抛物线的标准方程与几何性质

关于抛物线的标准方程与几何性质第一页，共三十五页，编辑于2023年，星期一问题情境

第二页，共三十五页，编辑于2023年，星期一第三页，共三十五页，编辑于2023年，星期一抛物线的生活实例抛球运动第四页，共三十五页，编辑于2023年，星期一平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。一、定义即:︳︳︳︳··FMlN定点F叫做抛物线的焦点。定直线l叫做抛物线的准线。定点F与定直线l的位置关系是怎样的？第五页，共三十五页，编辑于2023年，星期一二、标准方程的推导··FMlN步骤：（1）建系（2）设点（3）列式（4）化简（5）证明想一想？1.求曲线方程的基本步骤是怎样的？第六页，共三十五页，编辑于2023年，星期一yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2思考：

抛物线是一个怎样的对称图形？··FMlN

回忆一下，看看上面的方程哪一种简单，为什么会简单？启发我们怎样建立坐标系？学生活动

第七页，共三十五页，编辑于2023年，星期一1、标准方程的推导xyo··FMlNK设︱KF︱=p则F（，0），l：x=-

p2p2设点M的坐标为（x，y），由定义可知，化简得y2=2px（p＞0）2取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴第八页，共三十五页，编辑于2023年，星期一其中p为正常数，它的几何意义是:

焦点到准线的距离2、抛物线的标准方程

方程y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程yox··FMlNK方程y2=2px（p＞0）表示抛物线的焦点在X轴的正半轴上

焦点：F（，0），准线L：x=-

p2p2构建数学

第九页，共三十五页，编辑于2023年，星期一

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.抛物线的标准方程还有几种不同的形式?它们是如何建系的?构建数学

第十页，共三十五页，编辑于2023年，星期一准线方程焦点坐标标准方程焦点位置

图

形三.四种抛物线及其它们的标准方程

x轴的正半轴上

x轴的负半轴上

y轴的正半轴上

y轴的负半轴上y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----第十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期一想一想:1、根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线

方程的应关系？第十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期一

第一：一次项的变量如为X（或Y）则X轴（或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。第二：一次的系数的正负决定了开口方向

2、如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？第十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期一3、我们以前学习的抛物线和现在学习的抛物线的标准方程有什么联系？第十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期一结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比椭圆、双曲线如何探索抛物线的几何性质？x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点..yxoF第十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期一(4)离心率(5)焦半径(6)通径e=1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2P第十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期一方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称

关于x轴对称

关于y轴对称

关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）第十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期一例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；

（2）已知抛物线的方程是y=－6x2,求它的焦点坐标和准线方程；

（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x=-8y232解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０）32准线方程为x=-－.数学应用

解:方程可化为:故焦点坐标为,准线方程为第十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期一1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=；（3）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y练习1

第十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期一2、已知抛物线的标准方程是(1)y2=12x、(2)y＝12x2求它们的焦点坐标和准线方程；（2）先化为标准方程，，焦点坐标是（0，），准线方程是y＝－.

（1）p＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是

x＝－3．解：

练习1

第二十页，共三十五页，编辑于2023年，星期一数学应用

例2、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。．AOyx解：当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x

。第二十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期一

已知抛物线经过点P(4,－2)，求抛物线的标准方程。提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py练习2

第二十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期一例3、点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．

如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．因为p/2=4,所以p=8,所求方程是y2＝16x．分析：

数学应用

第二十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期一1、M是抛物线y2=2px（P＞0）上一点，若点M的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是——————X0+—2pOyx．FM．抛物线(p.0)上任意一点P到焦点的距离（称为焦半径）

等于练习3

第二十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期一2、抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>),则点M到准线的距离是

,点M的横坐标是

.aa－

3、抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是

.第二十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期一例4.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A、B,

求线段AB的长.lXyFAOB数学应用

第二十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期一

分析1：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式求。

解法一：如图8—22，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为y=x－1.①将方程①代入抛物线方程y2=4x,得（x－1）2=4x

化简得x2－6x＋1=0设A(x1,y1),B(x2,y2)得：x1+x2=6,x1x2=1

.将x1+x2,x1x2的值分别代入弦长公式第二十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期一

分析2：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB转化成A、B间的焦点弦（两个焦半径的和），从而达到求解目的.同理于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2＋2.于是

|AB|=6+2=8解法二：在图8—22中，由抛物线的定义可知，|AF|=说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率.

由方程x2－6x＋1=0，根据根与系数关系可以得

x1+x2=6第二十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期一例5.

求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.A1M1B1AXyOFBlM例题讲解

第二十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期一F第三十页，共三十五页，编辑于2023年，星期一例6.

在抛物线y2=2x上求一点P,

使P到焦点F与到点A(3,2)的距离之和最小.PQlAXyOF例题讲解

第三十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期一1.直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的（）

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．过原点的直线l与双曲线交于两点，则l的斜率的取值范围是___________.

3．过抛物线y2=2px的焦点F的诸弦中，最短的弦长是

。课堂练习4B2p4.过点(0,2)与抛物线A.1条B.2条C.3条D.无数多条只有一个公共点的直线有()C第三十二页，共三十五页，