无穷级数第一节常数项级数的概念与性质

第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质教学目标：1、 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念.2、 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件.课时安排：2课时重点：1、掌握级数收敛的充要和必要条件；2、掌握收敛级数的性质；难点：级数概念及其敛散性教学法：讲授法一、问题的引出：1、用正多边形的面积逼近园的面积；①S24+A2+玲4+....nSRJim£n—>oc72=1二、常数项无穷级数定义7/4-7/4- +p+1、定义：设佝是常数列，算式％十％十…十％十…简x 7/称为级数。记为、气，称仇为一般项或通项。N=12、部分和与部分数列.部分和：前儿项的和‘仇，—TL.4-T/9+...+TZ+...仰1Z it部分和数列：值混带=】，2,…)扁=Sfi—s1oo£un=limSnn=l3、敛散定义（充要条件）

X 00①设，若limS〃 称，＞〃收敛，否则称发散。（判别敛散的方法）。N=1 〃" N=1若收敛，如何求和。（收敛，求和的方法）（求数列的极限）hm&MSn一84、例子.前n前n项部分的和为Sn=击例1.设£tlnn=l问：①.收敛否？ （收敛）②.若收敛，和为多少？ （ 1）.写出（求出）该级数.Sn—lnooUn=Sn—Sn—l1nn+1oc丈Un=£n=l]n=inn+1例2.Sn—lnooUn=Sn—Sn—l1nn+1oc丈Un=£n=l]n=inn+1例2.判别00 [V 是否收敛，若收敛,Jnn+1n=l 1求和。（用定义）。11]Ix2+2x3"+nn+111111—+———+…+ 22 3 nn+1SilimSn=1=S2).nToo" .收敛。oo 〔例3・~~l_敛否，若收敛求和。=1n。+3n2+2n00 [ 00-解：尸r . =尸：£in3+3n2+2n勺21\__1=■■=400例4.讨论凡何级数（等比级数）J2a.qn的敛散性.n=0解：1)・Sn=a+aq+...aq11-1=-———(qU】)1-q2).limSnn—>oohmn—>ooal-qnlim1—q2).limSnn—>oohmn—>ooal-qnlim1—qn1—qn—>oo(a-H— Idv1—11-qI布 1^1>/且:三、收敛级数的性质.00 0C1、EX与£k・Un(kN0)n=l n=lq=1q=-l奇偶不同。敛散性相同.TOC\o"1-5"\h\z00 00若£un=S,则£k・Un=k・S.n=l n=l2、若：8 8 8UnUn±Vn=S±(J.取极限n=l n=l n=l取极限U2+V2+---+Un+vn=Sn+(Tn3、 一个级数去掉或添上有限项不改变敛散性，但是收敛时，其和是改变的。4、 若原级数收敛，则任意加括号后形成的新级数仍然收敛。解释：00原{，"}： 〉]un=U]+U2+...+Un+...n=l00新=U1+U2+U3+U4+U6+U6+U7+...n=l5、例子

TOC\o"1-5"\h\z00 00[ [例1.若£%=2,求£XUn一矛・n=l n=l产1 1 1 s\o"CurrentDocument"解月QUn~2^=2X2 =°n=lZZZ I--200的和.例2.求£n=l的和.oo解：原式=5.尸[

Jnn+1

n=l

OC[+£矛=5xl+l=6n=lZ(.・*|-n+l例3.下列命题正确的是(D)。发散级数加括号后仍发散。若加括号后的级数收敛，则原级数收敛。两发散级数之和一定发散。若级数加括号后发散，则原函数发散。四、级数收敛的必要条件.00lim七=0n—*oolim七=0n—*oon=l简证：①.J=Sn—Sn-l②.VUn②.VUn收敛。limSz' n—*00=S则limSnT=S

n—>00③.2、①.limun③.2、①.limun=0n->8必要条件的应用.00[敛否？00®-En=l敛否？1一(lim一=0不定)n—>oon(lim—=1散)n—>oo7l+l・可以用级数收敛的必要条件求某数列的极限.limu如：1).要求n—8，用以前的方法无法求出

00 oc2）.但£缶收敛性易观察得到（即£收敛）n=l n=l:.limun=0n—>0033、例子.00例1：若£n=l求lim—=?n—>ocUn小结.1、2、3、解：原级数收敛n00例1：若£n=l求lim—=?n—>ocUn小结.1、2、3、解：原级数收敛nlimn一oo1-1]10=>lim——=1

n—>ooUn=>limun=1n—>oo由定义.若％-s则级数收敛。limun0时，则级数发散。当n-8按基本性质审敛。四、级数收敛的必要条件.1、结论（定理）：00£%收敛=>limun=0n=l=>n—>oo简证：1）.Un2).3).ocESn=l则：limun=0nlimS，n—Snn—>oolim&_1=Sn—>oon—>oc2、必要条件的应用.1).若lim1).若limun才0n—>oo00=>Un发散。n=l2).3).oc不一定推出£*2).3).oc不一定推出£*发散。n=l可以利用级数收敛的必要条件求某数列的极限。如：①要求lim"九用以前的方法无法求，n—>oooc oc②但发现£”见攵敛性易得（即收敛）..・hmun=0n=l n=l "一x若limun=0

ns3、例题分析.例1.若£1—土］收敛,求3、例题