第一节定积分的概念与性质二

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（一）、对定积分的补充规定:即：定积分的上、下限互换时，定积分变号。说明：在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．四、定积分的性质（二）基本性质性质2：常数因子可以提到积分号前，即性质1：代数和的积分等于积分的代数和，即性质3（定积分的可加性）：如果积分区间

[a,b]被点

分成两个小区间[a,c]和[c,b]0byaxc注意：当c

不介于

a和b

之间时，上述等式仍然成立。abx0c性质5：如果在区间[a,b]上，f(x)0,则证明：//性质4：如果在区间[a,b]上，f(x)1,则这是由于推论1：如果在区间[a,b]上，说明：如果f(x)和g(x)在[a,b]上都连续，f(x)g(x),

则进一步有性质5：如果在区间[a,b]上，f(x)0,则例1：比较积分解：因为在区间[1，2]上，和的大小。说明：如果f(x)和g(x)在[a,b]上都连续，f(x)g(x),

则进一步有推论2：证明：因为所以由推论1及性质2有性质6：设f(x)在[a,b]上的满足

特别地，当m

和M

分别是f(x)在[a,b]上的最小值和最大值时，性质6成立，即例2：估计积分值的大小。解：因为在区间所以即//上，两边同除以b

－a(注意到b

－a>0)由性质6由介值定理的推论，至少存在一点[a,b],使得介值定理的推论:如果f(x)在闭区间[a,b]上连续，m

和M

分别为f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，则对任何一常数c:m

M,至少存在一点

[a,b]，使得:f()=c

性质7（中值定理）：如果f(x)在区间[a,b]上连续，则至少存在一点[a,b],使得

称相当于曲线

y=f(x)在[a,b]上的平均高度。为f(x)在[a,b]上的平均值。注意：当a>b

时，性质7仍成立。第五章第一节作业P236

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