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文档简介

关于惯性定理及定性分类第一页，共二十五页，编辑于2023年，星期一一、用坐标变换法化简二次型利用可逆变换化二次型为标准型，就是要寻找可逆阵P，使得对(A,E)行变换对A相应列变换第二页，共二十五页，编辑于2023年，星期一例：用一个坐标变换把下列二次型化为标准型：第三页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

定理（惯性定理）一个二次型的任意两个标准形中的正系数的个数与负系数的个数分别相等.

定义

在二次型f(x)=xTAx的标准形中，正、负系数的个数p、q称为二次型的正、负惯性指数，也称为实对称矩阵A的正、负惯性指数.p+q=r二、惯性定理及规范形第四页，共二十五页，编辑于2023年，星期一第五页，共二十五页，编辑于2023年，星期一第六页，共二十五页，编辑于2023年，星期一n元实二次型(或n阶实对称矩阵)的规范形与其正、负惯性指数互相唯一确定.第七页，共二十五页，编辑于2023年，星期一秩和正惯性指数分别相等。两个n阶实对称矩阵合同合同，其中+1和-1的个数共有r(A)个。任一实对称矩阵A与对角阵注意：讨论例题3.18第八页，共二十五页，编辑于2023年，星期一第九页，共二十五页，编辑于2023年，星期一第十页，共二十五页，编辑于2023年，星期一定义三、实二次型及实对称矩阵的定性分类第十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期一任意第十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期一第十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期一正定正定不定结论：标准形更易判定第十四页，共二十五页，编辑于2023年，星期一定理:满秩线性变换不改变二次型的正定性。第十五页，共二十五页，编辑于2023年，星期一第十六页，共二十五页，编辑于2023年，星期一第十七页，共二十五页，编辑于2023年，星期一例6第十八页，共二十五页，编辑于2023年，星期一例7：设A是正定矩阵，则其主对角线元素全为正。注意：逆命题不成立。第十九页，共二十五页，编辑于2023年，星期一关于和形式的矩阵分别为m阶和n阶半正定矩阵。和，则矩阵，且3.若A为为n阶半正定矩阵。正定矩阵，为m阶，则矩阵，且2.若A为为正定矩阵。若A为n阶可逆矩阵，则例8：第二十页，共二十五页，编辑于2023年，星期一为A的k阶顺序主子式.已知第二十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期一第二十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期一例9第二十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期一例10

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