晶体对称和极射投影

关于晶体对称和极射投影第一页，共八十一页，编辑于2023年，星期一1.4.1晶体的宏观对称元素：1、宏观对称元素：由于晶体中的某部分为有限的几何图形，具有点对称性——宏观对称元素。对称中心反映面旋转轴反轴反演反映旋转旋转反演第二页，共八十一页，编辑于2023年，星期一对称元素国际符号对称操作等同元素或组合成分对称中心倒反反映面(镜面)反映一重旋转轴旋转二重旋转轴旋转三重旋转轴旋转四重旋转轴旋转六重旋转轴旋转四重反轴旋转倒反晶体中的宏观对称元素第三页，共八十一页，编辑于2023年，星期一2，3，4，6次轴和平面点阵的结合第四页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第五页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第六页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第七页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第八页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第九页，共八十一页，编辑于2023年，星期一五种平面点阵分别属于下表的四种平面晶系第十页，共八十一页，编辑于2023年，星期一对于二维晶体仅有垂直于晶面的1，2，3，4，6轴和对称心，互相组合只能形成10种二维晶体学点群第十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期一二、晶体对称元素的基本原理:对称性要与晶体内部点阵结构的周期性相适应。原理：1、在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴都必与一组直线点阵平行；任何对称面都必与一组平面点阵平行，而与一组直线点阵垂直。

2、晶体中存在的对称轴的轴次仅限于1，2，3，4，6，而不存在5及6以上的轴次。第十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期一

晶体的宏观对称操作是点操作，所有宏观对称元素会通过一个公共交点按一切可能组合起来，产生晶体学点群.晶体的宏观对称元素只有8种，晶体点群数目也受到限制,只有32种.

32个晶体学点群第十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期一晶体学点群的对称元素方向及国际符号晶系第一位第二位第三位点群可能对称元素方向可能对称元素方向可能对称元素方向三斜1,`1任意无无1，`1单斜2,m,2/mY无无2,m,2/m正交2，mX2，mY2，mZ222,mm2,mmm四方4,`4，4/mZ无，2，mX无，2，m底对角线4,`4，4/m，422，4mm,`42m,4/mmm三方3,`3Z无，2，mX无3,`3,32,3m,`3m六方6,`6,6/mZ无，2，mX无，2，m底对角线6,`6,6/m,622,6mm,`62m,6/mmm立方2,m,4,`4X3,`3体对角线无，2，m面对角线23,m3,432,`43m,m`3m第十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期一点群的Schönflies符号Cn:

具有一个n次旋转轴的点群。Cnh:

具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。Cnv:

具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。Dn:

具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。Sn:具有一个n次反轴的点群。T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。第十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期一32种点群的表示符号及性质

1.旋转轴(C=cyclic)：

C1,C2,C3,C4,C6;1,2,3,4,62.

旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：

C1h=Cs,C2h,C3h,C4h,C6h;m,2/m,3/m(),4/m,6/m3.旋转轴加通过该轴的镜面：C2v,C3v,C4v,C6v;mm2,3m,4mm,6mm4.旋转反演轴S2=Ci,

S4,S6=C3d;-1,-4,-3第十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期一32种点群的符号表示符号及性质5.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴：

D2,D3,D4,D6;

222,32,422,622

6.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴和镜面：

D2h,D3h,D4h,D6h;mmm,3/mm,4/mm,6/mmm7.D群附加对角竖直平面：

D2d,D3d;

-42m,-3m8.立方体群(T=tetrahedral，O=octahedral)T,Th,O,Td,Oh;

23,m3,432,-43m,m3m第十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期一晶体点群的Schönflies和国际符号第十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期一晶体的宏观对称类型：八类对称元素按合理组合，但不能产生5或高于6的轴次。由此，推出晶体所属的32个点群。轴C1C2C3C4C6轴—面mhmvCSC2hC3hC4hC6hC2VC3VC4VC6V轴—21—面无面D2D3D4D6mhmvD2hD3hD4hD6hD2dD3d轴—m—iCiC3i

S4正四面体TThTd正八面体OOh第二十页，共八十一页，编辑于2023年，星期一晶系和空间点阵形式：1、七个晶系：根据晶胞的类型，找相应特征对称元素，可以把

32个点群划分为七个晶系。特征对称元素中，高轴次的个数愈多，对称性高。晶系从对称性由高到低的划分。晶系特征对称元素所属点群晶胞参数立方晶系六方晶系三个或四个一个或一个或一个或三个一个无（仅有i

