o(BN,\s\up6(→))，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,4)＋y＝1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,7)，,y＝\f(6,7).))LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由正弦定理及eq\r(3)bcosC－csinB=eq\r(3)a，得eq\r(3)sinBcosC－sinCsinB=eq\r(3)sinA，所以eq\r(3)sinBcosC－sinCsinB=eq\r(3)sin(B＋C)，所以eq\r(3)sinBcosC－sinCsinB=eq\r(3)sinBcosC＋eq\r(3)cosBsinC，即－sinCsinB=eq\r(3)cosBsinC．因为sinC≠0，所以－sinB=eq\r(3)cosB，所以tanB=－eq\r(3)．又B∈(0，π)，解得B=eq\f(2π,3)．(2)在△ABC中，由余弦定理b2=a2＋c2－2accosB，且a=3，b=7，所以72=32＋c2－2×3c×－eq\f(1,2)，解得c=5．在△ABC中，由正弦定理eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)，得eq\f(7,\f(\r(3),2))=eq\f(5,sinC)，解得sinC=eq\f(5\r(3),14)．在△BCD中，由正弦定理eq\f(BD,sinC)=eq\f(a,sin∠BDC)，得eq\f(BD,\f(5\r(3),14))=eq\f(3,\f(\r(3),3))，解得BD=eq\f(45,14)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由题意知2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinA,cosA)＋\f(sinB,cosB)))=eq\f(sinA,cosAcosB)＋eq\f(si