）四方晶系三方晶系正交晶系单斜晶系三斜晶系第二十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期一1.4.2微观对称元素：由于晶体的周期性结构，是无限的几何图形，具有微观对称性——微观对称元素。点阵平移螺旋轴螺旋旋转滑移面反映平移如二重螺旋轴21同形性：宏观中，平移被掩盖，其它操作宏观微观一一对应。第二十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期一从晶系到空间群

7个晶系旋转，反射，反演平移螺旋轴，滑移面32个点群14种Bravais格子230个空间群（按照晶胞的特征对称元素分类）第二十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期一空间群(SpaceGroup)晶体学中的空间群是三维周期性物体(晶体)变换成它自身的对称操作(平移，点操作以及这两者的组合)的集合。它是晶体的对称宏观元素和微观对称元素的总和，一共有230种空间群。

空间群是点阵、平移群(滑移面和螺旋轴)和点群的组合。230个空间群是由14个Bravais点阵与32个晶体点群系统组合而成。第二十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期一空间群分布

三斜晶系：2个；单斜晶系：13个

正交晶系：59个；三方晶系：25四方晶系：68个；六方晶系：27个立方晶系：36个。

有对称中心90个，无对称中心140个。73

个symmorphic(点式)

，

157个

non-symmorphic。第二十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期一空间群对称元素的标准符号第二十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期一对称元素的图示和印刷符号（1）第二十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期一对称元素的图示和印刷符号（2）第二十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期一了解Herman-Mauguin空间群符号空间群是经常用简略Herman-Mauguin符号(即Pnma、I4/mmm等)来指定。

在简略符号中包含能产生所有其余对称元素所必需的最少对称元素。

从简略H-M符号，我们可以确定晶系、Bravais点阵、点群和某些对称元素的存在和取向（反之亦然）。第二十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期一空间群符号LS1S2S3运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。第一字母(L)是点阵描述符号，指明点阵带心类型：

P，I，F，C，A，B。其于三个符号(S1S2S3)表示在特定方向（对每种晶系分别规定）上的对称元素。

如果没有二义性可能，常用符号的省略形式(如Pm，而不用写成P1m1)。*由于不同的晶轴选择和标记，同一个空间群可能有几种不同的符号。如P21/c,如滑移面选为在a方向，符号为P21/a;如滑移面选为对角滑移，符号为P21/n。第三十页，共八十一页，编辑于2023年，星期一1.5晶体的投影1.5.1球面投影1.5.2极射赤面投影1.5.3吴氏网和极网1.5.4标准投影1.5.5极射投影的应用第三十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期一1.5.1球面投影迹式球面投影法极式球面投影法第三十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第三十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第三十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第三十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第三十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第三十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期一迹式球面投影法第三十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期一极式球面投影法第三十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第四十页，共八十一页，编辑于2023年，星期一1.5.2极射赤面投影第四十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第四十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第四十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第四十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期一O'N'E'S'BONESWW'P'P观察者投影面基圆参考球投射点P'O'POB通过BOPP'的截面第四十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第四十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第四十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第四十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第四十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第五十页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第五十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第五十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第五十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第五十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期一极射赤面投影的两个重要的性质：1、球面上圆的投影仍然为圆2、球面上两个圆的夹角等于它们投影之间的夹角。（如何测量？乌氏网）第五十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期一1.5.3吴氏网和极网第五十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第五十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期一南极北极赤道

若以赤道平面上一点为投影点，投影面平行于NS轴，则得乌氏网。

若以N或S为投射点，而投影面平行于赤道平面，则得到极网。第五十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第五十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第六十页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第六十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第六十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第六十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第六十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期一第六十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期一B2按步骤②中的逆向转回到其投影位置B1，A3沿其所在纬线绕NS转过与B2相同的角度到达A4，A4即为A1绕B1转动40º角后的新位置。转动轴与投影面呈任意倾角：轴的投影为B1点，欲使A1绕B1顺时针转动40º。将A1、B1同时绕NS轴转动，直至B1到达投影基圆圆心B2，A1点沿自身所在纬线转过相同的角度到达A2；A1B1A2B2A3A440°48°48°48°将B1置于乌氏网的赤道线上；A2绕B2按预定方向和角度转过40º角到达A3；第六十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期一PKQP1K1Q180°80°80°O投影面的转换：利用极点转动的方法可将晶面或晶向向新的投影面投影。

P、Q、K投影在以O为极点的平面上，现欲将P、Q二点投影在以K为极点的投影面上，其作法是将K通过乌氏网的运作转到投影基圆的中